初等代數學 에서 二項 整理 (二項定理, 文化語 : 두마디公式, 英語 : binomial theorem )는 二項式 의 거듭제곱 을 二項 計數 를 係數로 하는 一連의 單項式 들의 合으로 展開하는 整理이다. 二項 整理를 使用하면 더욱 便利하게 計算할 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

二項 整理 에 따르면, 이변수 複素數 多項式 ${\displaystyle (x+y)^{n}}$을 다음과 같이 展開할 수 있다.

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=x^{n}+nx^{n-1}y+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +y^{n}}$

여기서

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$

는 二項 計數 이며, ${\displaystyle n}$個에서 ${\displaystyle k}$個를 고르는 組合 의 가짓數이다. 二項 係數는 파스칼의 三角形 의 元素들인데, 이 三角形에 配列되었을 때, 二項 係數는 左右 對稱을 띠며, 各 元素는 바로 위의 두 이웃 元素의 합이다.

證明 [ 編輯 ]

組合論的 證明 [ 編輯 ]

${\displaystyle (x+y)^{n}}$의 展開는 다음과 같은 ${\displaystyle 2^{n}}$個의 項으로 이루어진다.

${\displaystyle e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}}$

여기서

${\displaystyle e_{ij}\in \{x,y\}}$

${\displaystyle i=1,2,\dots ,2^{n}}$

또한, ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ 꼴의 項의 個數는 ${\displaystyle n}$個에서 ${\displaystyle k}$個를 고르는 組合 의 가짓數와 같으며, 卽 二項 計數 ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$와 같다. 이는 各 項이 ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$의 部分 集合과

${\displaystyle e_{i1}e_{i2}\cdots e_{in}\mapsto \{j\in \{1,2,\dots ,n\}\colon e_{ij}=y\}}$

와 같이 一對一 對應하며, 이 境遇 ${\displaystyle x^{n-k}y^{k}}$ 꼴의 項들은 ${\displaystyle \{1,2,\dots ,n\}}$의 ${\displaystyle k}$元素 部分 集合들과 一對一 對應하기 때문이다. 따라서, 二項 整理가 成立한다.

數學的 歸納法을 통한 證明 [ 編輯 ]

二項 係數의 恒等式

${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}}}$

및 指數 ${\displaystyle n}$에 對한 數學的 歸納法 을 통해 二項 整理를 다음과 같이 證明할 수 있다. 于先, ${\displaystyle n=0}$의 境遇 自明하게 成立한다. 卽,

${\displaystyle (x+y)^{0}=1}$

이제, ${\displaystyle n}$에 對하여 成立한다고 假定하자. 그렇다면,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\sum _{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}\\&=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}\right)x^{n+1-k}y^{k}+y^{n+1}\\&=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k}\end{aligned}}}$

卽, ${\displaystyle n+1}$에 對하여 成立한다. 數學的 歸納法에 따라, 二項 整理는 任意의 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對하여 成立한다.

예 [ 編輯 ]

몇 가지 작은 指數의 境遇의 二項 整理는 다음과 같다.

${\displaystyle (x+y)^{0}=1}$

${\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}$

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}$

任意의 複素數 를 ${\displaystyle x}$와 ${\displaystyle y}$에 代入해도 成立한다. 다만 指數 0의 境遇 0 ⁰ = 1이라고 假定해야 한다.

關聯 整理 [ 編輯 ]

一般化된 二項 整理 [ 編輯 ]

二項式을 거듭제곱하는 指數를 任意의 複素數 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$까지 擴張할 수 있다. 이렇게 一般化된 二項 整理에선 展開가 無限 級數 가 되며, 다음과 같다.

${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}=x^{\alpha }+\alpha x^{\alpha -1}y+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}x^{\alpha -2}y^{2}+\cdots }$

여기서

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}}$

는 一般化된 二項 係數이다. 二項 整理는 一般化된 二項 定理에서 ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$人 특수한 境遇이다. ${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {N} }$일 境遇, 이 等式은 ${\displaystyle |x|>|y|}$일 때 成立하며, ${\displaystyle |x|<|y|}$일 때 成立하지 않으며, ${\displaystyle |x|=|y|}$일 때의 成立 與否는 ${\displaystyle x,y,\alpha }$의 값에 따라 다르다.

다항 整理 [ 編輯 ]

二項式 代身 여러 抗議 多項式을 使用하면 다항 整理를 얻으며, 다음과 같다.

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} }^{k_{1}+k_{2}+\cdots k_{m}=n}{\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m}!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}}}$

이를 多重指標 를 使用하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{m}}^{|K|=n}{\binom {n}{K}}x^{K}}$

二項 整理는 다항 定理에서 ${\displaystyle m=2}$人 특수한 境遇이다.

多重 二項 整理 [ 編輯 ]

하나의 二項式의 거듭제곱 代身 여러 (重複이 可能한) 二項式들의 곱을 使用하면 多衆 二項 整理를 얻으며, 다음과 같다.

${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}(x_{2}+y_{2})^{n_{2}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\sum _{k_{2}=0}^{n_{2}}\cdots \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{n_{1}-k_{1}}y_{1}^{k_{1}}{\binom {n_{2}}{k_{2}}}x_{2}^{n_{2}-k_{2}}y_{2}^{k_{2}}\cdots {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{n_{d}-k_{d}}y_{d}^{k_{d}}}$

이를 多重指標를 使用하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle (x+y)^{N}=\sum _{K\in \mathbb {N} ^{d}\colon K\leq N}{\binom {N}{K}}x^{N-K}y^{K}}$

二項 整理는 多衆 二項 定理에서 ${\displaystyle d=1}$人 특수한 境遇이다.

可換環의 境遇 [ 編輯 ]

二項 整理는 任意의 可換環 의 元素를 係數로 하는 多項式에 對해서도 成立한다. 二項 整理는 複素數 多項式 에 對한 특수한 境遇이다.

歷史 [ 編輯 ]

二項係數가 三角形의 形態로 配列되는 이 式은 種種 17世紀 블레즈 파스칼 의 公的으로 알려져 있으나 實際로는 이슬람 , 南아시아 , 東아시아 文化圈 모두에서 獨立的으로 미리 發見되어 있었다. 時期와 發見者는 各各 10世紀 印度 數學者 할라유다 , 페르시아 數學者 알카라地 ^[1] 와 13世紀 中國의 數學者 揚輝 였다. ^[2]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 이항 分布
• 스털링 近似

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Binomial Theorem” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Binomial theorem” . 《nLab》 (英語).  
• “Binomial theorem” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “Binomial theorem, proof of” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “Binomial theorem” . 《ProofWiki》 (英語).