數學 에서 層 (層, 英語 : sheaf 시프 ^{[ * ]} , 프랑스語 : faisceau 페소 ^{[ * ]} )은 어떤 位相 空間 에서, 各 點에 局所的 構造를 붙인 것이다. 局所性에 따라, 一連의 虎患 條件들을 만족시키는 局所的인 데이터를 이어붙여서 帶域的인 데이터를 定義할 수 있다.

層의 槪念은 位相數學 · 代數幾何學 · 微分幾何學 에서 널리 쓰인다.

正義 [ 編輯 ]

層의 定義는 普通 다음과 같은 세 段階로 이루어진다.

1. 準層 은 位相 空間의 열린 部分集合에 情報를 對應시키는 構造다. 卽, 어떤 位相 空間 위에 주어진 局所的인 데이터를 나타낸다. 一般的인 準層에서는 帶域的인 데이터가 局所的인 데이터로부터 決定되지 않을 수 있다.
2. 分離 準層 에서는 準層 가운데, 帶域的인 데이터가 局所的인 데이터로부터 決定되지만, 局所的인 데이터를 이어붙이는 充分 條件이 存在하지 않을 수 있다.
3. 層 의 境遇, 帶域的인 데이터가 局所的인 데이터로부터 決定되며, 또한 局所的인 데이터를 이어붙이는 充分 條件이 存在한다.

準層 [ 編輯 ]

範疇 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위의, 範疇 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 값을 갖는 準層 (準層, 英語 : presheaf 프리시프 ^{[ * ]} , 프랑스語 : prefaisceau 프레페소 ^{[ * ]} )은 함자 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {X}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}}$이다. 여기서 ${\displaystyle ^{\operatorname {op} }}$은 反對 範疇 를 뜻하므로, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 다시 말해 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$에서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$로 가는 叛變銜字 로 定義된다. 이러한 準層을 對象으로 하고, 準層 사이의 自然 變換 을 思想으로 가지는 範疇를 ${\displaystyle \operatorname {PSh} ({\mathcal {X}},{\mathcal {C}})}$라고 表記한다.

對象 ${\displaystyle U\in {\mathcal {X}}}$ 위에서의 準層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {PSh} ({\mathcal {X}},{\mathcal {C}})}$의 斷面 (斷面, 英語 : section )들로 構成된 對象 ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})\in {\mathcal {C}}}$을 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})={\mathcal {F}}(U)\in {\mathcal {C}}}$

古典的인 例로 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$가 位相 空間 ${\displaystyle X}$의 열린集合 들의 範疇 ${\displaystyle {\mathcal {X}}=\operatorname {Open} (X)}$인 境遇를 들 수 있다. 이 境遇,

• ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 對象은 ${\displaystyle X}$의 열린集合 이다.
• 萬若 두 열린集合 ${\displaystyle U,V\in \operatorname {Open} (X)}$에 對하여 ${\displaystyle \hom(U,V)}$은 ${\displaystyle U\subseteq V}$일 境遇에는 한元素 集合 ${\displaystyle \{\iota _{UV}\}}$이며, 나머지 境遇에는 ${\displaystyle \hom(U,V)=\varnothing }$이다. 여기서 ${\displaystyle \iota _{UV}\colon U\to V}$는 包含 函數이다.

이 境遇, ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 값을 갖는 準層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 具體的으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모든 열린集合 ${\displaystyle U\subset X}$에 對하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\in {\mathcal {C}}}$
• 모든 열린集合들 ${\displaystyle V\subset U\subset X}$에 對하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\iota _{VU})\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)}$

이들은 다음과 같은 함자 의 公理들을 만족시켜야 한다. 任意의 열린集合 들 ${\displaystyle U\subset V\subset W\subset X}$에 對하여,

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\iota _{UU})=\operatorname {id} _{{\mathcal {F}}(U)}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\iota _{UV})\circ {\mathcal {F}}(\iota _{VW})={\mathcal {F}}(\iota _{UW})}$

分離 準層과 層 [ 編輯 ]

아래 正義에서, ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\operatorname {Set} }$인 境遇를 생각하자. (萬若 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 具體的 範疇 라면, 이를 集合의 範疇의 部分 範疇로 여겨 아래 正義를 自明하게 一般化할 수 있다.)

範疇 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 속에 對象 ${\displaystyle U\in {\mathcal {X}}}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위에는 요네다 賣場 으로 인한 準層

${\displaystyle \hom _{\mathcal {X}}(-,U)\colon {\mathcal {X}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$

이 恒常 存在한다. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위의 다른 準層

${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {X}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$

이 주어졌을 때, 요네다 準層에서 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$로 가는 準層 史上( 自然 變換 )들의 集合

${\displaystyle \hom _{\operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})}(\hom _{\mathcal {X}}(-,U),{\mathcal {F}})}$

를 定義할 수 있다. 各 準層 史上 ${\displaystyle f\colon \hom _{\mathcal {X}}(-,U)\to {\mathcal {F}}}$은 ${\displaystyle U}$의 各 "열린 部分 集合 "에 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 斷面을 對應시킨다.

${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위에 그로텐디크 位相 ${\displaystyle {\mathfrak {J}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 任意의 對象 ${\displaystyle U\in {\mathcal {X}}}$에 對하여, 덮개體들의 集合 ${\displaystyle {\mathfrak {J}}(U)}$이 存在하며, 各 덮개體 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathfrak {J}}(U)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위의 準層을 이룬다. 마찬가지로, 準層 思想들의 集合

${\displaystyle \hom _{\operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})}({\mathcal {S}},{\mathcal {F}})}$

를 定義할 수 있다. 各 準層 史上 ${\displaystyle f\colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle U}$의 덮개에 屬하는 各 "열린 部分 集合"에 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 斷面을 對應시킨다.

덮개體 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathfrak {J}}(U)}$는 定義에 따라 ${\displaystyle \hom(-,U)}$의 部分 銜字이므로, 自然스러운 制約 函數

${\displaystyle \operatorname {res} _{\hom _{\mathcal {X}}(-,U),{\mathcal {S}}}\colon \hom _{\operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})}(\hom _{\mathcal {X}}(-,U),{\mathcal {F}})\to \hom _{\operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})}({\mathcal {S}},{\mathcal {F}})}$

가 存在한다. 이 境遇, 다음과 같은 定義를 내릴 수 있다.

• 萬若 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 모든 對象 ${\displaystyle U}$ 및 그 모든 덮개體 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\in {\mathfrak {J}}(U)}$에 對하여 ${\displaystyle \operatorname {res} _{\hom _{\mathcal {X}}(-,U),{\mathcal {S}}}}$가 丹沙 函數 라면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 ${\displaystyle U}$의 "部分 集合"에서의 斷面들은 ${\displaystyle U}$의 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$에서의 값들로부터 完全히 決定된다. 卽, 大逆的 데이터는 局所的 데이터로부터 完全히 決定된다. 이 條件을 만족시키는 準層을 分離 準層 (分離準層, 英語 : separated presheaf , 프랑스語 : prefaisceau separe )이라고 한다.
• 萬若 ${\displaystyle \operatorname {res} _{\hom _{\mathcal {X}}(-,U),{\mathcal {S}}}}$가 全單射 函數 라면, ${\displaystyle U}$의 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$에 任意의 (適切한) 斷面들을 附與하여도 이들을 ${\displaystyle U}$ 全體로 이어붙일 수 있다. 卽, 虎患 條件을 만족시키는 모든 局所的 데이터를 大逆的 데이터로 이어붙일 수 있다. 이 條件을 만족시키는 準層을 層 (層, 英語 : sheaf , 프랑스語 : faisceau )이라고 한다.

${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 위의 層들 사이의 史上 은 準層으로서의 思想이다. ${\displaystyle X}$ 위의 層들의 範疇는 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$라고 쓰며, 이는 ${\displaystyle \operatorname {PSh} (X)}$의 充滿한 部分 範疇 이다.

그로텐디크 準位相 위의 分離 準層과 層 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 그로텐디크 位相이 그로텐디크 準位相 으로 주어진다면, 分離 準層과 層의 正義를 더 具體的으로 敍述할 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$가 그로텐디크 準位相 ${\displaystyle {\mathfrak {D}}}$가 주어진 範疇이며, ${\displaystyle X}$가 작은 곱 및 올곱 을 갖는다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$의 任意의 對象 ${\displaystyle U\in {\mathcal {X}}}$ 및 덮개

${\displaystyle \{\iota _{i}\colon U_{i}\to U\}_{i\in I}\in {\mathfrak {D}}(u)}$

가 주어졌을 때, 任意의 ${\displaystyle i,j\in I}$에 對하여, 다음과 같은 思想들이 存在한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&U_{i}\times _{U}U_{j}\\&&&{\scriptstyle \pi _{1}}\swarrow \\U&\xleftarrow {\iota _{i}} &U_{i}\\&&&{\scriptstyle \pi _{2}}\nwarrow \\&&&&U_{j}\times _{U}U_{i}\end{matrix}}}$

位 圖形에서 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 對한 賞을 取하면 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}&&&&{\mathcal {F}}(U_{i}\times _{U}U_{j})\\&&&{\scriptstyle {\mathcal {F}}(\pi _{1})}\nearrow \\{\mathcal {F}}(U)&{\xrightarrow {{\mathcal {F}}(\iota _{i})}}&{\mathcal {F}}(U_{i})\\&&&{\scriptstyle {\mathcal {F}}(\pi _{2})}\searrow \\&&&&{\mathcal {F}}(U_{j}\times _{U}U_{i})\end{matrix}}}$

이들에 對한 올곱 을 取하면 다음과 같은 思想들을 얻는다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\xrightarrow {\prod _{i\in I}^{F(U)}{\mathcal {F}}(\iota _{i})}}\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i}){\xrightarrow {\prod _{j\in I}^{{\mathcal {F}}(U_{i})}{\mathcal {F}}(\pi _{1})}}\prod _{j\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}\times _{U}U_{j})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i}){\xrightarrow {\prod _{j\in I}^{{\mathcal {F}}(U_{i})}{\mathcal {F}}(\pi _{2})}}\prod _{j\in I}{\mathcal {F}}(U_{j}\times _{U}U_{i})}$

이제, 思想들의 곱 을 取하면 다음과 같은 思想들을 얻는다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U){\xrightarrow {\prod _{i\in I}^{F(U)}{\mathcal {F}}(\iota _{i})}}\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){{\xrightarrow {\prod _{i\in I}\prod _{j\in I}^{{\mathcal {F}}(U_{i})}{\mathcal {F}}(\pi _{1})}} \atop {\xrightarrow[{\prod _{i\in I}\prod _{j\in I}^{{\mathcal {F}}(U_{i})}{\mathcal {F}}(\pi _{2})}]{}}}\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}\times _{U}U_{j})}$

왼쪽의 函數는 ${\displaystyle U}$의 斷面 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$를 ${\displaystyle U_{i}}$에 制限 한 것으로 解釋 할 수 있으며, 오른쪽의 函數는 各 ${\displaystyle U_{i}}$의 斷面 ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$를 ${\displaystyle U_{j}}$와 "겹치는 部分"에 對하여 制限 한 것으로 解釋 할 수 있다. 萬若 왼쪽의 函數가 丹沙 函數 라면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 分離 準層 이다. 萬若 왼쪽의 函數가 오른쪽의 두 函數의 同等子 를 이룬다면, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 層 이다.

位相 空間 위의 分離 準層과 層 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$가 어떤 位相 空間 ${\displaystyle X}$의 열린集合 들의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$라고 하자. 이 境遇, 分離 準層과 層의 定義는 다음과 같이 飜譯된다.

모든 열린集合 ${\displaystyle U}$ 및 그 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$에 對하여, 函數

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\to \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}){\to \atop \to }\prod _{i,j\in I}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})}$

를 定義하자. 이를 바탕으로, 다음과 같은 두 性質을 定義하자.

• (局所性) 任意의 ${\displaystyle s,t\in {\mathcal {F}}(U)}$에 對하여, 萬若 모든 ${\displaystyle i\in I}$에 對하여 ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$라면 ${\displaystyle s=t}$이다. (이는 위 圖形에서 왼쪽 思想이 丹沙 函數 임과 童穉이다.)
• (結合性) 各 ${\displaystyle i\in I}$에 對하여, ${\displaystyle s_{i}\in {\mathcal {F}}(V)}$가 주어졌다고 하고, 모든 ${\displaystyle i,j\in I}$에 對하여 ${\displaystyle s_{i}|_{U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}}}$라고 하자. 그렇다면 모든 ${\displaystyle i\in I}$에 對하여 ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$人 ${\displaystyle s\in {\mathcal {F}}(U)}$가 存在한다. (局所性을 假定하면, 이는 위 同型에서 왼쪽 思想이 오른쪽의 두 思想의 同等子 를 이룸과 童穉이다.)

局所性 公理를 만족시키는 準層은 分離 準層 이며, 結合性 公理를 만족시키는 分離 準層은 層 이다.

層의 史上 [ 編輯 ]

두 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Sh} (X)}$ 사이의 史上 ${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}}$는 함자 사이의 自然 變換 이다. 卽, 모든 열린 部分集合 U 에 對해서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 思想들 ${\displaystyle \phi (U)\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U)}$를 모은 것들 가운데, 制限 思想들 res와 互換되는 것들이다. 卽, 두 열린 部分集合 ${\displaystyle U\subset V}$에 對해서 다음의 그림이 可換하여야 한다.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}(V)&\xrightarrow {\quad \varphi _{V}\quad } &{\mathcal {F}}(V)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r_{V,U}\\{\mathcal {G}}(U)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{U}\quad }]{}}&{\mathcal {F}}(U)\end{array}}}$

이 定義를 조금 더 一般化하여, 서로 다른 位相 空間 위에 定義된 層 사이에도 思想을 定義할 수 있다. 두 位相 空間 ${\displaystyle X,Y\in \operatorname {Top} }$ 사이의 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Sh} (X)}$, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\in \operatorname {Sh} (Y,{\mathcal {C}})}$에 對하여, 두 位相 空間에 對한 層 사이의 思想은 다음과 같이 範疇論 敵으로 定義할 수 있다. 位相 空間의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ 및 範疇의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$를 생각하자. (嚴密하게 말하면, 주어진 그로텐디크 全體 에 屬하는 位相 空間·範疇의 範疇를 생각한다.) 이 境遇, 自然스러운 함자

${\displaystyle \operatorname {Open} \colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Cat} ^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle \operatorname {Open} \colon X\mapsto \operatorname {Open} (X)}$

${\displaystyle \operatorname {Open} \colon (f\colon X\to Y)\mapsto (\operatorname {Open} f\colon U\subset Y\mapsto f^{-1}(U)\subset X)}$

가 存在한다. 卽, ${\displaystyle \operatorname {Open} (f)}$는 다음과 같은 함자 이다.

${\displaystyle \operatorname {Open} (f)\colon \operatorname {Open} (Y)\to \operatorname {Open} (X)}$

그렇다면

${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon \operatorname {Open} (X)\to {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}\colon \operatorname {Open} (Y)\to {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}$

이므로, ${\displaystyle f}$에 對한 層 史上 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}}$는 自然 變換 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\implies {\mathcal {F}}\circ \operatorname {Open} (f)}$이다. 具體的으로, ${\displaystyle f}$에 對한 層 史上 ${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}}$는 모든 열린 ${\displaystyle U\subset Y}$에 對해서 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 思想들 ${\displaystyle \phi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(f^{-1}(U))}$를 모은 것들 가운데, 모든 Y 의 열린集合들 ${\displaystyle U\subset V\subset Y}$에 對해서 다음의 그림이 街換하는 境遇이다.

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\mathcal {G}}(V)&\xrightarrow {\quad \varphi _{V}\quad } &{\mathcal {F}}(f^{-1}(V))\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r_{f^{-1}(V),f^{-1}(U)}\\{\mathcal {G}}(U)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{U}\quad }]{}}&{\mathcal {F}}(f^{-1}(U))\end{array}}}$

萬若 ${\displaystyle f=\operatorname {id} _{X}}$인 境遇, 이는 以前의 正義와 一致한다.

準層 사이의 思想도 마찬가지로 定義한다.

種類 [ 編輯 ]

層은 매우 一般的인 槪念이며, 應用 分野에 따라 다양한 "괜찮은 層"의 槪念들이 存在한다.

• 아벨 軍 값을 갖는 層 코호몰로지 를 다룰 때는 單四層 의 槪念을 使用한다. 이보다 弱한 槪念으로 纖細層 이나 非循環層 等이 있다.
• 連接層 은 有限 次元 벡터 다발 의 斷面層을 包含하는 가장 작은 아벨 範疇 의 元素이다. 萬若 有限 次元 條件을 省略한다면, 準連接層 의 槪念을 얻는다.

普通, 含水層의 境遇 어떤 換衣 層에 對한 街君을 이룬다. 이러한 層을 家君層 이라고 한다. 마찬가지로, 어떤 다른 換衣 層에 對한 아이디얼 을 이루는 層을 아이디얼 層 이라고 한다.

幾何學的으로, 線다발 이나 人者 에 對應하는 層을 街礫層 이라고 한다.

가장 自明한, 모든 줄기 가 같은 層을 常數層 이라고 한다.

層 위의 構造 [ 編輯 ]

줄기와 에탈레 空間 [ 編輯 ]

位相 空間 위의 層은 範疇論的 接近 代身, 幾何學的으로도 定義할 수 있다. 어떤 주어진 點 ${\displaystyle x}$ 近處에서 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$가 가질 수 있는 값들의 集合을 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 줄기 라고 하고, 이러한 줄기들의 集合을 에탈레 空間 이라고 한다. 그렇다면 層은 에탈레 空間의 斷面들의 모임으로 定義할 수 있다.

層化 [ 編輯 ]

(작은) 位置 ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathfrak {J}})}$ 위의 層의 範疇와 準層의 範疇 사이에 자연스러운 包含 關係가 存在한다.

${\displaystyle I\colon \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}},{\mathfrak {J}})\hookrightarrow \operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})}$

이 銜字는 왼쪽 首班 함자 ${\displaystyle S}$를 가지는데, 이를 準層의 層化 (層化, 英語 : sheafification )라고 한다.

${\displaystyle I\colon \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}},{\mathfrak {J}})\hookrightarrow \operatorname {PSh} ({\mathcal {X}})\colon S}$

層의 함자 [ 編輯 ]

位相 空間 사이의 連續 函數 가 주어지면, 이로부터 그 위에 存在하는 層들의 思想을 誘導할 수 있다. 이는 함자 를 이룬다. 具體的으로, 位相 空間 사이의 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 주어졌다고 하고, 位相 空間 ${\displaystyle X}$ 위의, 아벨 軍 값을 가진 層과 層 思想들의 範疇를 ${\displaystyle \operatorname {Sh} (X)}$라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자 들이 存在한다.

• 直上 (直像, 英語 : direct image ) ${\displaystyle f_{*}\colon \operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$
• 易象 (逆像, 英語 : inverse image ) ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Sh} (Y)\to \operatorname {Sh} (X)}$
• 콤팩트 支持 直上 ( 英語 : direct image with compact support ) ${\displaystyle f_{!}\colon \operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$
• 例外 易象 ( 英語 : exceptional inverse image ) ${\displaystyle Rf^{!}\colon D\operatorname {Sh} (X)\to D\operatorname {Sh} (Y)}$

이들은 서로 首班 함자 이다. 여기서 ${\displaystyle D}$는 誘導 範疇 , ${\displaystyle R}$은 오른쪽 誘導 함자 를 나타낸다.

• ${\displaystyle f^{*}\leftrightarrows f_{*}}$는 各各 왼쪽·오른쪽 首班 함자 이다.
• ${\displaystyle \operatorname {R} f_{!}\leftrightarrows \operatorname {R} f^{!}}$는 各各 왼쪽·오른쪽 首班 함자 이다.

直上과 易象 [ 編輯 ]

直上 함자 ${\displaystyle f_{*}}$는 다음과 같다. ${\displaystyle F\in \operatorname {Sh} (X)}$이라면, 열린集合 ${\displaystyle V\subset Y}$에 對하여

${\displaystyle f_{*}F(V)=F(f^{-1}(V))}$

이다. 易象 함자 ${\displaystyle f^{*}}$는 다음과 같다. ${\displaystyle G\in \operatorname {Sh} (Y)}$라면, ${\displaystyle X}$ 위에 다음과 같은 準層을 定義할 수 있다. ${\displaystyle U\subset X}$에 對하여,

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}G(V)}$

여기서 ${\displaystyle \varinjlim }$은 歸納的 極限 이다. 이 준층에 層化 ( 英語 : sheafification )를 加한 層을 易象 함자 ${\displaystyle f^{*}}$라고 한다.

콤팩트 支持 直上과 例外 易象 [ 編輯 ]

콤팩트 支持 直上 ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}}$은 다음과 같이 定義된다. 모든 열린集合 ${\displaystyle U\subseteq Y}$에 對하여,

${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}(U)=\{s\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(U))\colon f|_{\operatorname {supp} s}{\text{ is proper}}\}}$

여기서 ${\displaystyle f|_{\operatorname {supp} s}{\text{ is proper}}}$라는 것은

${\displaystyle f\colon \colon \operatorname {supp} s\to U}$

가 固有 函數 임을 뜻한다. 콤팩트 支持 直上은 職上의 部分 함자 이며, 萬若 ${\displaystyle f}$가 固有 函數 라면 콤팩트 支持 直上과 直上은 一致한다.

콤팩트 支持 直上 함자 ${\displaystyle f_{!}\colon \operatorname {Sh} (X)\to \operatorname {Sh} (Y)}$는 왼쪽 完全 함자 이며, 그 오른쪽 전유도 함자( 英語 : right total derived functor )

${\displaystyle \operatorname {R} f_{!}\colon \operatorname {D} (\operatorname {Sh} (X))\to \operatorname {D} (\operatorname {Sh} (Y))}$

를 取할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle \operatorname {D} (-)}$는 誘導 範疇 를 뜻한다.

이 銜字는 오른쪽 首班 함자 를 가지며, 이를 例外 易象 ( 英語 : exceptional inverse image )

${\displaystyle \operatorname {R} f^{!}\colon \operatorname {D} (\operatorname {Sh} (Y))\to \operatorname {D} (\operatorname {Sh} (X))}$

이라고 한다. 表記와 달리, 例外 易象 銜字를 오른쪽 전유도 銜字로 하는 함자 ${\displaystyle f^{!}\colon \operatorname {Sh} (Y)\to \operatorname {Sh} (X)}$는 一般的으로 存在하지 않는다.

層 코호몰로지 [ 編輯 ]

任意의 ${\displaystyle U\in {\mathcal {X}}}$에 對하여, 斷面 함자

${\displaystyle \Gamma (U,-)\colon \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}})\to \operatorname {Set} }$

는 同型 史上 과 丹沙 史上 을 保存하지만, 戰死 史上 은 一般的으로 保存하지 않는다. 萬若 어떤 아벨 範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$에 값을 가진 層의 境遇,

${\displaystyle \Gamma (U,-)\colon \operatorname {Sh} ({\mathcal {X}};{\mathcal {A}})\to {\mathcal {A}}}$

는 왼쪽 完全 함자 이며, 따라서 이 함자의 오른쪽 誘導 함자 를 定義할 수 있다. 이 函者들을 層 코호몰로지 라고 한다. 層들의 完全熱 에 對應하여 層 코호몰로지 君들의 긴 完全熱 이 存在한다.

예 [ 編輯 ]

아주 많은 例들이 있다.

• 位相 空間 X 위에서의 失手 連續 函數 의 層
• 매끄러운 多樣體 M 위에서의 매끄러운 函數 들의 層
• 매끄러운 多樣體 M 위에서의 벡터장 들의 層

連續 函數의 層 [ 編輯 ]

位相 空間 ${\displaystyle X}$의 各 열린集合 ${\displaystyle U\subset X}$에 對하여 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(U)}$를 失手 連續 函數 의 集合이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$ 위에 層을 이룬다. 이 境遇, 값을 가지는 範疇는 集合 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$, 아벨 軍 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Ab} }$, 또는 失手 벡터 空間 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {R} -Vect} }$일 수 있다.

매끄러운 函數의 層 [ 編輯 ]

매끄러운 多樣體 ${\displaystyle M}$ 위에 層 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$를 다음과 같의 定義하자. 열린 部分集合 ${\displaystyle U\in \operatorname {Open} (M)}$에 對해 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$는 모든 失手값 매끄러운 函數 들의 集合이다. 이는 아벨 軍 또는 失手 벡터 空間 값을 갖는 層을 이룬다.

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }\in \operatorname {Sh} (M,\operatorname {Ab} )}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }\in \operatorname {Sh} (M,\mathbb {R} {\text{-Vect}})}$

올다발의 斷面들의 層 [ 編輯 ]

位相 空間 ${\displaystyle E,X}$ 사이의 連續 函數 ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$가 주어졌다고 하자. (例를 들어, ${\displaystyle E}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 올多發 일 수 있다.) 그렇다면 層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 다음과 같이 定義하자.

${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)=\{f\in {\mathcal {C}}(U,E)|\pi \circ f=\operatorname {id} _{U}\}}$

이러한 ${\displaystyle f}$를 ${\displaystyle \pi }$의 斷面 이라고 한다. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 ( 아벨 軍 또는 失手 벡터 空間 값을 갖는) 層이며, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 에탈레 空間 은 ${\displaystyle E}$이다.

유계 連續 函數의 準層 [ 編輯 ]

局所 콤팩트 하지만 콤팩트 하지 않은 空間 ${\displaystyle X}$ 위에, 유계 連續 函數 들의 準層 ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\text{bounded}}}$을 생각하자. 이는 準層을 이루지만, 一般的으로 層을 이루지 못한다. 例를 들어, ${\displaystyle X}$ 위의 比喩界 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$를 생각하자. ${\displaystyle X}$에, 肺胞가 모두 콤팩트限 열린 덮개 ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$를 잡으면, ${\displaystyle f|_{U_{\alpha }}}$는 (콤팩트 空間 ${\displaystyle {\bar {U}}_{\alpha }}$ 위의 連續 函數 이므로) 유계 函數 이지만, 이들을 이어붙인 函數 ${\displaystyle f}$는 有界函數가 아니다.

歷史 [ 編輯 ]

層 理論이 正確히 언제, 누구에 依하여 提唱되었는지는 말하기 쉽지 않지만, 解釋的 連續 의 槪念의 發達과 더불어서 같이 發達된 것으로 생각된다. 아무튼, 코호몰로지 理論의 基礎로부터 獨自的인 理論으로 發達되는 데에는 大略 15年 假量의 時間이 걸렸다.

코호몰로지의 抽象的 定義 [ 編輯 ]

層 理論은 代數的 位相數學 에서, 코호몰로지 의 槪念을 一般化하기 위하여 定義되었다. 古典的으로 이는 베티 수 로서 여겨졌으나, 代數的 位相數學의 여러 定義를 하기 위해서는 이를 아벨 軍 으로 代替하여야 한다는 것이 밝혀졌다.

1932年에 에두아르트 체흐 는 체흐 코호몰로지 의 槪念을 定義하였고, 1936年에는 열린 덮개 의 神經 (nerve)을 定義하였다. 이것은 열린 덮개 에 어떤 團體 複合體 를 對應시킨 것이다. 체흐의 定義는 以前의 正義들보다 더 抽象的이다.

체흐와 제임스 워델 알렉산더 , 안드레이 콜모고로프 의 業績을 바탕으로, 1938年에 해슬러 휘트니 는 공사슬 複合體 를 使用하여 코호몰로지 를 最初로 現代的으로 定義하였다.

이 코호몰로지 理論들은 (現代的인 用語로는) 常數層 을 係數로 하고 있었다. 1943年에 노먼 스틴로드 는 이를 一般化하여, 位置마다 係數가 바뀔 수 있는, 卽 局所 係數를 가지는 호몰로지 에 對한 理論을 發表하였다.

層 理論의 始初 [ 編輯 ]

1945年에 張 르레 는 第2次 世界 大戰 에서 砲로 狀態에 最初로 後날 層 理論과 스펙트럼 熱 의 最初의 登場으로 여겨지게 되는 論文을 出版하였다. 以後 프랑스의 數學者들은 層 理論의 有用함을 곧 알아차렸다. 1947年 앙리 카르탕 이 앙드레 베유 에게 보낸 便紙에서, 層 理論을 利用한 새로운 드람 整理 의 證明 方法을 公開하였다.

르레는 열린集合 代身에 닫힌 集合들을 利用하여 層을 定義하였는데, 이는 此後 카라파스 ( 프랑스語 : carapace )로 불리게 된다. 이 定義는 1948年 카르탕 세미나 (Cartan seminar)에서 最初로 體系化되었다.

1950年 카르탕 세미나에서는 層 理論이 카라파스 代身 에탈레 空間 을 使用하여 再定義되었다. 이 세미나에서는 줄기 및 支持集合 을 가진 코호몰로지가 最初로 登場하였다. 또한, 連續 函數 의 스펙트럼 熱 이 定義되었다.

多變數 複素解釋學과 代數幾何學에서의 層 [ 編輯 ]

層 理論은 代數的 位相數學과 獨立的으로, 多變數 複素解釋學 에서 또한 始初를 찾을 수 있다. 1950年에 오카 기요시 는 多變數 複素解釋學 에서 아이디얼 들의 層을 定義하였다. 以後 1951年에는 오카의 業績을 바탕으로, 카르탕 세미나에서 多變數 複素解析學의 카르탕 整理 가 證明되었다.

곧 1953年 앙리 카르탕 과 장피에르 세르 는 벡터 다발 을 一般化한 連接層 을 導入하였고, 解釋的 連接層 의 層 코호몰로지 의 有限性 定理를 證明하였다. 또한 세르는 세르 雙大聲 을 證明하였다. 1954年에 세르는 有名한 論文 〈代數的 連接層 〉 ^[1] 에서 代數幾何學에서 쓸 수 있는 層 理論을 처음으로 紹介하였다. 이 論文에서의 아이디어는 프리드리히 히르體브루흐 에 依해서 使用되어 더욱 發達된 後 此後 1956年에 〈代數幾何學에서의 位相數學的 方法〉이라는 題目으로 出版되었고, 또한 1956年 오스카 자리스키 가 代數的 層 理論에 對한 論文을 發表하였다. ^[2]

또한, 1958年 頃 導入된 사토 미키오 의 超函數 (hyperfunction) 또한 자연스럽게 層 理論을 통해 定義할 수 있다는 것이 밝혀졌다.

그로텐디크의 誘導 銜字를 통한 正義 [ 編輯 ]

알렉산더 그로텐디크 는 範疇論 및 호몰로지 代數學 敵人 技法으로, 層의 槪念을 매우 一般的이고 抽象的인 方法으로 再定義하였다. 1955年 캔자스 大學校 에서의 講義에서 그로텐디크는 아벨 範疇 와 準層의 槪念을 定義하였고, 丹沙 分解 (injective resolution)의 槪念을 導入하였다. 이로서, 任意의 位相 空間 위에서 層 코호몰로지 軍은 誘導 함자 및 單四層 의 槪念을 통해 自然스럽게 定義할 수 있게 되었다.

1957年에 그로텐디크는 有名한 도호쿠 大學 數學 저널 論文에서 호몰로지 代數學 의 基礎를 새롭게 썼다. 그로텐디크는 또한 그로텐디크 雙大聲 ( Grothendieck duality , 特異點 을 가진 臺數多樣體 에도 適用될 수 있는 세르 雙大聲 의 一般化)를 證明하였다.

層 理論의 應用 [ 編輯 ]

1958年에 로제 고드망 의 標準的인 層 理論 敎材 ^[3] 가 出版되면서, 層 理論은 現代 數學의 主流 言語의 一部가 되었고, 더以上 代數的 位相數學 에서뿐만이 아니라 大部分의 數學 分野에서 쓰이게 되었다.

層들의 範疇를 吐포스 라고 한다. 모든 吐포스는 內部的 論理學을 가지며, 이 論理는 高次 直觀 論理 의 一種이다. 吐포스 理論을 使用하여, 이 論理에 크립키-駐아얄 意味論 이라는 意味論을 附與할 수 있음이 알려졌다. 이는 솔 크립키 의 크립키 意味論을 吐포스에 對하여 一般化한 것과 같다.

어원 [ 編輯 ]

프랑스語 單語 faisceau 는 ‘다발’·‘묶음’을 뜻하는 말이다. 張 르레 는 1946年 프랑스語 單語 faisceau 를 自身의 論文에 썼다. ^[4] 이 單語가 英語 sheaf 로 飜譯되었다. sheaf 가 이미 있는 用語라서 stack 으로 飜譯한 數學者도 있었지만 ^[5] 結果的으로 널리 쓰이게 되지는 않았다.

‘層(層)’이라는 飜譯語를 쓰기 始作한 사람은 亞키즈키 야스오 ( 日本語版 ) 이다. 그는 ‘다발(束)’이란 用語는 이미 日本 數學界에서 쓰이고 있으며 ‘層’의 日本語 發音 ソ? 가 프랑스語 faisceau 의 마지막 音節과 비슷하기 때문에 ‘層’이라는 單語를 擇했다. ^[6]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 올多發
• 제르브
• 吐포스
• 層 코호몰로지

各州 [ 編輯 ]

• Swan, R. G. (1964). 《The theory of sheaves》 (英語). University of Chicago Press.  
• Tennison, B. R. (1975). 《Sheaf theory》. London Mathematical Society Lecture Note (英語) 20 . Cambridge University Press.  
• Bredon, Glen E. (1997). 《Sheaf theory》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 170 2板. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0647-7 . ISBN   978-0-387-94905-5 . ISSN   0072-5285 . MR   1481706 . Zbl   0874.55001 .  
• Mac Lane, Saunders ; Ieke Moerdijk (1992). 《Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory》. Universitext (英語). Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0927-0 . ISBN   978-0-387-97710-2 . ISSN   0172-5939 . Zbl   0822.18001 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Hirzebruch, F. (1995). 《Topological methods in algebraic geometry》. Classics in Mathematics (英語). Springer. ISBN   978-3-540-58663-0 . MR   1335917 .  
• Kashiwara, M.; Schapira, P. (1990). 《Sheaves on Manifolds》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (英語) 292 . Springer. ISBN   978-3-540-51861-7 . MR   1299726 .   다음 날짜 값 確認 必要: |鳶島=와 |날짜=가 一致하지 않음 ( 도움말 )
• Seebach, J. Arthur Jr.; Seebach, Linda A.; Steen, Lynn A. (1970年 8月). “What is a sheaf?” (PDF) . 《The American Mathematical Monthly》 (英語) 77 (7): 681-703. doi : 10.2307/2316199 . JSTOR   2316199 . 2015年 9月 24日에 原本 文書 (PDF) 에서 保存된 文書 . 2015年 8月 12日에 確認함 .  
• Dowker, Clifford Hugh (1957). 《Lectures on sheaf theory》 (PDF) . Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics (英語) 6 . 뭄바이 : Tata Institute of Fundamental Research.  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Sheaf theory” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Sheaf” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Pre-sheaf” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sheaf” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Presheaf” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Presheaf of categories” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Siegel, Charles (2008年 1月 29日). “Sheaves” . 《Rigorous Trivialities》 (英語).  
• Siegel, Charles (2008年 1月 30日). “Morphisms of sheaves” . 《Rigorous Trivialities》 (英語).  
• Leinster, Tom. “Sheaves do not belong to algebraic geometry” (英語).  
• Mathew, Akhil (2010年 9月 7日). “Sheaves in Grothendieck topologies” . 《Climbing Mount Bourbaki》 (英語).  
• “Sheaf” . 《nLab》 (英語).  
  • “Motivation for sheaves, cohomology and higher stacks” . 《nLab》 (英語).  
  • “Presheaf” . 《nLab》 (英語).  
  • “Separated presheaf” . 《nLab》 (英語).  
  • “Category of presheaves” . 《nLab》 (英語).  
  • “Category of sheaves” . 《nLab》 (英語).  
  • “Functoriality of categories of presheaves” . 《nLab》 (英語).  
  • “Sheafification” . 《nLab》 (英語).  
• “Abelian sheaf” . 《nLab》 (英語).  
  • “Sheaf of abelian groups” . 《nLab》 (英語).  
• “Six operations” . 《nLab》 (英語).  
  • “Direct image” . 《nLab》 (英語).  
  • “Inverse image” . 《nLab》 (英語).  
  • “Direct image with compact support” . 《nLab》 (英語).  
  • “Exceptional inverse image” . 《nLab》 (英語).  
  • “Verdier duality” . 《nLab》 (英語).