立方倍積問題 (立方倍積問題,Doubling the cube)는 歷史的으로 델리안 問題(Delian problem) 또는 델로스 問題라고도 불린다.

圓積問題 , 角의 3等分 問題 와 함께 古代 그리스 時節부터 提起되어 온 幾何學 의 3代 問題 中 하나로서, 피에르 房첼 은 1837年에 2個의 立方體가 構成 可能하지 않다는 것을 證明했다. 卽 컴퍼스와 自慢으로 作圖가 不可能한 問題임이 證明되었다.

歷史 [ 編輯 ]

이 問題는 델로스 市民들에 關한 이야기에서 이름이 由來했다. 델로스(Delos) 市民은 델포이의 오라클 과 相議하여 아폴로가 보낸 傳染病을 물리칠 方法을 願했다. ^[1] 플루타르코스 에 따르면 델로스 市民들은 市民들間의 關係를 强化시킨 內部 政治 問題 卽 傳染病 退治에 對한 解決策을 델포이의 오라클과 協議하여 摸索했다. 오라클은 아폴론의 祭壇 크기를 그보다 더 큰 두 倍의 크기로 늘려서 만들어야 한다고 對答했다. ^[2] 그 對答은 델로스 섬 住民인 델리안들에게 理解하기 어려운 問題로 보였고 그들은 오라클이 提示한 큐브(正四角形)의 부피를 두 倍로 늘리는 數學的 問題를 解釋할 수 있는 플라톤 과 相議했다. 델로스 市民들은 플라톤이 오라클이 助言한 아폴로 祭壇의 크기를 두 倍로 늘리는 것이 可能한지에 對한 그들의 궁금症을 진정시키기 위한 幾何學과 數學에 對한 硏究와 說明을 期待했다. ^[3]

플루타르코스(Plutarch)에 따르면, 플라톤(Plato)는 機械的인 手段을 使用하여 問題를 解決하려는 에우독소스 (Eudoxus)와 아르키타스(Archytas)와 메나이크모스 (Menaechmus)에게 純粹한 幾何學을 使用하여 問題를 解決하지 못한 것에 對한 責望을 했다고 傳해진다. ^[4] 이것은 플라톤의 對話錄에 나오는 시시포스에서 著者에 依해 350年頃에 이 問題가 풀려졌는지에 對해 言及되지 않은 理由일 수 있다. ^[5] 또 한便으로는 유토視우스(Eutocius of Ascalon)에 依한 에라토스테네스 (Eratosthenes)에 起因한 이야기의 또 다른 버전은 모든 세 가지 解決策을 찾았지만 너무 抽象的이어서 實用的인 價値가 없었다고 傳해진다. ^[6]

이 問題에 對한 解決策을 찾는 데 있어 重要한 發展은 키오스 히포크라테스가 發見한 것으로 任意의 線分(세그먼트)에 對해 길이가 두 倍인 선 세그먼트와 그 두 세그먼트 사이의 平均 比例를 찾는 것과 같다. ^[7] 現代 表記法에서 이것은 길이 ${\displaystyle a}$ 와 ${\displaystyle 2a}$의 주어진 세그먼트가 立方體를 複製했을때, 길이 ${\displaystyle r}$ 과 ${\displaystyle s}$의 세그먼트를 찾는 것과 同一하다는 것을 意味한다.

${\displaystyle {{a} \over {r}}={{r} \over {s}}={{s} \over {2a}}}$

次例로 이것은,

${\displaystyle r=a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1.2599210498948732....(OEIS2CA002580)}$

그러나 피에르 房첼 은 이러한 立方倍積이 컴퍼스와 自慢으로 作圖가 不可能한 問題로 可能하지 않다는 것을 證明했다.

計算 [ 編輯 ]

이것은 3次 方程式을 意味하는 問題로 바라볼 수 있다.

가로,세로,높이의 길이가 ${\displaystyle a=1}$人 부피를 갖는 正四角形의 큐브를 豫約해보고,

그 큐브 부피의 2倍가 더 큰 正四角形 큐브를 假定해보면,

${\displaystyle x=2\cdot a}$

${\displaystyle x^{3}=2\cdot a^{3}}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{3}}}={\sqrt[{3}]{2a^{3}}}}$

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}\;a}$

따라서, ${\displaystyle a=1}$일때,

${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}}$이다.

세제곱根은 作圖가 不可能하므로, 立方倍積은 컴퍼스와 自慢으로 作圖할 수 없다. 그러나 눈금이 있는 者와 컴퍼스를 使用하는 뉴시스 作圖 나 종이를 접는 종이접기 作圖 에서는 三次 方程式 의 해인 세제곱根을 作圖할 수 있으므로 立方倍積의 作圖가 可能하다.

같이 보기 [ 編輯 ]

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立方倍積問題

• 作圖可能한 手
• 컴퍼스와 字 作圖
• 三次方程式

各州 [ 編輯 ]