內接圓

內接圓 (內接圓, 英語 : inscribed circle, incircle )은 幾何學 에서 주어진 多角形 의 모든 邊에 接하는 원 이다. 內心 (內心, 英語 : incenter )은 內接圓의 中心을 일컫는다. 一般的인 多角形은 內接圓을 갖지 않는다. 그러나 三角形 또는 正多角形 의 內接圓은 恒常存在한다. 內心은 흔히 $I$ 로 表記하며, 內接圓의 半지름은 흔히 $r$ 로 表記한다.

正義 [ 編輯 ]

多角形 의 모든 邊에 接하는 원 을 이 多角形의 內接圓 이라고 한다. 內接圓의 中心을 內心 이라고 한다. 內接圓을 갖는 多角形을 外接多角形 (外接多角形, 英語 : tangential polygon, circumscribed polygon )이라고 한다.

性質 [ 編輯 ]

(內接圓을 갖는) 多角形의 內接圓은 그 內部에 包含되는 가장 큰 원이다. (內接圓을 갖는) 多角形의 內心은 모든 內角二等分線 의 交點이다. (內接圓을 갖는) 多角形의 內心과 모든 邊 사이의 距離는 같다. 이는 內接圓의 半지름이다.

모든 三角形 과 正多角形 은 內接圓을 갖는다. 正三角形 의 內心은 外心 , 무게 中心 , 水深 과 一致한다. 三角形의 內心은 放心三角形 의 水深이다. 포이어바흐 整理 에 따르면, 三角形의 內接圓 및 세 傍接圓 은 九點圓 과 接한다.

半지름 [ 編輯 ]

(內接圓을 갖는) 多角形의 內接圓의 半지름 $r$ 은 넓이 $S$ 와 反둘레 $s$ 를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

r={\frac {S}{s}}

三角形의 세 邊의 길이가 $a$ , $b$ , $c$ , 反둘레가 $s$ , 넓이가 $S$ , 外接圓 의 半지름이 $R$ , 傍接圓 의 半지름이 $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ 라고 할 때, 內接圓의 半지름은 다음과 같다.

{\begin{aligned}r&={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\\&={\frac {abc}{4sR}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{r_{A}}}+{\frac {1}{r_{B}}}+{\frac {1}{r_{C}}}}}\\&=r_{A}+r_{B}+r_{C}-4R\end{aligned}}

첫 等號는 헤론의 公式 에 依한다.

接點과 中心角 [ 編輯 ]

三角形 $ABC$ 의 內心을 $I$ 라고 하고, 內接圓과 두 邊 $AC$ , $BC$ 의 接點을 各各 $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 直線 $AI$ 와 $T_{B}T_{C}$ 의 交點을 $P$ 라고 할 때, $BP$ 는 $AI$ 의 수선이다. ^[1]^{:31, §3.4}

三角形 $ABC$ 의 內接圓의 $A$ , $B$ , $C$ 의 代辯에서의 接點을 各各 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 反둘레를 $s$ , $A$ , $B$ , $C$ 의 大便의 길이를 各各 $a$ , $b$ , $c$ 라고 할 때, 다음이 成立한다.

AT_{B}=AT_{C}=s-a

BT_{C}=BT_{A}=s-b

CT_{A}=CT_{B}=s-c

三角形 $ABC$ 의 內心 $I$ 와 꼭짓點들이 이루는 角의 크기는 다음과 같다.

\angle AIB=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle ACB

\angle BIC=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle BAC

\angle CIA=90^{\circ }+{\frac {1}{2}}\angle CBA

外接圓과의 關係 [ 編輯 ]

三角形의 外接圓과 內接圓의 半지름을 $R$ , $r$ 라고 할 때, 內心 $I$ 와 外心 $O$ 사이의 距離는 다음과 같다 ( 오일러 三角形整理 ).

OI={\sqrt {R^{2}-2Rr}}

特히 다음과 같은 不等式이 成立한다 ( 오일러의 不等式 ).

R\geq 2r

三角形 $ABC$ 의 內心을 $I$ , 外接圓 의 號 $BC$ 의 重點 $M$ 이라고 할 때, 다음이 成立한다 ( 맨션 整理 ).

MI=MB=MC

內心三角形 [ 編輯 ]

三角形 $ABC$ 의 內角二等分線 $AI_{A}$ , $BI_{B}$ , $CI_{C}$ 의 발 $I_{A}$ , $I_{B}$ , $I_{C}$ 를 꼭짓點으로 하는 三角形을 三角形 $ABC$ 의 內心三角形 (內心三角形, 英語 : incentral triangle ) $I_{A}I_{B}I_{C}$ 라고 한다. 卽, 內心三角形은 內心의 체바 三角形 이다.

제르곤 點과 제르곤 三角形 [ 編輯 ]

三角形 $ABC$ 의 內接圓과 꼭짓點 $A$ , $B$ , $C$ 의 對邊의 接點을 各各 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 체바 整理 에 따라 線分 $AT_{A}$ , $BT_{B}$ , $CT_{C}$ 는 한 點에서 만난다. 이 點을 三角形 $ABC$ 의 제르곤 點 ( 英語 : Gergonne point ) $X_{7}$ 이라고 한다. 三角形 $ABC$ 의 內接圓의 세 接點 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 를 꼭짓點으로 하는 三角形을 三角形 $ABC$ 의 제르곤 三角形 ( 英語 : Gergonne triangle ) 또는 內鏃三角形 ( 英語 : intouch triangle ) 또는 接觸三角形 ( 英語 : contact triangle ) $T_{A}T_{B}T_{C}$ 라고 한다. 卽, 제르곤 三角形은 內心의 手足三角形利子 제르곤 點의 체바 三角形 이다.

證明:

다음 等式 및 체바 整理 에 따라 線分 $AT_{A}$ , $BT_{B}$ , $CT_{C}$ 는 한 點에서 만난다.

{\frac {AT_{C}}{T_{C}B}}\cdot {\frac {BT_{A}}{T_{A}C}}\cdot {\frac {CT_{B}}{T_{B}A}}={\frac {s-a}{s-b}}\cdot {\frac {s-b}{s-c}}\cdot {\frac {s-c}{s-a}}=1

제르곤 點은 제르곤 三角形의 對稱重點 이다. ^[1]^{:62, §7.4, (iv)}

三角形 $ABC$ 의 內接圓과 꼭짓點 $A$ , $B$ , $C$ 의 對邊의 接點을 各各 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 點을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 點 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 三角形의 各便 $T_{A}T_{B}$ , $T_{B}T_{C}$ , $T_{C}T_{A}$ 의 平行線 $PS$ , $RU$ , $TQ$ 와 元來三角形 $ABC$ 의 두 邊 $BC$ 와 $CA$ , $CA$ 와 $AB$ , $AB$ 와 $BC$ 의 交點을 各各 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 그렇다면 이 6個의 交點은 한 원 위에 있다. 二 원을 三角形 $ABC$ 의 애덤스 원 ( 英語 : Adams’ circle )이라고 한다. ^[1]^{:62, §7.4, (v)} 애덤스 원은 內接圓과 同心圓 이다. ^[1]^{:62, §7.4, (v)}

證明:

6個의 點 $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ , $T$ , $U$ 와 內心 $I$ 사이의 距離가 같음을 證明하는 것으로 充分하다. 이는 直角三角形 $IT_{A}P$ , $IT_{A}Q$ , $IT_{B}R$ , $IT_{B}S$ , $IT_{C}T$ , $IT_{C}U$ 의 빗邊이다. $IT_{A}=IT_{B}=IT_{C}$ 는 內接圓의 半지름이므로

PT_{A}=T_{A}Q=RT_{B}=T_{B}S=TT_{C}=T_{C}U

를 보이는 것으로 充分하며, 對稱性에 따라 $PT_{A}=T_{A}Q=ST_{B}$ 를 보이는 것으로 充分하다.

같은 點을 지나는 圓의 두 接線의 길이는 같으므로 $CT_{A}=CT_{B}$ 이다. 直線 $PS$ 와 $T_{A}T_{B}$ 는 平行하므로 $CP=CS$ 이다. 따라서 $PT_{A}=ST_{B}$ 이다.

線分 $T_{A}T_{B}$ , $T_{A}T_{C}$ 의 延長線과 點 $A$ 를 지나는 直線 $BC$ 의 平行線의 交點을 各各 $D$ , $E$ 라고 하자. 그렇다면 直線 $DE$ 와 $BC$ 는 平行하며 三角形 $CT_{A}T_{B}$ , $BT_{A}T_{C}$ 는 二等邊三角形 이므로

DA=AT_{C}=AT_{B}=EA

이며, 線分 $T_{A}A$ 는 三角形 $T_{A}DE$ 의 中船 이다. 直線 $DE$ , $PS$ , $QT$ 는 各各直線 $BC$ , $T_{A}T_{B}$ , $T_{A}T_{C}$ 와 平行하므로, 三角形 $T_{A}DE$ 와 線分 $T_{A}A$ 의 合集合은 三角形 $X_{7}PQ$ 와 線分 $X_{7}T_{A}$ 의 合集合과 닮음 이다. 따라서 線分 $X_{7}T_{A}$ 亦是三角形 $X_{7}PQ$ 의 重船이다. 卽, $PT_{A}=T_{A}Q$ 이다.

三角形 $ABC$ 의 內接圓과 꼭짓點 $A$ , $B$ , $C$ 의 對邊의 接點을 各各 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 라고 하고, 제르곤 點을 $X_{7}$ 라고 하자. 제르곤 點 $X_{7}$ 을 지나는, 제르곤 三角形의 各便 $T_{A}T_{B}$ , $T_{B}T_{C}$ , $T_{C}T_{A}$ 의 平行線 $PS$ , $RU$ , $TQ$ 와 元來三角形 $ABC$ 의 두 邊 $BC$ 와 $CA$ , $CA$ 와 $AB$ , $AB$ 와 $BC$ 의 交點을 各各 $P$ 와 $S$ , $R$ 와 $U$ , $T$ 와 $Q$ 라고 하자. 直線 $UP$ 와 $QR$ , $QR$ 와 $ST$ , $ST$ 와 $UP$ 의 交點을 各各 $X$ , $Y$ , $Z$ 라고 하자. 그렇다면 三角形 $ABC$ 의 제르곤 點 $X_{7}$ 은 三角形 $XYZ$ 의 對稱重點 이며, 三角形 $ABC$ 의 애덤스 원은 三角形 $XYZ$ 의 第1 르무안 원 이다. ^[1]^{:98, Exercise 9.2}

歷史 [ 編輯 ]

제르곤 點 및 제르곤 三角形은 프랑스 의 數學者 조제프 디에즈 제르곤( 프랑스語 : Joseph Diez Gergonne )의 이름을 땄다.

애덤스 원 關聯結果들은 1843年에 C. 애덤스( 英語 : C. Adams )가 提示하였다. ^[1]^{:62, §7.4, (v)}

各州 [ 編輯 ]

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (英語) 37 . Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5 .

外部 링크 [ 編輯 ]

Weisstein, Eric Wolfgang. “Incircle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incenter” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Inradius” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral triangle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Incentral circle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne point” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Contact triangle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Adams' circle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gergonne line” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.

[Honsberger-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (英語) 37 . Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5 .

[1]

v t e 三角形의 中心
誤審	內心外心放心 무게 中心水深
다른 重要한 中心들	九點圓 의 中心對稱重點 제르곤 點 나겔 點 Mittenpunkt 슈피커 中心 포이어바흐 點 페르마 點 Isodynamic points Napoleon points Steiner point