數學
에서
K理論
(K理論,
英語
:
K-theory
)은
位相 空間
또는
스킴
위에 存在하는
벡터 다발
또는
連接層
을 다루는 分野다. 空間에 存在하는 이러한 다발 또는 層의 性質들로부터, 位相 空間 또는 스킴의 構造를 알 수 있다.
幾何學
과
位相數學
,
代數學
,
數論
과 關聯 있다.
K理論은 位相 空間 또는 스킴에서 關聯 圜으로 死傷하는
K
함자
系列의 構成을 包含한다. 이 환는 元來 空間이나 스킴의 構造의 一部 側面을 反映한다. 代數的 位相數學에서
軍
에 對한 銜字와 마찬가지로 이 함자 思想의 理由는 元來 空間이나 스킴보다 寫像된 圜에서 一部 位相 性質을 計算하는 것이 더 쉽기 때문이다. K-理論 接近法에서 얻은 結果의 例로는
그로텐디크-리만-로흐 整理
, 보트 週期性,
아티야-싱어 指標 整理
및 애덤스 演算이 있다.
數學 分野 分類(MSC 2010) 코드는
19
.
그로텐디크 完備花
[
編輯
]
아벨 某盧이드
의 그로텐디크 完備花는 K理論을 定義하는 데 必須的인 過程이다. K理論의 모든 正義가 適切한 範疇에서 아벨 모노이드를 構成하고 이 普遍的인 構成을 통해 이를 아벨 軍으로 바꾸는 것으로 始作하기 때문이다. 주어진 아벨 某盧이드
에 對해
人
가 存在하는 境遇,
를
에서 定義된 關係
라 하자. 그렇게 그런 다음 集合
는
軍
救助
를 가지고 있다. 여기서,
이 君의 同値類는 아벨 某盧이드 元素의 形式的 次(差)로 생각해야 한다. 이 君
은 또한
로 주어진 某盧이드 準同型寫像
과 關聯이 있다. 이는
普遍 性質
을 가지고 있다.
이 君을 더 잘 理解하려면 아벨 某盧이드
의 몇 가지
同値類
를 考慮하면 된다. 여기서
의 恒等元을
으로 적어서
가
의 恒等元이도록 한다. 첫 番째로,
으로 設定할 수 있고 童穉 關係에서 方程式을 適用하여
를 얻을 수 있기 때문에
,
이다. 이것은
를 의미한다. 따라서
의 各 元素에 對한
덧셈
驛員을 가지고 있다. 이것은 同値類
를 形式的 次
로 생각해야 한다는 힌트를 提供 한다. 또 다른 有用한 觀察은 스케일링에서 同値類의 不變性이다.
-
그로텐디크 完備花는
함자
로 볼 수 있다. 該當
忘却 함자
에 隣接하게 남겨지는 性質이 있다. 卽, 아벨 某盧이드
에서 아벨 軍
의 基底 아벨 모노이드로 가는 史上
가 주어졌을 때, 唯一한 아벨 軍 史上
이 存在한다.
自然數 救助의 例示
[
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]
살펴볼 例가 되는 例는
의 그로텐디크 完備花이다.
을 볼 수 있다. 모든 雙
에 對해 스케일링에서 不變性을 使用하여 極小 代表元
을 찾을 수 있다. 例를 들어 스케일링 不變性에서 다음을 確認할 수 있다.
一般的으로
이다. 그러면,
- 形式인 것
또는
이것은
를 陽의 正數로
를 陰의 正數로 생각해야 함을 보여준다.
正義
[
編輯
]
K理論은 여러 가지가 있으나, 모두 어떤 幾何學的 對象 위에, 그 위에 存在할 수 있는 벡터다발과 같은 構造들을 다룬다. 이러한 構造들은 (
그로텐디크 軍
을 取하면) 自然스럽게
아벨 軍
을 이룬다. 이 群들을
K君
(K群,
英語
:
K-group
)이라고 하고,
과 같이 쓴다. 여기서
은 다루는 幾何學的 對象이고,
은 大略 "다발의 次元"에 該當하는 整數인 指數다.
은
아벨 軍
의
範疇
로의
함자
를 이룬다.
K理論에는
位相 K理論
,
代數的 K理論
,
作用素 K理論
等이 있다.
位相 K理論
은
局所 콤팩트
하우스도르프 空間
위에 存在하는
벡터 다발
들을 다룬다.
代數的 K理論
은
換
위에 存在하는 特定한
호모토피
理論的 構造들을 다룬다. (이는
스킴
理論을 통해, 스킴 위에 存在하는
連接層
으로 생각할 수 있다.)
作用素 K理論
은
C* 臺數
위에 存在하는 特定한 代數的 構造들을 다룬다. 이는
非可換 幾何學
을 통해, 非可換 空間 위에 存在하는 "벡터 다발"들로 생각할 수 있다.
K理論은
에일렌베르크-스틴로드 公理
에 따라, 特需(extraordinary)
코호몰로지
理論을 이룬다. 卽, 次元 公理를 除外하고, 普通
코호몰로지
의 性質들을 만족시킨다.
콤팩트 하우스도르프 空間에 對한 그로텐디크 軍
[
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]
주어진 콤팩트
하우스도르프 空間
에 對해
위의 有限 次元 線型 다발의 同値類 集合
을 考慮하자. 線型 다발
의 同型寫像 同値類
를 보자. 線型 다발의 同値類에 對해 職合이 잘 定義되므로 同値類에 다음과 같이 演算을 作成할 수 있다.
는 自明한 線形 다발
에 依해 單位가 주어지는 아벨 모盧이드이다. 그런 다음 그로텐디크 完備花을 適用하여 이 아벨 모노이드에서 아벨 軍 을 얻을 수 있다. 이를
의 K-理論이라하고
로 적는다.
세르-스완 整理
와 어떤 代數를 使用하여 連續 複素 函數 圜
에 對한 線形 다발의
射影 家君
說明을 얻을 수 있다. 그런 다음 이들은 어떤 行列환
에서
멱等
行列로 識別될 수 있다. 멱等 行列의 同値類를 定義하고 아벨 某盧이드
를 形成할 수 있다. 이의 그로텐디크 完備花度
라고 한다. 位相 空間에 對한 그로텐디크 君을 計算하는 主要 技術 中 하나는 아티야?히르體부르흐 스펙트럼 熱에서 가져오므로 아주 쉽게 接近할 수 있다. 이 스펙트럼 熱를 理解하는 데 必要한 唯一한 計算은 舊
에 對해 軍
을 計算하는 것이다.
[1]
페이지 51-110
代數 幾何學에서 線形 다발의 그로텐디크 軍
[
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]
代數 幾何學
에서 線形 다발을 考慮하여 類似한 構成이 있다.
뇌터 스킴
에 對해,
위의
代數的 線形 다발
의 모든 同値類 集合
가 있다. 그런 다음 以前과 같이 職합
이 線形 다발의 同型寫像 同値類는 잘 定義되어 있으며, 아벨 某盧이드
를 提供한다. 그런 다음 아벨 모노이드에 그로텐디크 構成을 適用하여 그로텐디크 軍
이 定義된다.
代數幾何學에서 連接層의 그로텐디크 軍
[
編輯
]
代數幾何學에서는 同一한 構成을 매끄러운 스킴를 통해 臺數 線形 다발에 適用할 수 있다. 그러나 모든 뇌터 스킴
에 對한 代案的 構成이 있다.
連接層
의 同値類를 보면,
짧은 完全熱
이 있는 境遇 關係
에 依해 修正할 수 있다. 이것은 그로텐디크 軍
을 提供한다. 萬若에
가 매끄러우면 이는
과 同型이다. 軍
에는 圜 構造도 있기 때문에 特別하다. 그것을 다음과 같이 定義한다.
그로텐디크-리만-로흐 整理
를 使用하면
는 圜 同型寫像이다. 따라서 交叉 理論에 對해
를 使用할 수 있다.
[2]
歷史
[
編輯
]
K理論은
알렉산더 그로텐디크
가 1957年에
리만-로흐 整理
와
히르體브루흐-리만-로흐 整理
를 擴張한
그로텐디크-히르체브루흐-리만-로흐 整理
를 發表하면서 導入한 것으로 여길 수 있다. "K"는
獨逸語
:
Klasse
클라세
[
*
]
의 略字로,
特性類
를 뜻한다. 그로텐디크가 創始한 理論은
代數的 K理論
에서의
에 該當한다.
그로텐디크는
代數的 多形體
에서
連接層
으로 作業해야 했다. 層으로 直接 作業하는 代身, 그는 層의 同値類를 君의 生成원으로 使用하여 君을 定義했으며, 두 層의 擴張을 그들의 合으로 識別하는 關係에 따라 달라졌다. 結果로 나온 軍은
局所 自由 層
萬 使用되는 境遇
로, 모두 連接層인 境遇
로 불린다. 이 두 構成 中 하나를
그로텐디크 軍
이라고 한다.
는
코호몰로지
敵 行動을 하고
는
호몰로지
敵 行動을 한다.
가
매끄러운 多形體
인 境遇 두 軍은 同一하다.
가 매끄러운 아핀 多形體이라면, 局所的으로 自由 層의 모든 擴張이 分割되므로 軍은 大體的 定義를 갖는다.
位相數學
에서는
線型 다발
에 同一한 構成을 適用하여 1959年에
마이클 아티야
와
프리드리히 히르體브루흐
가
位相 空間
에 對해
를 定義하고 보트 週期性 整理를 使用하여 이를
놀라운 코호몰로지 理論
의 基礎로 삼았다. 그것은
아티야-싱어 指標 整理
(1962年頃)의 두 番째 證明에서 重要한 役割을 했다. 게다가 이 接近法은
C*-臺數
에 對한 非可換 K-理論으로 이어졌다.
이미 1955年에
장피에르 세르
는
射影 家君
이 있는
線型 다발
의 類推를 使用하여
多項式 圜
위에 有限하게 生成된 모든 私營 家君이
自由 家君
이라는
세르 推測
을 公式化했다. 이 主張은 맞지만 20年이 지나도록 解決되지 않았다. (
스완 整理
는 이 比喩의 또 다른 側面이다.)
代數的 K理論의 다른 歷史的 起源은 나중에 화이트헤드 비틀림으로 알려지게 된
화이트헤드
와 다른 사람들의 作業이다.
高次 K理論 함자
에 對한 다양한 部分的 正義가 있었던 期間이 뒤따랐다. 마지막으로 1969年과 1972年에 호모토피 理論을 使用하여
대니얼 퀼런
이 두 가지 有用하고 同等한 正義를 提供했다. pseudo-isotopies 硏究와 關聯된 空間의 代數的 K理論을 硏究하기 위해 프리드헬름 발트하우젠이 變形을 提供했다. 더 높은 K理論에 對한 많은 現代 硏究는 代數 幾何學 및
動機 코호몰로지
硏究와 關聯이 있다. 1973年에
대니얼 퀼런
이 高次 代數的 K君(
,
, …)을 定義하였다.
[3]
補助
二次 形式
을 包含하는 該當 構成은 L-理論으로 불린다. 그것은
手術 理論
의 主要 道具이다.
[4]
끈 理論
에서
라몬드-라몬드 腸
强度와 安定的인
D-膜
의 殿下의 K-理論 分類는 1997年에 처음 提案되었다.
끈 理論
의
D-膜
들이
時空間
의
位相 K理論
으로 分類된다는 事實이 밝혀졌다.
[5]
[6]
[7]
[8]
예 및 性質
[
編輯
]
체의 K
0
[
編輯
]
그로텐디크 軍의 가장 쉬운 例는 체
에 對한 點
의 그로텐디크 郡이다. 이 空間 위의 線形 다발은 有限 次元 線型 空間이며, 이는 延接層 範疇의 自由 對象이므로 私營이므로 同値類의 모노이드는
과 같고 扇形 空間의 次元에 該當한다. 이 그로텐디크 軍이
이라는 것을 보이는 것은 쉬운 練習이다.
體에 對한 아틴 臺數의 K
0
[
編輯
]
뇌터 스킴
의 그로텐디크 軍의 重要한 性質 中 하나는 그것은 縮小 下에서 不變이라는 것이다. 卽,
.
[9]
따라서
아틴
-臺數의 그로텐디크 軍은
들의 직합이다. 이때
는 스펙트럼의 連結成分 黨 하나씩이다. 例를 들어,
射影 空間의 K
0
[
編輯
]
그로텐디크 軍의 가장 一般的으로 使用되는 計算 中 하나는 체 위의 射影 空間
에 對한 計算이다. 이것은 射影 空間
의 交叉數를 賣場
과 밂 당김 公式
을 使用하여 計算할 수 있기 때문이다. 이렇게 하면
의 元素를 使用하여 具體的인 計算을 遂行할 수 있다. 왜냐하면
이므로 構造를 明示的으로 알 必要 없기 때문이다
[10]
.
의 그로텐디크 君을 決定하는 한 가지 技法은 다음과 같은 階層化에서 비롯된다.
아핀 空間에 對한 延接層의 그로텐디크 軍은
와 同型이기 때문에
의 交集合은 一般的으로
에 對해
射影 다발의 K
0
[
編輯
]
그로텐디크 軍에 對한 또 다른 重要한 公式은 私營 다발 公式이다.
[11]
주어진 랭크
線型 다발
뇌터 스킴
을 통해, 私營 다발의 그로텐디크 軍
는 基底가
人 랭크
自由
-家君이다. 이 公式을 使用하면
의 그로텐디크 君을 計算할 수 있다. 이렇게 하면
또는 히르體부르흐 曲面을 計算할 수 있다. 또한 이것이 체
위의 私營 多發임을 觀察함으로써 그로텐디크 軍
을 計算하는 데 使用할 수 있다.
特異 空間의 K
0
와 分離된 몫 特異點이 있는 空間
[
編輯
]
와
의 差異를 計算하는데서 오는 些少한 特異點을 가진 空間의 그로텐디크 君을 計算하는 最近 技法 中 하나는, 이는 모든 線形 다발이 連接層으로 同等하게 說明될 수 있다는 事實에서 비롯된다. 이것은 誘導된 非可換 代數 幾何學 에서
Singularity 範疇
의 그로텐디크 君을 使用하여 遂行된다.
[12]
[13]
. 다음으로 始作하는 긴 完全熱을 提供한다.
여기서 高次 項은
高次 K-理論
에서 나온다. 매끄러운 零點
들 위의 線形 다발
로 提供된 特異한
의 線形 다발에 留意하자. 이것은 一般的으로 分離된 몫 特異點을 가지기 때문에 加重 射影 空間에서 그로텐디크 君을 計算하는 것을 可能하게 한다. 特히 이러한 特異點에 燈榜 軍
들이 있는 境遇, 史上
는 丹沙이고 女核은
人
에 依해 消滅된다.
[13]
3페이지
매끄러운 私營 曲線의 K
0
[
編輯
]
매끄러운 私營 曲線
에 對해,
의
피카르 軍
의 그로텐디크 軍은
이는
代數的 K-理論
의 브라운-게르스텐-퀼런 스펙트럼 熱
[14]
72쪽
에서 由來한다. 體에 對한 有限 類型의 正規 스킴의 境遇, 餘次元
人 部分 스킴
들의 集合을 의미하는 女次元
인 點들의 集合
에 對해 收斂 스펙트럼 熱이 있다.
여기서
는 部分 스킴의 代數的 函數體이다. 이 스펙트럼 熱은 性質
[14]
pg 80
을 가진다.
의 藷芋 環의 境遇, 本質的으로
의 計算을 提供한다. 왜냐하면
가 餘次元
인 點을 갖지 않기 때문에, 스펙트럼 熱意 唯一한 重要하지 않은 部分은
이다. 따라서
그런 다음
coniveau 濾過
를 使用하여
을 完全熱
을 提供하므로 願하는 明示的 職合으로 決定할 수 있다. 여기서 왼쪽 項은
과 同型이다. 오른쪽 項은
과 同型이다.
이므로, 同型寫像을 提供하는 分離 위의 아벨 君의 熱를 가진다. 萬若
가
위의 종수
의 매끄러운 私營 曲線이면,
또한, 孤立된 特異點에 對해 誘導된 特異點 範疇를 使用하는 위의 技術은 孤立된
코언-매콜리
特異點으로 擴張되어 모든 特異 代數 曲線의 그로텐디크 君을 計算하는 技術을 提供한다. 縮小는 一般的으로 매끄러운 曲線을 提供하고 모든 特異點은 코언-매콜리이기 때문이다.
應用
[
編輯
]
假想 다발
[
編輯
]
그로텐디크 君의 有用한 應用 中 하나는 假想 線形 다발을 定義하는 것이다. 例를 들어 매끄러운 空間을 揷入한 境遇
짧은 完全熱이 있다.
여기서
는
에서
의 如法 다발이다. 特異 空間
이 있다면 매끄러운 空間
에 묻힌 假想 如法 다발을 다음과 같이 定義한다.
假想 다발의 또 다른 有用한 適用은 空間 交叉點의 假想 접다발의 定義이다.
를 매끄러운 私營 多形體의 私營 部分 多形體이라 하자. 그런 다음 交集合
의 假想 椄다발을 定義할 수 있다.
콘세비치는 그의 論文 中 하나에서 이 構成을 使用한다.
[15]
千 特性
[
編輯
]
千 特性類
는 空間의
位相 K-理論
에서 有利 코호몰로지(의 完備)로 가는 換衣 同型寫像을 構成하는 데 使用할 수 있다. 線다발
의 境遇 千 特性 ch는 다음과 같이 定義된다.
더 一般的으로, 萬若
첫 番째 千 特性類
가 있는 線다발의 직합이다. 千 特性은 加法的으로 定義된다.
千 特性은
텐서
곱의 千 特性類 計算을 容易하게 하기 때문에 部分的으로 有用하다. 千 特性는
히르體부르흐-리만-로흐 整理
에서 使用된다.
等邊 K-理論
[
編輯
]
等邊 代數的 K-理論은 範疇와 關聯된
代數的 K-理論
이다.
代數的 스킴에서 等邊 連接層
線型 臺數 軍
의 作用으로, 퀼런의 Q-構成을 통해; 따라서 正義에 따라
特히,
는
의
그로텐디크 軍
이다. 이 理論은 1980年代에 토마슨에 依해 開發되었다.
[16]
具體的으로 그는 局所化 定理와 같은 基本 整理의 等邊敵으로 類似한 命題를 證明했다.
같이 보기
[
編輯
]
各州
[
編輯
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外部 링크
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