代數幾何學 에서 楕圓曲線 (?圓曲線, 英語 : elliptic curve )은 簡單히 말해 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}$ 形態의 方程式으로 定義되는 代數 曲線 으로서, 첨점 이나 交叉點 等의 特異點 이 없는 것이다. (計數體(coefficient field)의 票數 가 2나 3人 境遇 이 定義는 모든 非特異 3次 曲線 들의 同型類를 包含하지 않는다.) 이는 代數幾何學과 數論 의 重要한 硏究 對象이다.

重根을 갖지 않는 任意의 3次 或은 4次 多項式 P에 對해 y ² = P(x)는 曲面 종수 1의 非特異 平面 曲線의 方程式이며, 이 式으로 定義되는 曲線 또한 楕圓曲線이라 한다. 보다 一般的으로는 종수가 1人 任意의 非特異 代數 曲線을 楕圓 曲線이라 한다.

複素數體 上의 楕圓曲線은 圓環面 을 複素 射影 空間 에 埋葬한 것에 對應된다. 이는 任意의 체 로 一般化할 수 있으며, 各 體 上의 楕圓曲線의 點들은 아벨 軍 을 이룬다. 卽, 楕圓曲線은 1次元 아벨 多樣體 이다.

正義 [ 編輯 ]

${\displaystyle k}$가 체 라고 하자. 楕圓曲線은 다음 條件들을 만족시키는, 原點이 주어진, ${\displaystyle k}$에 對한 私營 代數 曲線 이다.

• 特異點 을 가지지 않는다.
• 曲面 종수 가 1이다. (卽, 複素數體의 境遇 位相數學敵으로 圓環面 이다.)
• 적어도 하나의 有理點 을 가진다. 卽, 代數 曲線을 定義하는 式을 만족시키는 點 ${\displaystyle (x,y)\in k^{2}}$가 적어도 하나 存在한다(이 點은 無限大에 있을 수도 있다).

여기서 原點이 주어진 代數 曲線 이란 順序雙 ${\displaystyle (M,x_{0})}$ ( ${\displaystyle x_{0}\in M}$, ${\displaystyle M}$은 代數 曲線 )을 의미한다.

任意의 체의 票數 에서, 楕圓曲線은 一般的으로 다음과 같은 같은 꼴의 式의 해의 集合으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

萬若 體의 票數가 2나 3이 아닌 境遇, 楕圓曲線은 다음과 같은 꼴의 式의 해의 集合으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}$

여기서 ${\displaystyle (1,x,y)}$는 射影 平面 의 同次座標 이다. 이렇게 나타낸 境遇, 原點은 ${\displaystyle (0,0,1)}$이 된다. 이 點은 ${\displaystyle (x,y)}$ 平面에서의 無限大 에 該當한다. 卽, ${\displaystyle (x,y)}$ 平面에 無限大를 追加하여 射影 平面을 取한 뒤, 楕圓曲線을 射影 平面 속의 曲線으로 看做한다.

萬若 체의 票數 가 3人 境遇, 一般的인 楕圓曲線은 다음과 같은 꼴의 式의 해의 集合으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}$

체의 票數가 2인 境遇는 위의 一般的인 表現을 使用하여야 한다.

代表的인 體에 對한 楕圓曲線 [ 編輯 ]

實數體 위의 楕圓曲線 [ 編輯 ]

實數體 床에서, 楕圓曲線은 失手 a와 b에 對해 方程式

y ² = x ³ + a x + b

로 定義되는 平面 曲線 이다. 1이 아닌 3車抗議 係數와 0이 아닌 2車抗議 係數는 x,y 를 다시 定義함으로써 흡수시킬 수 있기 때문에, 右邊이 任意의 x 의 3差食이면 언제나 이 形態로 만들 수 있다. 이런 形態의 式을 바이어슈트라스 方程式 이라고 한다.

例를 들어, 다음의 그림들은 方程式 y ² = x ³ ? x 와 y ² = x ³ ? x + 1로 定義된 實數體 上의 楕圓曲線의 그래프이다.

楕圓曲線의 定義에는 이 曲線이 非特異 하다는 條件이 包含된다. 幾何學的으로 말하자면 이는 曲線의 그래프가 첨점이나 交叉點이 없다는 뜻이다. 또한, 이는 判別式

Δ = ?16(4 a ³ + 27 b ² )

이 0이 아니라는 代數的인 條件과 同治 이다(이 判別式 表現에서 ?16이라는 것이 아무 意味가 없는 것처럼 보일 수 있으나, 楕圓曲線을 깊이 工夫하다보면 아주 重要한 役割을 하게 된다).

非特異 代數 曲線 은 判別食餌 양수일 境遇 두 個의 連結 成分 을 가지고, 陰數日 境遇에는 하나의 連結 成分 만을 가진다. 例를 들자면, 위의 그래프에서 첫 番째 曲線의 判別式은 64, 두 番째 曲線의 判別式은 ?368이다.

複素數體 위의 楕圓曲線 [ 編輯 ]

複素數體에서의 楕圓曲線은 1次元 아벨 多樣體 이다. 종수가 1이므로, 幾何學的으로 이는 圓環面 의 模樣을 하고 있다.

任意의 楕圓曲線

${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-px-q}$

가 주어졌다면, 이를 다음과 같이 圓環面으로 여길 수 있다. 複素 救助 를 갖춘 圓環面은 格子

${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$

에 對한 몫空間

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$

으로 여길 수 있다. 그렇다면 이 圓環面에서 楕圓曲線으로 바이어슈트라스 楕圓函數 ${\displaystyle \wp (z;\Lambda )}$를 使用해 다음과 같은 思想을 定義할 수 있다.

${\displaystyle z\in \mathbb {C} /\Lambda }$

${\displaystyle z\mapsto (x,y)=(\wp (z;\Lambda ),\wp '(z;\Lambda ))}$

바이어슈트라스 楕圓函數는 다음과 같은 恒等式을 만족시킨다.

${\displaystyle \wp '(z;\Lambda )^{2}=4\wp (z;\Lambda )^{3}-g_{2}(\Lambda )\wp (z)-g_{3}(\Lambda )}$

따라서 이는

${\displaystyle (p,q)=(g_{2}(\Lambda ),g_{3}(\Lambda ))}$

人 楕圓 曲線과의 同型寫像이다.

수체 위의 楕圓曲線 [ 編輯 ]

有理數體 를 비롯한 다른 代數的 수체 에 對한 楕圓曲線은 數論 에서 重要한 位置를 차지한다. 이 境遇, 수체에 對한 楕圓曲線의 點들은 普通 有理點 이라고 한다(이는 有理數體가 아닌 다른 수체에도 使用된다). 주어진 수체 ${\displaystyle K}$에 對하여, 楕圓曲線 ${\displaystyle E}$의 ${\displaystyle K}$-有理點들의 集合 ${\displaystyle E(K)}$는 아벨 軍 을 이룬다.

모델-베유 整理 에 따라서, 楕圓曲線의 有理點 軍 ${\displaystyle E(K)}$는 恒常 有限 生成 아벨 軍 이며, 따라서 그 計數 와 꼬임 部分群 에 依해 주어진다. 有理點君의 計數 는 버치-스위너턴다이어 推測 에 依하여 이에 對應하는 하세-베유 L-函數 의 零點의 次數에 依하여 주어진다고 믿어지나, 아직 이는 證明되지 않았다.

有理數體의 境遇, 有理點君의 꼬임 部分群 은 메이저 꼬임 整理 에 따라 15가지의 可能한 軍 가운데 하나이다. 다른 수체의 境遇에도 메이저 꼬임 整理와 類似한, 可能한 꼬임 部分群 目錄들이 存在한다.

柔한체 위의 楕圓曲線 [ 編輯 ]

柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$에 對한 楕圓曲線은 有限 個의 點들로 이루어지며, 이들은 有限群 을 이룬다. 이 境遇, 點의 個數를 세는 것은 一般的으로 매우 어려운 問題이며, 數論 의 主要 硏究 分野 가운데 하나이다. 하세 整理 ( 英語 : Hasse’s theorem )에 따라서, 그 數는 다음과 같다. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 楕圓曲線 ${\displaystyle E}$에 對하여, 그 點의 數 ${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{q})}$는 다음과 같은 상계 및 夏季를 가진다.

${\displaystyle q+1-2{\sqrt {q}}\leq \#E(\mathbb {F} _{q})\leq q+1+2{\sqrt {q}}}$

有限體에 對한 楕圓曲線의 點들이 이루는 有限群 은 恒常 두 循環群 의 곱이다. 例를 들어, 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{71}}$에 對한 楕圓 曲線 ${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}$은 72個의 點 (71個의 아핀 點과 無限大에서의 點)을 갖고, 그 軍 救助는 2次 循環群 과 36次 循環群 의 곱이다.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /36\mathbb {Z} )}$

有限體에 對한 楕圓曲線은 楕圓曲線 暗號 를 定義하는 데 使用된다.

歷史와 어원 [ 編輯 ]

楕圓 積分 ( elliptic integral )에서 그 이름을 땄다. 이름과는 달리, 楕圓 과 直接的인 關聯이 없다. 特히, 楕圓은 2次 曲線이므로, 曲線으로서 楕圓 曲線(3次 曲線)李 아니다.

오늘날 楕圓曲線으로 불리는 對象은 디오판토스 賈 最初로 다뤘다. ^[1] 디오판토스는

${\displaystyle y(a-y)=x^{3}-x}$

꼴의 楕圓曲線에 對하여 記述하였다. 以後 피에르 드 페르마 와 아이작 뉴턴 , 카를 구스타프 야코프 야코비 , 카를 바이어슈트라스 , 앙리 푸앵카레 等이 楕圓曲線에 對하여 硏究하였다.

존 테이트 等이 楕圓曲線 理論을 數論 과 聯關지었다. 앤드루 와일스 는 楕圓曲線에 對한 모듈러性 整理 (의 相當 部分)을 證明하여, 이를 通해 페르마의 마지막 整理 를 證明하였다. 또한, 오늘날 柔한체 에 對한 楕圓曲線은 暗號론 에서 楕圓曲線 暗號 를 定義하는 데 使用된다.

應用 [ 編輯 ]

楕圓曲線은 數論 에 登場한다. 例를 들어, 楕圓曲線에 對한 整理인 모듈러性 整理 는 페르마의 마지막 整理 를 證明하는데 使用되었다. 또한, 柔한체 에 對한 楕圓曲線은 暗號론 에 應用된다. 이를 楕圓曲線 暗號 라고 한다.

各州 [ 編輯 ]

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數論 및 暗號學 中心 [ 編輯 ]

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外部 링크 [ 編輯 ]

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• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic curve” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves
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