臺數 救助
軍 關聯 範疇   · 마그마   · 叛軍   · 某盧이드   · 準群   · 아벨 軍   · 位相群   · 里 軍
換 關聯 類似환   · 可換環   · 程驛   · 데데킨트 程驛   · 唯一 因數 分解 程驛   · 週 아이디얼 程驛   · 유클리드 程驛   · 위상환
체 關聯 나눗셈환   · 체   · 順序體   · 代數的 수체
家君 關聯 아벨 軍   · 自由 家君   · 射影 家君   · 平坦 家君   · 벡터 空間
臺數 關聯 等急患   · 敎大 臺數   · 結合 臺數   · 리 臺數   · 요르단 臺數   · 호프 臺數   · 兩者群
格子 關聯 反擊子   · 모듈러 格子   · 分配 格子   · 完備 格子   · 헤이팅 臺數   · 불 臺數
v t e

抽象代數學 에서 軍 (群, 英語 : group )은 結合 法則 과 恒等元 과 各 元素의 驛員 을 가지는 이항 演算 을 갖춘 臺數 救助 이다. 某盧이드 의 특수한 境遇이다. 數學的 對象의 對稱들의 集合은 郡을 이루며, 이에 따라 다양한 分野에서 널리 登場하는 槪念이다. 群을 硏究하는 抽象代數學의 分野를 群論 (群論, 英語 : group theory )이라고 한다. 歷史的으로 群論은 代數 方程式 理論, 幾何學 , 數論 에서 祈願한다. ^[1]

正義 [ 編輯 ]

軍 은 모든 元素가 街驛員 人 某盧이드 이다. 卽, 다음 條件을 만족시키는 이항 演算

${\displaystyle \cdot \colon G\times G\to G}$

${\displaystyle \cdot \colon (g,h)\mapsto gh}$

가 주어진 集合 ${\displaystyle (G,\cdot )}$이다.

• ${\displaystyle (G,\cdot )}$은 모노이드를 이룬다. 卽, 다음이 成立한다.
  • (結合 法則) 任意의 ${\displaystyle g,h,k\in G}$에 對하여, ${\displaystyle (gh)k=g(hk)}$
  • (恒等元의 存在) 모든 ${\displaystyle g\in G}$에 對하여 ${\displaystyle 1_{G}g=g1_{G}=g}$人 元素 ${\displaystyle 1_{G}\in G}$가 存在한다.
• 모든 元素가 街驛員 이다. 卽, 任意의 ${\displaystyle g\in G}$에 對하여, ${\displaystyle g^{-1}g=gg^{-1}=1_{G}}$人 元素 ${\displaystyle g^{-1}\in G}$가 存在한다.

君은 다음과 같이 다르게 定義할 수 있으며, 이는 위 定義와 童穉이다.

• 軍은 하나의 對象만을 갖는 準群 이다. 卽, 하나의 對象만을 가지고, 모든 思想이 同型 史上 人 範疇 이다.
• 軍은 集合 과 函數 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$에서의 君 大賞 이다.
• 軍은 왼쪽 恒等元 및 왼쪽 驛院 을 갖는 叛軍 이다.
• 軍은 오른쪽 恒等元 및 오른쪽 驛院 을 갖는 叛軍 이다.
• 軍은 結合 고리 이다.
• 軍은 空集合이 아닌 結合 有事軍 이다.

次數 [ 編輯 ]

君의 元素 ${\displaystyle g\in G}$의 次數 (次數, 英語 : order )는 다음과 같다. 卽, 거듭해서 1이 되는 最小의 指數이거나, 아니면 無限大이다.

${\displaystyle \operatorname {ord} g=\inf\{n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon 1=g^{n}=\overbrace {gg\cdots \cdot gg} ^{n}\}\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{\infty \}}$

間或, 軍 ${\displaystyle G}$의 集合의 크기 ${\displaystyle |G|}$를 君의 次數라고 부르기도 한다. 君의 元素의 次帥는 萬若 有限하다면 恒常 軍의 크기의 約數이다.

部分群 [ 編輯 ]

軍 ${\displaystyle G}$의 部分群 (部分群, 英語 : subgroup )은 ${\displaystyle G}$의 部分 集合 ${\displaystyle H}$ 가운데 다음 세 條件을 만족시키는 것이다.

• ${\displaystyle 1_{G}\in H}$
• 任意의 ${\displaystyle h,h'\in H}$에 對하여, ${\displaystyle hh'\in H}$
• 任意의 ${\displaystyle h\in H}$에 對하여, ${\displaystyle h^{-1}\in H}$

卽, 驛員에 對하여 닫혀 있는 部分 모盧이드이다. ${\displaystyle H\subseteq G}$가 ${\displaystyle G}$의 部分軍이라는 것은 다음과 같이 表記한다.

${\displaystyle H\leq G}$

正規 部分群 은 部分群 가운데 켤레 作用에 對하여 不變인 것이다. 軍 ${\displaystyle G}$의 部分群 ${\displaystyle N}$이 正規 部分群이라는 것은 다음과 같이 表記한다.

${\displaystyle N\vartriangleleft G}$

定義에 따라, 正規 部分群의 왼쪽 剩餘類 는 오른쪽 剩餘類 와 一致한다.

軍 蠢動型 [ 編輯 ]

두 軍 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ 사이의 軍 蠢動型 史上 (群準同型寫像, 英語 : group homomorphism )은 다음 條件을 만족시키는 函數 ${\displaystyle f\colon G\to H}$이다.

• 모든 ${\displaystyle g,h\in G}$에 對하여, ${\displaystyle f(gh)=f(g)f(h)}$

蠢動型 ${\displaystyle f}$의 核 과 上 은 各各

${\displaystyle \ker f=\{g\in G\colon f(g)=1_{H}\}}$

${\displaystyle \operatorname {im} f=\{f(g)\colon g\in G\}}$

이다. 여기에서 ${\displaystyle f}$의 核은 ${\displaystyle G}$의 正規 部分群 이며, 賞은 ${\displaystyle H}$의 部分群 임을 알 수 있다. ${\displaystyle f}$가 丹沙 蠢動型 思想일 必要 充分 條件은 核이 自明群 인 것이며, 戰死 蠢動型 思想일 必要 充分 條件은 床이 ${\displaystyle H}$ 全體인 것이다.

演算 [ 編輯 ]

주어진 軍들로부터 새로운 軍을 만드는 다양한 方法들이 存在한다.

反對群 [ 編輯 ]

軍 ${\displaystyle (G,\cdot )}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 集合 ${\displaystyle G}$ 위에 다음과 같은 새로운 이항 演算을 定義하자.

${\displaystyle \cdot '\colon G\times G\to G}$

${\displaystyle g\cdot 'h=h\cdot g}$

그렇다면, ${\displaystyle (G,\cdot ')}$ 亦是 郡을 이룬다. 이를 ${\displaystyle G}$의 反對群 (反對群, 英語 : opposite group ) ${\displaystyle \operatorname {G} ^{\operatorname {op} }}$이라고 한다. 이는 모노이드의 反對 某盧이드 의 특수한 境遇이며, 또 軍을 하나의 對象을 갖는 範疇 로 볼 境遇 反對 範疇 의 특수한 境遇이다. 反對群 연산은 함자 敵이다. 卽, 君의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ 위의 自己 함자

${\displaystyle (-)^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Grp} }$

를 定義한다. 아벨 軍 의 反對軍은 스스로와 같다. 卽, 아벨 軍 위의 缸燈 函數 는 스스로와 그 反對군과의 軍 同型 을 이룬다.

모든 軍은 스스로의 反對군과 다음과 같은 函數를 통해 標準的으로 同型이다.

${\displaystyle {}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }}$

${\displaystyle {}^{-1}\colon g\mapsto g^{-1}}$

範疇論敵으로, 이는 軍의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$ 위의 缸燈 함자

${\displaystyle \operatorname {Id} _{\operatorname {Grp} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Grp} }$

와 反對群 함자

${\displaystyle \operatorname {Id} _{\operatorname {Grp} }\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Grp} }$

사이의 自然 同型 을 定義한다.

몫群 [ 編輯 ]

어떤 君의 正規 部分群 이 주어졌을 때, 그 剩餘類 들은 君을 定義하며, 이를 몫群 (-群, 英語 : quotient group )이라고 한다. 이는 몫空間 이나 몫환 과 같이, 軍에 童穉 關係 를 줘 몫을 取하는 演算이다. 軍 ${\displaystyle G}$의 正規 部分群, ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$가 주어졌을 때, 몫群 ${\displaystyle G/N}$은 그 (왼쪽) 剩餘類 ${\displaystyle gN}$ ( ${\displaystyle g\in G}$)들의 集合이다.

${\displaystyle G/N=\{gN|g\in G\}}$

이 集合에는 다음과 같은 軍 演算을 줄 수 있다.

${\displaystyle (aN)(bN)=(ab)N}$

이 演算은 ${\displaystyle N}$이 正規 部分群 일 境遇 定義할 수 있고, 이에 따라 몫群 ${\displaystyle G/N}$이 郡을 이루는 것을 보일 수 있다.

直接곱 [ 編輯 ]

君들의 集合 ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i\in I}}$가 주어졌을 때, 直接곱

${\displaystyle \prod _{i}G_{i}}$

는 이들의 곱集合 에 軍의 構造를 준 것이다. 君의 範疇에서의 곱 이다.

半直接곱 [ 編輯 ]

두 軍 ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle N}$ 및 作用

${\displaystyle \phi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$

이 주어졌을 때, 半直接곱

${\displaystyle N\rtimes H}$

을 定義할 수 있다. 이는 直接곱의 一般化이다.

自由곱 [ 編輯 ]

軍 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$가 주어졌을 때, 自由곱 ${\displaystyle G*H}$은 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$로부터 生成되는 가장 一般的인 郡이다. 이는 (두 軍 다 者名君이 아니라면) 恒常 無限群이며 非아벨 郡이다. 自由곱은 君의 範疇에서의 雙대곱 이다. 君의 自由곱은 某盧이드 로서의 自由곱과 一致한다.

融合된 自由곱 [ 編輯 ]

軍 ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle (G_{i})_{i\in I}}$ 및 軍 蠢動型 ${\displaystyle (f_{i}\colon G\to G_{i})_{i\in I}}$가 주어졌을 때, 融合된 自由곱 ${\displaystyle *_{i\in I}^{G}G_{i}}$는 ${\displaystyle G_{i}}$들을 ${\displaystyle G}$의 上 을 따라 "이어 붙여" 만드는 가장 一般的인 郡이다. 融合된 自由곱은 君의 範疇에서의 밂 이다. 君의 融合된 自由곱은 某盧이드 로서의 融合된 自由곱과 一致한다. ${\displaystyle G=1}$가 自明群 인 境遇, 融合된 自由곱은 다름 아닌 自由곱이다. 萬若 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$가 丹沙 函數 라면, 融合된 自由곱의 모든 元素를 다음과 같은 꼴의 文字列 로 唯一하게 나타낼 수 있게 만드는 部分 集合들 ${\displaystyle (1_{G_{i}}\in H_{i}\subseteq G_{i})_{i\in I}}$이 存在한다.

${\displaystyle gg_{1}\cdots g_{n}\qquad (g\in G,\;n\in \mathbb {N} ,\;g_{j}\in H_{i_{j}}\setminus \{1_{G_{i_{j}}}\},\;i_{j}\in I,\;i_{j}\neq i_{j+1})}$

具體的으로, ${\displaystyle H_{i}}$는 왼쪽 곱셈 作用 ${\displaystyle (g,g_{i})\mapsto f_{i}(g)g_{i}}$의 軌道들의 代表 元素들의 集合으로 고를 수 있다. 이는 모노이드에서 더 以上 成立하지 않는다.

기타 곱 [ 編輯 ]

이 밖에도, 花環곱 ( 英語 : wreath product ) ${\displaystyle G\wr _{\Omega }H}$이나 車派-세프 곱 ( 英語 : Zappa?Szep product ) 等이 存在한다.

性質 [ 編輯 ]

기초적 性質 [ 編輯 ]

모든 軍의 恒等元은 唯一하다. (이는 모노이드의 恒等元이 唯一하다는 整理의 특수한 境遇이다.) 軍 ${\displaystyle G}$의 元素 ${\displaystyle g\in G}$가 주어졌을 때, 任意의 元素 ${\displaystyle h\in G}$에 對하여 다음 세 條件이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle gh=1}$이다.
• ${\displaystyle hg=1}$이다.
• ${\displaystyle h=g^{-1}}$이다.

卽, 軍에서는 (一般的인 某盧이드 와 달리) 왼쪽 驛院 · 오른쪽 驛員이 서로 一致한다.

軍 蠢動型은 恒等元을 恒等元으로, 驛員을 驛員으로 對應시킨다. 卽, 군 蠢動型 ${\displaystyle f\colon G\to H}$에 對하여, 다음이 成立한다.

• ${\displaystyle f(1_{G})=1_{H}}$
• 任意의 ${\displaystyle g\in G}$에 對하여, ${\displaystyle f(g^{-1})=f(g)^{-1}}$

軍에 對한 기초적인 整理로는 다음이 있다.

• 코시 整理
• 쉴로브 整理
• 라그랑주 整理
• 番사이드 整理
• 番사이드 補助定理

範疇論的 性質 [ 編輯 ]

軍과 軍 蠢動兄의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$은 臺數 救助 多樣體 의 範疇이므로, 完備 範疇 利子 雙대 完備 範疇이다. 이 境遇, 各種 極限 과 雙대極限은 다음과 같다.

範疇論의 槪念	群論의 槪念
零 對象	自明群 ${\displaystyle 1}$
곱	君의 直接곱 ${\displaystyle \prod _{i\in I}G_{i}}$
雙대곱	君의 自由곱 ${\displaystyle G*H}$
同等子	集合 과 函數 의 範疇에서의 同等子
雙大同等子	${\displaystyle \phi ,\chi \colon G\to H}$의 雙大同等者는 ${\displaystyle \{\phi (g)\chi (g)^{-1}\colon g\in G\}}$으로부터 生成되는 正規 部分群 에 對한 몫群
丹沙 史上	丹沙 函數 印 君 蠢動型
正則 丹沙 史上
有效 丹沙 史上
正規 丹沙 史上	正規 部分群 의 包含 蠢動型
分割 丹沙 史上	直接곱 의 한 成分의 包含 蠢動型
戰死 史上	戰死 函數 印 君 蠢動型
正規 戰死 史上
正則 戰死 史上
有效 戰死 史上
分割 戰死 史上	半直接곱 의 ( 正規 部分群 이 아닌 成分으로의) 몫 蠢動型
君 大賞	아벨 軍
內的 範疇	交叉 家君 ( 英語 : crossed module ) [2] :285?287

君의 範疇에서 某盧이드 의 範疇로 가는 忘却 銜字가 存在하며, 이는 充實充滿한 함자 이다. 卽, 두 軍 사이의 某盧이드 蠢動型 은 軍 蠢動型과 같다.

${\displaystyle F\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Mon} }$

이 忘却 銜字는 왼쪽 首班 함자 와 오른쪽 首班 함자 를 同時에 갖는다.

${\displaystyle G\dashv F\dashv \operatorname {Unit} }$

• 忘却 함자의 왼쪽 首班 함자 ${\displaystyle G\colon \operatorname {Mon} \to \operatorname {Grp} }$는 모노이드에 모든 元素의 驛員을 追加한다.
• 忘却 함자의 오른쪽 首班 함자 ${\displaystyle \operatorname {Unit} \colon \operatorname {Mon} \to \operatorname {Grp} }$는 모노이드를 그 可逆援軍 에 對應시킨다.

마찬가지로, 君의 範疇에서 集合 의 範疇로 가는 充實充滿한 忘却 銜字가 存在하며, 이 함자의 왼쪽 首班 함자 는 集合을 이로부터 生成되는 自由群 에 對應시킨다.

君의 範疇에서 작은 範疇 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Cat} }$로 가는 充實充滿한 包含 함자

${\displaystyle \operatorname {Grp} \to \operatorname {Cat} }$

가 存在한다. 이는 軍 ${\displaystyle G}$를, 하나의 對象을 가지고 모든 自己 思想 이 家役 思想인 작은 範疇 에 對應시킨다.

換 의 範疇에서 軍의 範疇로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {Unit} \colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Grp} }$

가 存在하며, 이는 換 을 그 可逆援軍 에 對應시킨다. 이 銜字는 왼쪽 首班 함자

${\displaystyle \mathbb {Z} [-]\colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Ring} }$

를 갖는데, 이는 軍 ${\displaystyle G}$를 精髓 係數의 軍환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$에 對應시킨다.

模型 理論的 性質 [ 編輯 ]

君들의 모임 은 臺數 救助 多樣體 를 이루며, 이 境遇

• 하나의 이항 演算 ${\displaystyle \cdot }$ (軍 演算)
• 하나의 1項 演算 ${\displaystyle ^{-1}}$ (驛院)
• 하나의 0項 演算 ${\displaystyle 1}$ (恒等元)

을 갖는다. 이 境遇, 軍의 演算들이 만족시키는 恒等式은 다음 다섯 個이다.

${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$

${\displaystyle 1x=x}$

${\displaystyle x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=1}$

${\displaystyle x^{-1}x=1}$

軍의 臺數 救助 多樣體에서, 部分 臺數는 部分群 , 蠢動型은 軍 準同型이며, 合同 關係 는 正規 部分群 과 一對一 對應 한다. 軍의 臺數 救助 多樣體에서, 普遍 代數學的 中心은 軍의 中心 과 같다.

軍의 臺數 救助 多樣體의 部分 多樣體들의 例로는 다음이 있다. ^[3]

• 自明群 의 多樣體 ${\displaystyle x=y}$
• 아벨 軍 의 多樣體 ${\displaystyle xy=yx}$
• 모든 元素의 次數가 ${\displaystyle n}$의 藥水인 君의 多樣體 ${\displaystyle x^{n}=1}$
• 誘導 길이가 ${\displaystyle k}$ 以下인 街海軍 의 多樣體. 例를 들어, ${\displaystyle k=1}$인 境遇는 아벨 軍 이며, ${\displaystyle k=2}$인 境遇를 定義하는 恒等式은 ${\displaystyle 1=xyx^{-1}y^{-1}zwz^{-1}w^{-1}yxy^{-1}x^{-1}wzw^{-1}z^{-1}}$이다.
• 中心 길이가 ${\displaystyle k}$ 以下인 멱領軍 의 多樣體 ${\displaystyle \overbrace {[\cdots [G,G],G],G],\cdots ]} ^{k}=1}$.

軍의 臺數 救助 多樣體의 部分 多樣體들의 集合은 完備 모듈러 格子 의 構造를 갖는다. ^[3] 具體的으로, 軍의 多樣體들의 集合 ${\displaystyle \{{\mathcal {V}}_{i}\}_{i\in I}}$의 만남과 이음은 다음과 같다.

${\displaystyle \bigwedge _{i}{\mathcal {V}}_{i}=\bigcap _{i}{\mathcal {V}}_{i}}$

${\displaystyle \bigvee _{i}{\mathcal {V}}_{i}=\bigcap \left\{{\mathcal {V}}\subseteq \operatorname {Grp} \colon {\mathcal {V}}\supseteq \bigcup _{i}{\mathcal {V}}_{i}\right\}}$

또한, 軍의 臺數 救助 多樣體들의 部分 多樣體들의 集合은 某盧이드 의 構造를 갖는다. ^[3] 두 多樣體 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 곱은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {U}}{\mathcal {V}}=\{G\in \operatorname {Grp} \colon \exists N\in {\mathcal {U}}\colon G/N\in {\mathcal {V}}\}}$

卽, ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$의 곱은 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 元素의 ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$에 對한 軍의 擴大 들의 모임 이다. 두 多樣體의 곱은 恒常 多樣體를 이루며, 이 곱에 對한 恒等元은 者名君의 多樣體 ${\displaystyle \operatorname {TrivGrp} =\{1\}}$이며, 또한 모든 軍의 多樣體 ${\displaystyle \operatorname {Grp} }$는 다음과 같이 곱에 對하여 0을 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {TrivGrp} {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}\operatorname {TrivGrp} ={\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \operatorname {Grp} {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}\operatorname {Grp} =\operatorname {Grp} }$

軍의 臺數 救助 多樣體의 部分 多樣體들의 모노이드는 이 두 關係를 除外하고는 自由 모노이드를 이룬다. ^[3] 卽, ${\displaystyle 0x=x0=0}$을 갖는 모盧이드들의 臺數 救助 多樣體에서의 自由 元素이다.

軍의 臺數 救助 多樣體의 部分 多樣體들의 數는 ${\displaystyle \aleph _{0}}$에서 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ 사이이다. ^[3]

格子 理論的 性質 [ 編輯 ]

軍 ${\displaystyle G}$의 部分群들의 包含 關係에 對한 部分 順序 集合 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$은 完備 格子 이며 代數的 格子 이다. ^[4] 軍 ${\displaystyle G}$에 對하여, 다음 두 條件이 서로 同治 이다. ^[4]

• 有限群 이다.
• 部分群 格子가 柔한 格子이다.

軍 ${\displaystyle G}$에 對하여, 다음 세 條件이 서로 同治 이다.

• 部分群 格子가 分配 格子 이다.
• ${\displaystyle G}$의 모든 有限 生成 部分軍이 循環群 이다.
• ${\displaystyle G}$는 有理數體의 덧셈群 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$의 部分軍과 同型이거나, 몫群 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$의 部分軍과 同型이다.

모든 格子 는 어떤 軍의 部分群 格子로 나타낼 수 있다. ^{[4] :Theorem 2.1} 卽, 任意의 格子 ${\displaystyle L}$에 對하여, ${\displaystyle L}$과 同型인 部分 格子를 그 部分群 格子에 갖는 軍 ${\displaystyle G}$가 存在한다. 또한, 모든 有限 格子는 어떤 有限群 의 部分群 格子로 나타낼 수 있다. ^{[4] :Theorem 2.2}

種類 [ 編輯 ]

代表的인 軍의 種類로는 다음이 있으며, 이것들 가운데 다음과 같은 包含 關係가 成立한다.

循環群 ? 아벨 有限群 ? 有限 生成 아벨 軍 ? 아벨 軍 ? 데데킨트 軍 ? 멱領軍 ? 街海軍 ? 軍

이것들 말고도, 다음과 같은 특별한 種類의 君들이 있다.

• p-郡
• 單純群
• 有限群
• 完全群

追加 構造를 가지는 軍은 다음이 있다.

• 軍에 位相 空間 의 構造를 附與하면, 位相群 을 얻는다.
• 軍에 매끄러운 多樣體 의 構造를 附與하면, 里 軍 을 얻는다.
• 아벨 軍 에 分配 法則 을 만족시키는 곱셈 演算을 附與하면, 換 또는 類似환 을 얻는다.

예 [ 編輯 ]

아주 많은 例가 있다.

• 有限群 의 例로는 다음이 있다.
  • 自明群 ${\displaystyle \{1\}}$은 한元素 集合 위에 存在하는 唯一한 軍 構造이다.
  • 循環群 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (n)}$은 合同 算術 에서 合同類들의 덧셈을 나타내는 아벨 軍 이다.
  • 對稱軍 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$은 集合 위의 順列 들로 構成된 軍이며, 交代群 ${\displaystyle \operatorname {Alt} (n)\subseteq \operatorname {Sym} (n)}$은 그 部分群 이다.
  • 正二面體群 ${\displaystyle \operatorname {Dih} (n)}$은 循環群 의 2겹 擴大 이며, 正多角形 의 對稱軍 이다.
• 無限群의 例로는 다음이 있다.
  • 自由群 은 任意의 記號들 및 役員 記號 ${\displaystyle ^{-1}}$로 生成되는 記號列들의 同値類 로 構成된 軍이며, 一般的으로 非可換群이다.
  • 無限 循環群 ${\displaystyle \operatorname {Cyc} (\infty )}$은 精髓 의 덧셈群이다.
  • 모듈러 軍 은 複素數 楕圓 曲線 위에 作用하는 郡이다.
• 里 軍 은 매끄러운 多樣體 를 이루는 軍이며, 例로는 다음이 있다.
  • 로런츠 軍 과 푸앵카레 軍 은 物理學 에서 민코프스키 空間 의 對稱軍 으로 쓰인다.
  • 特需線形群 과 一般線型群 은 可逆 線型 變換 들의 郡이다.
  • 直交群 · 特殊職轎軍 · 유니터리 軍 · 特需 유니터리 軍 等은 一般線型軍의 다양한 部分群이다. 스핀 軍 은 直交君의 덮개群이다.
• 모든 換 은 곱셈을 無視하면 아벨 軍 을 이룬다.
• 모든 체 ${\displaystyle K}$는 곱셈을 無視하면 아벨 郡을 이루며, 0이 아닌 元素들의 部分 集合 ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$ 亦是 아벨 郡을 이룬다. 例를 들어, 모든 實數의 集合은 덧셈에 對하여 아벨 軍 을 이루며, 0이 아닌 失手의 集合은 곱셈에 對하여 아벨 郡을 이룬다. 追加로, 모든 陽의 實數의 集合 亦是 곱셈에 對하여 아벨 郡을 이룬다.

흔히 볼 수 있는 例로, 指數 函數

${\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \setminus \{0\}}$

는 두 아벨 軍 사이의 軍 蠢動型이다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {R} }$는 덧셈群이며, ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$은 곱셈軍으로 看做한다. 마찬가지로, 複素數體에 對한 指數 函數

${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

亦是 軍 蠢動型이다.

歷史 [ 編輯 ]

歷史的으로, 群論은 19世紀에 方程式 理論 · 數論 · 幾何學 의 세 갈래로부터 비롯되었다.

方程式 理論 [ 編輯 ]

方程式 理論의 主要 目標는 高次 方程式을 거듭제곱根만으로 푸는 것이었다. 4次 以下의 方程式은 이러한 代數的인 해가 存在하지만, 5次 以上의 境遇 一般的으로 그렇지 않다. 조제프루이 라그랑주 와 파올로 루피니 , 닐스 헨리크 아벨 等은 高次 方程式의 害를 理解하기 위하여 自然스럽게 順列 들의 軍에 對한 各種 定理들을 發見하였고, 루피니와 아벨은 結局 5次 以上의 方程式의 代數的 一般解의 不在를 證明하였다.

에바리스트 갈루아 는 아벨의 理論을 追加로 발전시켜, "軍"( 프랑스語 : groupe 그루프 ^{[ * ]} )이라는 用語를 定義하였고, 또 群論을 체論 과 聯關시킨 갈루아 理論 을 提唱하였다. 또한, 갈루아는 正規 部分群 과 街海軍 의 槪念을 導入하였다.

갈루아의 理論은 갈루아 生前에는 注目받지 못했으나, 갈루아의 事後 카미유 조르당 의 《置換과 代數 方程式에 對하여》( 프랑스語 : Traite des substitutions et des equations algebriques , 1870年)나 오이겐 네吐( 獨逸語 : Eugen Netto )의 《置換 理論과 그 代數學的 應用》( 獨逸語 : Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra , 1882年) 等이 갈루아의 理論을 널리 傳播하였다.

에를랑겐 프로그램과 리 君의 發見 [ 編輯 ]

幾何學 에서, 射影幾何學 과 非유클리드 幾何學 의 發見으로, 이러한 幾何學들의 構造를 理解하는 體系가 必要하게 되었다. 1872年에 펠릭스 클라인 은 이러한 幾何들을 그 對稱軍 을 통해 一貫的으로 理解하고자 하였고, 이를 에를랑겐 프로그램 이라고 한다. 1884年에 소푸스 리 는 오늘날 里 軍 이라고 불리는 群들을 導入하였고 體系的으로 硏究하였다. 以後 빌헬름 킬링 과 이사이 슈어 等이 리 君의 硏究를 繼續하였다.

수論에서의 軍 [ 編輯 ]

레온하르트 오일러 와 카를 프리드리히 가우스 는 合同 算術 및 二次 수체 의 덧셈 및 곱셈의 構造를 硏究하면서, 다양한 軍들의 例를 發見하였다. 以後 레오폴트 크로네커 와 에른스트 쿠머 는 가우스의 理論을 발전시켰다. 쿠머는 데데킨트 軍 에서 唯一 因數 分解가 失敗하는 程度를 測定하는 軍人 아이디얼 柳君 을 導入하였다.

群論의 獨立 [ 編輯 ]

19世紀 末에 群論은 數學의 獨立的인 分野로 發展하게 되었다. 아서 케일리 , 막스 덴 , 페테르 루드非 메이델 쉴로브 等은 群論의 基礎를 體系的으로 다졌다. 特히 쉴로브는 1872年에 쉴로브 整理 를 證明하였다.

20世紀 初盤 [ 編輯 ]

20世紀 初에는 代數的 位相數學 의 發達로, 基本群 의 槪念이 發見되면서 이山 無限群의 重要性이 擡頭되었다. 또한, 任意의 體에 對한 臺數群 의 理論이 里 軍 理論을 바탕으로 하여 發達하였다. 엘리 카르탕 은 反單純 리 臺數 를 完全히 分類하였다.

페르디난트 게오르크 프로베니우스 와 이사이 슈어 等은 有限群의 指標론 및 軍 表現論 을 開發하였고, 슈어 直交 關係 , 슈어 補助定理 等을 發見하였다.

20世紀 後半 ~ 21世紀 [ 編輯 ]

1972年에 대니얼 고런스틴 은 有限 單純群 의 分類를 提唱하였다. 以後 이 프로그램은 존 그리그스 톰프슨 · 베른트 피셔( 獨逸語 : Bernd Fischer ) · 즈보니미르 얀코 · 엔리코 봄비에리 · 자크 티츠 · 마이클 애시倍커 ( 英語 : Michael Aschbacker ) · 로버트 그리스 ( 英語 : Robert Griess ) 等에 依하여 進行되었고, 1983年에 完結되었다. 이 過程에서 怪物群 을 비롯한 수많은 産災群 들이 發見되었다.

존 그리그스 톰프슨 과 자크 티츠 는 2008年에 群論에 對한 業績으로 아벨 上 을 受賞하였다.

應用 [ 編輯 ]

群論은 數學의 여러 分野의 基礎가 되었으며, 量子力學 等의 物理學 分野에 많이 應用된다.

軍이 抽象化할 수 있는 對象은 다양하다. 精髓 나 失手 內에서의 덧셈 연산은 軍의 正義를 滿足하며, 어떤 圖形을 回戰 하거나 對稱 시키는 等의 動作 또한 軍이 된다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 君의 作用
• 君의 標示
• 君의 表現
• 아벨 軍
• 循環群
• 유클리드 軍
• 街海軍
• 멱領軍
• 自由群
• 基本群
• 그로텐디크 軍
• 軍환
• 君 大賞

各州 [ 編輯 ]

參考 文獻 [ 編輯 ]

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外部 링크 [ 編輯 ]

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