베티 수 ( 英語 : Betti number )는 位相 空間 의 호몰로지 軍 의 計數 다. 空間의 位相的 特性을 나타내는 數列의 하나다. 記號는 ${\displaystyle b_{k}}$며, 0이거나, 陽의 精髓이거나, ${\displaystyle \infty }$이다. 좀 더 다루기 쉬운 ( 콤팩트 空間 또는 CW 複合體 等) 境遇에는 베티 數는 모두 有限하며, 어느 ${\displaystyle k_{0}}$부터 ${\displaystyle k\geq k_{0}}$에 對하여 ${\displaystyle b_{k}=0}$이다.

正義 [ 編輯 ]

位相 空間 ${\displaystyle X}$, 音이 아닌 淨水 ${\displaystyle k}$, 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$가 주어지면, ${\displaystyle k}$番째 베티 수 ${\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )}$는 ${\displaystyle k}$番째 特異 호몰로지 空間 ${\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {F} )}$의 ( ${\displaystyle \mathbb {F} }$에 對한 벡터 空間 으로서의) 次元이다. 式으로 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle b_{k}(X,\mathbb {F} )=\dim H_{k}(X;\mathbb {F} )}$

一般的으로, ${\displaystyle \mathbb {F} }$가 주어지지 않았을 때에는 ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} }$ ( 有理數 )를 의미하는 것이다. 有理數에 對한 베티 數는 定數에 對한 호몰로지 空間 ${\displaystyle H_{k}(X;\mathbb {Z} )}$의 計數 와 같다. ${\displaystyle \mathbb {F} }$의 票數 가 0이면 베티 數는 恒常 有理數에 對한 베티 數와 같지만, 票數가 有限한 境遇 달라질 수 있다. 萬若 ${\displaystyle k}$가 주어지지 않으면 暗默的으로 ${\displaystyle k=1}$이다.

콤팩트 空間 이나 CW 複合體 의 베티 數는 어떤 有限한 ${\displaystyle k_{0}}$ 以上으로는 ${\displaystyle k\geq k_{0}}$에 對하여 ${\displaystyle b_{k}=0}$이다. 따라서 베티 數를 生成函數 로 나타낼 수 있는데, 이를 푸앵카레 多項式 ( 英語 : Poincare polynomial )이라 한다. 卽 푸앵카레 多項式 ${\displaystyle P(z)}$는 다음을 滿足한다.

${\displaystyle P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}z^{k}}$

無限次元에서는 이를 一般化하여 푸앵카레 級數 ( 英語 : Poincare series )를 定義할 수 있다.

性質 [ 編輯 ]

거칠게 말해서, ${\displaystyle k>0}$일 때 베티 수 ${\displaystyle b_{k}}$는 ${\displaystyle k}$次元 "구멍"의 數를 나타내는 것으로 解釋할 수 있다. 例를 들어 舊 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 베티 數는 ${\displaystyle k\in \{0,n\}}$일 때에만 1이고 나머지 境遇엔 0이다.

有限한 CW 複合體 ${\displaystyle K}$의 境遇 오일러 指標 와 베티 數는 다음과 같은 關係를 가진다.

任意의 체 ${\displaystyle \mathbb {F} }$에 對하여, ${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,\mathbb {F} )}$

여기서 ${\displaystyle \chi (K)}$는 오일러 指標 이다.

任意의 (베티 數列이 有限한) 位相 空間 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$에 對하여 그 곱空間 ${\displaystyle X\times Y}$의 푸앵카레 多項式은 各 空間의 푸앵카레 多項式의 곱이다.

${\displaystyle P_{X\times Y}(z)=P_{X}(z)P_{Y}(z)}$

마찬가지로, ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 分離合集合 ${\displaystyle X\sqcup Y}$의 푸앵카레 多項式은 各 空間의 푸앵카레 多項式의 合이다.

${\displaystyle P_{X\sqcup Y}(z)=P_{X}(z)+P_{Y}(z)}$

닫힌 n 次元 加香 多樣體 ${\displaystyle X}$의 境遇, 베티 數는 다음 關係를 滿足한다.

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X)}$

이는 푸앵카레 雙大聲 ${\displaystyle H^{k}=H_{n-k}}$으로부터 誘導할 수 있다.

예 [ 編輯 ]

${\displaystyle n}$次元 初球 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=1+z^{n}}$

${\displaystyle n}$次元 圓環面 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$의 푸앵카레 多項式은 원의 푸앵카레 多項式으로부터 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {S} ^{n}}(z)=(1+z)^{n}}$

${\displaystyle n}$次元 失手 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)={\begin{cases}1&2\mid n\\1+x^{n}&2\nmid n\end{cases}}}$

無限 次元 失手 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }}$의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {RP} ^{n}}(z)=1}$

${\displaystyle 2n}$次元 複素數 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {cP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+\cdots +z^{2n}={\frac {1-z^{2n+2}}{1-z^{2}}}}$

無限 次元 複素數 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }}$의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\mathbb {CP} ^{n}}(z)=1+z^{2}+z^{4}+\cdots ={\frac {1}{1-z^{2}}}}$

종수 ${\displaystyle g}$의 콤팩트 有香 曲面 의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\Sigma _{g}}(z)=1+2gz+z^{2}}$

K3 曲面 의 푸앵카레 多項式은 다음과 같다.

${\displaystyle P_{\text{K3}}(z)=1+22z^{2}+z^{4}}$

里 軍 [ 編輯 ]

콤팩트 單一 連結 單純 里 軍 ${\displaystyle G}$의 푸앵카레 多項式들은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle P_{G}(z)=\prod _{n\in N(G)}(1+z^{n})}$

여기서 ${\displaystyle N(G)}$는 遠視 指數 ( 英語 : primitive exponent )라고 하며, 다음과 같다.

單純 里 軍	遠視 指數	OEIS
${\displaystyle \operatorname {SU} (n+1)}$	${\displaystyle 3,5,\dots ,2n+1}$
${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$	${\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}$
${\displaystyle \operatorname {USp} (2n)}$	${\displaystyle 3,7,\dots ,4n-1}$
${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$	${\displaystyle 3,7,\dots ,4n-5,2n-1}$
${\displaystyle G_{2}}$	3, 11
${\displaystyle F_{4}}$	3, 11, 15, 23
${\displaystyle E_{6}}$	3, 9, 11, 15, 17, 23	( OEIS 의 水熱 A106373 )
${\displaystyle E_{7}}$	3, 11, 15, 19, 23, 27, 35	( OEIS 의 水熱 A106374 )
${\displaystyle E_{8}}$	3, 15, 23, 27, 35, 39, 47, 59	( OEIS 의 水熱 A106403 )

歷史 [ 編輯 ]

앙리 푸앵카레 가 엔리코 베티 의 이름을 따서 명명하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 오일러 指標

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Betti number” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Betti number” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Betti number” . 《nLab》 (英語).