抽象代數學 에서 分割複素數 (分割複素數, 英語 : split-complex number )는 可換環 ${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)}$의 元素이다. 卽, 그 臺數는 實數體 에 1의 또다른 제곱根 ${\displaystyle \mathrm {j} }$를 追加하여 얻어지는 臺數 體系이다.

正義 [ 編輯 ]

直接的 正義 [ 編輯 ]

分割複素數들은 失手 可換 結合 臺數 를 이루며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}=\mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)}$

이는 2次元 失手 벡터 空間 을 이루며, 그 基底 는 ${\displaystyle \{1,\mathrm {j} \}}$이다. 이 基底에서, 分割複素數의 곱셈은 具體的으로 다음과 같다.

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac+bd,bc+ad)}$

卽,

${\displaystyle (a+b\mathrm {j} )(c+d\mathrm {j} )=(ac+bd)+(bc+ad)\mathrm {j} }$

이다.

두 實數體의 職합 [ 編輯 ]

實數體 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의, 스스로와의 直接곱 을 생각하자.

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

卽, 그 위의 곱셈은 다음과 같다.

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)\qquad \forall a,b,c,d\in \mathbb {R} }$

이는 失手 可換 結合 臺數 로서 分割複素數의 代數와 同型이다. 具體的으로, 이 境遇

${\displaystyle 1_{\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }=(1,1)}$

이므로,

${\displaystyle \mathrm {j} =(1,-1)}$

를 定義하자. 그렇다면, ${\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=1}$이 되어,

${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \cong \mathbb {R} [\mathrm {j} ]/(\mathrm {j} ^{2}-1)}$

임을 알 수 있다. 物理學的으로, 이 定義는 빛圓뿔 座標系 를 使用하는 것에 該當한다.

行列을 통한 正義 [ 編輯 ]

分割複素數의 臺數 ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}}$는 忠實한 2次元 表現을 가지므로, 이는 2×2 失手 行列로 定義될 수 있다.

具體的으로, ${\displaystyle \mathrm {j} }$를 恒等元 의 스칼라倍加 아니지만, 제곱이 1人 任意의 2×2 失手 行列로 잡으면, 이는 分割複素數의 行列 表現을 定義한다. 特히, 다음과 같은 選擇이 便利하다.

${\displaystyle \mathrm {j} ={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$

卽,

${\displaystyle a+b\mathrm {j} ={\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}}$

이다.

演算 [ 編輯 ]

켤레 [ 編輯 ]

分割複素數의 圜은 다음과 같은 大蛤 을 갖는다.

${\displaystyle {\overline {(-)}}\colon {\tilde {\mathbb {C} }}\to {\tilde {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle a+b\mathrm {j} \mapsto a-b\mathrm {j} }$

이는 失手 線型 變換 利子 換 蠢動型 이다.

分割複素數의 2×2 行列 表現에서, 이는 다음과 같은 演算에 該當한다.

${\displaystyle M\mapsto {\mathsf {C}}M{\mathsf {C}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\mathsf {C}}^{2}=1_{2\times 2}}$

絶對값 [ 編輯 ]

分割複素數의 失手 벡터 空間 위에는 다음과 같은 非退化 二次 形式 이 存在한다.

${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}\in \mathbb {R} \qquad \forall z\in {\tilde {\mathbb {C} }}}$

卽,

${\displaystyle |a+b\mathrm {j} |^{2}=a^{2}-b^{2}\in \mathbb {R} \qquad \forall a,b\in \mathbb {R} }$

이다. 이는 다음과 같이 곱셈을 保存한다.

${\displaystyle |xy|^{2}=|x|^{2}|y|^{2}\qquad \forall x,y\in {\tilde {\mathbb {C} }}}$

이는 羊의 정부호 가 아니라 不正符號이다. 卽, 陰의 값을 가질 수 있다.

指數 函數 [ 編輯 ]

分割複素數에 對하여, 다음과 같은 指數 函數 를 定義할 수 있다.

${\displaystyle \exp(a+b\mathrm {j} )=\exp(a)\left(\cosh b+(\sinh b)\mathrm {j} \right)\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} }$

이는 다음과 같은 性質을 만족시킨다.

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)\qquad \forall x,y\in {\tilde {\mathbb {C} }}}$

또한, 이를 實數體 에 制限할 境遇, 이는 失手의 指數 函數 와 一致한다.

分割複素數의 2×2 行列 表現에서, 이는 行列 指數 函數 와 一致한다.

性質 [ 編輯 ]

分割複素數의 臺數는 2次元 失手 可換 結合 臺數 이다. 이는 程驛 이 아니며, 例를 들어 다음과 같이 零因子 를 갖는다.

${\displaystyle (1+\mathrm {j} )(1-\mathrm {j} )=0}$

事實, ${\displaystyle |xy|^{2}=|x|^{2}|y|^{2}}$이므로, 分割複素數가 零因子 日 必要 充分 條件 은 그 제곱 絶對값이 0人 것이다.

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} }}\cong \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$이므로, 分割複素數의 換衣 스펙트럼 銀 두 失手 0次元 아핀 空間 의 分離合集合 이다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {R} )=\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{0}\sqcup \mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{0}}$

歷史 [ 編輯 ]

1848年에 제임스 코클( 英語 : James Cockle , 1819~1895)李 分割複素數에 該當하는 臺數 體系를 最初로 使用하였다. ^[1] 코클은 이를 “失手 테사린”( 英語 : real tessarine )이라고 불렀다. 코클은 元素 ${\displaystyle \mathrm {j} }$를 “不可能性”( 英語 : impossibility )을 나타내는 것으로 解釋하였다. 이에 對하여, 코클은 다음과 같이 적었다.

“

不可能性을 나타내는 記號는 適切할 뿐만 아니라, 臺數 硏究의 다양한 主題를 正確하게 分類하고, 實在하지 않는 값과 存在 不可能한 값들을 區別하려면, 事實 不可缺하다. A symbol for impossibility is not only desirable, but actually necessary, provided that we wish to classify with accuracy the various subjects of algebraic research, and to distinguish those which are unreal from those which are impossible.

”

이 記號 ${\displaystyle \mathrm {j} }$의 제곱의 값을 코클은 다음과 같이 ‘柔道’하였다. 于先,

${\displaystyle 0'=1+{\sqrt {j}}}$^{[1] :39, (1)}

이다. (여기서, ${\displaystyle 0'}$은 코클의 記號 體系에서 單純히 값이 0인 狀態가 아니라 “絶對的 不在”( 英語 : absolute negation of existence )를 뜻한다.) 이에 따라

${\displaystyle +{\sqrt {j}}=-1}$^{[1] :40, §2}

이며, 따라서

${\displaystyle j^{2}=1}$^{[1] :40, §2}

이다. 이에 對하여 코클은 陰水의 제곱이 陽數인 것에 着眼하여 다음과 같이 적었다.

“	이 記號[ j ]의 性質은 事實 거의 先驗的으로 類推될 수 있다. […] 純粹한 不可能性 ? 同時에 讓受이자 音囚人 값 ? 의 제곱은 可能한 값으로 取扱되어야 한다. 矛盾은 제곱을 하면 사라진다 […] This symbol possesses the character which we might, almost, have anticipated for it a priori . […] the square of a Pure Impossible ? of a quantity taken as simultaneously positive and negative ? is to be treated as possible. The contradiction vanishes on squaring, […]	”
	— [1] :38

윌리엄 킹던 클리퍼드 도 이러한 臺數 體系를 使用하였으며, ^[2] 클리퍼드는 이를 “모터”( 英語 : motor )라고 불렀다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 민코프스키 空間

參考 文獻 [ 編輯 ]