이 文書는 代數學에서의 有理 函數에 關한 것입니다. 臺數多樣體 나 스킴 위의 有理 函數에 對해서는 有理 含水層 文書를 參考하십시오.

비슷한 이름의 有理型 函數 , 有利 史上 에 關해서는 該當 文書를 參考하십시오.

代數學 과 解析學 에서 有理 函數 (有理函數, 英語 : rational function )란 두 多港函數 의 比로 나타낼 수 있는 函數다.

正義 [ 編輯 ]

체 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle n}$變數의 有理 函數體 ${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})}$는 多項式環 의 噴水體 이다.

${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=\operatorname {Frac} (K[x_{1},\dots ,x_{n}])}$

有理 函數體의 元素를 有理 函數 라고 한다.

卽, 有理 函數體에 屬하는 函數는 多項式들의 非, 卽

${\displaystyle {\frac {p(x_{1},\dots ,x_{n})}{q(x_{1},\dots ,x_{n})}}\qquad (p,q\in K[x_{1},\dots ,x_{n}],\;q\neq 0)}$

의 꼴이며, 約分을 해서 같아지는 多項式들의 비는 같은 琉璃 函數로 看做한다.

性質 [ 編輯 ]

체의 係數를 갖는 有理 函數들은 체 를 이룬다. 卽, 交換法則 , 結合法則 , 分配法則 이 成立한다.

有理 函數體의 境遇 體의 同型

${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})\cong K(x_{1})(x_{2})\cdots (x_{n})}$

이 存在한다.

有理 函數體는 代數的으로 닫힌 체 가 아니며, 그 代數的 肺胞 를 代數 函數 의 체 ${\displaystyle {\overline {K(x_{1},\dots ,x_{n})}}}$라고 한다.

테일러 級數 [ 編輯 ]

有理 函數를 테일러 級數 로 表現했을 때, 그 係數를 同類項 整理를 통해 日次 漸化式 으로 나타낼 수 있다.

例를 들어, 다음 琉璃 函數의 테일러 級數 를 생각하자.

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-x+2}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

兩邊에 分母를 곱하여 分解할 수 있다.

${\displaystyle 1=(x^{2}-x+2)\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle 1=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+2}-\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k+1}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

그리하여 同類項 整理를 통해 다음 等式을 얻는다.

${\displaystyle 1=\sum _{k=2}^{\infty }a_{k-2}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }a_{k-1}x^{k}+2\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$

結局 이 過程을 통해 最初 주어진 有理式을 테일러 展開했을 때, 係數의 日次 漸化式을 얻을 수 있다. 이 漸化式을 풀면 直接 一般港을 얻을 수 있다.

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle a_{1}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2}}(a_{k-1}-a_{k-2})\qquad (k\geq 2)}$

無理函數 [ 編輯 ]

有理 函數

${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

는 ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {5}}}$에서 값이 定義되지 않는다.

有理 函數

${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}+5)}}}$

는 모든 失手에서 定義되지만 모든 複素數에서 定義되는 것은 아니다.

有理 函數

${\displaystyle x\mapsto {\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}}$

는 ${\displaystyle x}$가 無限히 커지면 ${\displaystyle x/2}$에 接近한다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 有理型 函數
• 有利 史上
• 有理 含水層

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Rational function” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .