Leonhard Euler
Rođenje	( 1707-04-15 ) 15. 4. 1707. Basel , ?vicarska
Smrt	18. 9. 1783 . (dob: 76) [ OS : 7. septembar 1783] Sankt Peterburg , Rusko Carstvo
Prebivali?te	Kraljevina Pruska , Rusko Carstvo ?vicarska
Polje	matematika i fizika
Alma mater	Univerzitet u Baselu
Akademski mentor	Johann Bernoulli
Istaknuti studenti	Nicolas Fuss Johann Hennert Joseph Louis Lagrange Stepan Rumovsky
Religija	kalvinist [1] [2]
Otac matemati?ara Johanna Euelera Akademske genealogije ga navode kao ekvivalent doktorskog savjetnika Josephu Louisu Lagrangeu.

Leonard Paul Ojler ( nem. Leonhard Paul Euler ; Bazel , 15. april 1707 ? Sankt Peterburg , 18. septembar 1783 ) je bio ?vajcarski matemati?ar i fizi?ar. ?iveo je i radio u Berlinu i Sankt Peterburgu .

Ojler je do?ao do velikih otkri?a u potpuno razli?itim oblastima kao ?to su matemati?ka analiza i teorija grafova . Uveo je u upotrebu veliki broj termina koji se koriste u savremenoj matematici i unapredio matemati?ku notaciju, posebno u okviru analize . Ojler je zaslu?an za savremeni zapis matemati?ke funkcije. ^[3] Zna?ajan doprinos dao je i na poljima mehanike , optike i astronomije .

Smatra se da je Ojler jedan od vrlo zna?ajnih matemati?ara 18. veka i među najve?im matemati?arima svih vremena. Takođe je i jedan od najplodnijih - sa?uvano je oko 900 njegovih radova. ^[4]

Ojlerov lik je nekoliko puta ?tampan na po?tanskim markicama u ?vajcarskoj , Nema?koj i Rusiji , na nov?anici od 10 ?vajcarskih franaka a asteroid 2002 Ojler je dobio ime u njegovu ?ast. Luteranska crkva ga je uvrstila u svoj kalendar svetaca. Se?anju na Ojlera su posvetili 24. maj .

Ojler je rođen u Bazelu , kao prvo dete Paula Ojlera, sve?tenika Reformatorske crkve, i Margarite Bruker, koja je takođe potekla iz sve?teni?ke porodice. Imao je dve mlađe sestre, Anu Mariju i Mariju Magdalenu. Ubrzo po Ojlerovom rođenju, porodica se iz Bazela preselila u Rien , gde ?e Leonard provesti ve?i deo svog detinjstva. Paul Ojler je bio prijatelj sa porodicom Bernuli, ?to je omogu?ilo da Johan Bernuli , koji je u svoje vreme smatran za najva?nijeg evropskog matemati?ara , izvr?i zna?ajan uticaj na mladog Ojlera.

Ojlerovo rano formalno obrazovanje je zapo?elo u Bazelu, gde je poslat da ?ivi sa svojom bakom po majci. Sa trinaest godina se upisao na Univerzitet u Bazelu , a 1723 . godine je diplomirao sa radom u kome je upoređivao filozofiju Dekarta sa filozofijom Isaka Njutna . U isto vreme je subotom popodne i?ao na ?asove kod Johana Bernulija, koji je brzo utvrdio da njegov novi u?enik ima neverovatan talenat za matematiku. ^[5] U to vreme Ojler je izu?avao teologiju , gr?ki i hebrejski jezik , da bi, na insistiranje svoga oca, postao sve?tenik. Međutim, Johan Bernuli je ubedio Paula Ojlera da je njegov sin predodređen da postane veliki matemati?ar.

Ojler je 1726 . godine zavr?io svoju doktorsku tezu o ?irenju zvuka , pod nazivom O zvuku ( De Sono ) ^[6] a ve? 1727 . godine u?estvovao je na takmi?enju koje je organizovala Francuska akademija nauka . Te godine nagradni problem pariske akademije bio je da se pronađe najbolje mesto za postavljanje jarbola na brodu . Osvojio je drugo mesto, a nagradu je dobio Pjer Buger , ?ovek koji je danas poznat kao ?konstruktor ratne mornarice“. Ojler je kasnije postao dobitnik ove presti?ne godi?nje nagrade dvanaest puta u svojoj karijeri. ^[7]

Upravo u to vreme, Danijel i Nikolaus Bernuli , Johanovi sinovi, radili su na Carskoj ruskoj akademiji nauka u Sankt Peterburgu . Nikolaus je umro od zapaljenja slepog creva u julu 1726 . godine, posle godinu dana provedenih u Rusiji . Kada je na njegovu poziciju na matemati?ko-fizi?kom odseku pre?ao Danijel, kandidat za upra?njeno mesto na odseku za psihologiju je, na Danijelovu preporuku, postao upravo Ojler. U novembru 1726. godine Ojler je ?udno prihvatio ponudu, ali je odlo?io putovanje za Sankt Peterburg da bi bezuspe?no konkurisao za mesto profesora fizike na Univerzitetu u Bazelu . ^[8]

Peterbur?ka akademija nauka ( rus. Peterburgskaя akademiя nauk ), koju je osnovao Petar Veliki , bila je zami?ljena kao sredstvo kojim bi se pobolj?alo rusko obrazovanje i prevazi?ao nau?ni jaz koji je postojao između Rusije i Zapadne Evrope . Zbog toga je ona bila posebno privla?na za u?ene strance poput Ojlera. Akademija je raspolagala ogromnim finansijskim izvorima i bogatom bibliotekom koja je stvorena iz privatnih biblioteka samog Petra Velikog i ruskog plemstva. Vrlo malo studenata je imalo ?ast da pohađa Akademiju, da bi se univerzitetskim profesorima olak?ao teret predavanja, a posebno se insistiralo na istra?iva?kom radu zahvaljuju?i vremenu i slobodi koje su zaposleni imali na raspolaganju da bi mogli da se posvete re?avanju nau?nih pitanja. ^[7]

Ojler je doputovao u rusku prestonicu 17. maja 1727 . godine, istog dana kada je umrla Katarina I , koja je vodila ra?una o Akademiji nastavljaju?i zamisao svog pokojnog supruga, Petra Velikog . Rusko plemstvo, koje je oja?alo stupanjem na vlast dvanaestogodi?njeg Petra II , bilo je sumnji?avo po pitanju stranaca koji su bili zaposleni na Akademiji, a na nju su gledali kao na nepotreban luksuz, pa su u nekoliko narednih meseci po?eli da uskra?uju finansijska sredstva i da indirektno uti?u na nau?nike sa strane da napu?taju Rusiju. U takvom trenutku, zbog zabune u vezi pozicije na koju je primljen, Ojler je dobio posao u matemati?kom odseku, nakon ?to je zamalo, u o?aju zbog razvoja situacije, postao poru?nik u ratnoj mornarici. ^[9] Ojler je u Sankt Peterburgu stanovao sa Danijelom Bernulijem, sa kojim je ?esto blisko sarađivao. Temeljno je savladao ruski i re?io da se skrasi u Sankt Peterburgu. Na?ao je sebi dodatni posao, zaposliv?i se kao lekar u ruskoj mornarici. ^[10]

Uslovi su se neznatno pobolj?ali nakon smrti Petra II , pa je Ojler brzo napredovao, te bio postavljen za profesora fizike 1731 . godine. Dve godine kasnije, Danijel Bernuli, kome je bilo dosta cenzure i neprijateljstava sa kojima se susretao u Sankt Peterburgu, otputovao je za Bazel , a Ojler ga je nasledio kao rukovodilac odseka za matematiku. ^[11]

U to vreme te?i?te Ojlerove delatnosti postaje rad na geografskim kartama, kao posledica prihvatanja zadatka da se na osnovu postoje?ih karata ruskih gubernija sastavi mapa cele Rusije. Zbog velikih neslaganja sa jednim od akademika koji je u?estvovao u projektu, a vrlo verovatno i zbog svog zdravlja, Ojler se 1740. godine povla?i i prestaje da se bavi kartografijom. ^[12]

Ojler se o?enio Katarinom Gsel ( Katharina Gsell ), k?erkom slikara koga je Petar Veliki doveo u svoju slu?bu iz Holandije , 7. januara 1734 . godine. Mladi par je ?iveo u ku?i na obali reke Neve . Imali su trinaestoro dece, od kojih je osmoro umrlo jo? u detinjstvu. ^[13]

Zabrinut konstantnim nemirima u Rusiji, Ojler je prihvatio poziv Fridriha Velikog da pređe na Berlinsku akademiju . Napustio je Sankt Peterburg 19. juna 1741 . godine, i slede?ih dvadeset pet godina ?iveo je u Berlinu . Kao ?ef odseka za matematiku, Ojler se bavio re?avanjem najrazli?itijih problema: vodio je ra?una o opservatoriji i botani?koj ba?ti, birao je osoblje, bavio se raznim finansijskim pitanjima, i bio odgovoran za objavljivanje kalendara i geografskih karata koje su bile solidan izvor prihoda za Akademiju. Kao ?lan upravnog odbora Akademije vodio je ra?una o biblioteci i objavljivanju nau?nih radova, a pored toga, bio je i dr?avni savetnik za igre na sre?u, osiguranja i penzione fondove. ^[14] Pored svega toga, u navedenom periodu napisao je preko 380 matemati?kih radova, a, između ostalog, objavio je i dva svoja najpoznatija dela: Uvod u analizu beskona?nih veli?ina ( Introductio in analysin infinitorum , 1748 ) i Diferencijalni ra?un ( Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum , 1755 ). ^[15]

Jedan od zadataka koje je Fridrih Veliki postavio Ojleru bio je da podu?ava njegovu ne?aku, princezu od Anhalt-Desaua (Anhalt-Dessau). Ojler je u periodu 1760 ? 1761 ^[4] napisao preko 200 pisama koja su kasnije sakupljena i objavljena u knjizi pod nazivom Pisma jednoj nema?koj princezi , prevedenoj na sedam jezika. ^[9] U svojim pismima, Ojler se bavio razli?itim temama, najvi?e iz oblasti fizike i matematike , ali je ovo zgodan materijal i za istra?ivanje Ojlerove li?nosti i njegovih religioznih ubeđenja. Knjiga je postala popularnija od bilo kog njegovog matemati?kog dela, i objavljivana je ?irom Evrope i u SAD , ?to je dokaz da je Ojler imao sposobnost uspe?nog predstavljanja nau?nih tema ?irokoj publici, osobinu koja se retko sre?e kod vrhunskih nau?nika posve?enih istra?iva?kom radu. ^[16]

Uprkos svom neizmernom doprinosu ugledu Berlinske akademije, Ojler je bio prinuđen da napusti pruski dvor, delimi?no zbog sukoba sa li?no??u Fridriha Velikog, koji je smatrao matemati?ara nedovoljno mudrim u poređenju sa krugom filozofa koji su bili dovedeni na Akademiju. Jedan od tih filozofa je bio Volter , koji je imao istaknutu poziciju u kraljevom dru?tvu. Na drugoj strani, kao njegova direktna suprotnost se nalazio Ojler, jednostavan, vredan i religiozan ?ovek, sa vrlo konvencionalnim uverenjima i ukusom. Sa svojim prili?no slabim poznavanjem retorike , i tendencijom da diskutuje o stvarima o kojima nije mnogo znao, ?esto je bio meta Volterovih dosetki. ^[16]

Fridrih je, takođe, bio razo?aran Ojlerovim prakti?nim in?enjerskim sposobnostima:

?eleo sam vodene prskalice u svojoj ba?ti: Ojler je izra?unao snagu potrebnu to?kovima da podignu vodu u rezervoar, odakle je, pomo?u kanala, trebalo da u mlazevima poliva Sansusi . Naprava je bila konstruisana geometrijski i nije mogla da podigne gutljaj vode na bli?e od pedeset koraka do rezervoara. Ta?tina nad ta?tinama! Ta?tina geometrije! ^[17]

Ojlerov vid se pogor?avao sa godinama. Tri godine nakon ?to je bolovao od prehlade koja je zamalo zavr?ila smrtnim ishodom, 1735 . godine skoro potpuno je oslepeo na desno oko, ali je voleo da smatra da je to bila posledica napornog rada na pravljenju mapa za Peterbur?ku akademiju. Ojlerov vid na tom oku se toliko pogor?ao tokom njegovog boravka u Berlinu, da mu se Fridrih obra?ao sa Kiklope . Tri decenije kasnije, 1766 . godine, ^[4] levo oko mu je obolelo od katarakte , ?to ga je dovelo do potpunog slepila u roku od nekoliko nedelja po postavljanju dijagnoze. ?ak ni to nije umanjilo njegovu produktivnost, po?to je svoje slepilo prevazi?ao fotografskim pam?enjem i izvanrednom sposobno??u mentalnog ra?unanja. Smatra se da je mogao da recituje ceo tekst Vergilijeve Eneide , kao i da navede za svaku stranicu kojim stihom po?inje i zavr?ava. Prema De Kondorseu , jednom prilikom je re?io dilemu svoja dva studenta koji su, sabiraju?i slo?eni konvergentan red za konkretnu vrednost promenljive dobili razliku na parcijalnoj sumi sedamnaest prvih ?lanova koja se nalazila na petnaestoj decimali, tako ?to je u glavi izra?unao tra?eni zbir. Kasnije se ispostavilo da je bio u pravu. ^[9] Slepi Ojler je nastavio sa radom zameniv?i pisanje diktiranjem, a njegova produktivnost se pove?ala - 1775 . godine u proseku je svake sedmice zavr?avao novo delo. ^[18]

Po dolasku na presto Katarine Velike situacija u Rusiji se znatno pobolj?ala, i Ojler je 1766 . godine prihvatio poziv da se vrati na Peterbur?ku akademiju. Njegov drugi boravak u Rusiji je bio obele?en sa nekoliko tragedija. U po?aru je 1771 . godine izgorela Ojlerova ku?a, a da nije bilo njegovog vernog sluge, ?vajcarca Petera Grima (po nekim izvorima Grimona) koji je izneo svog gospodara iz vatrene stihije na leđima, taj incident bi se zavr?io fatalno po samog Ojlera. ^[9] Pet godina kasnije, posle vi?e od ?etiri decenije braka, umrla je Ojlerova ?ena. Ve? slede?e godine ponovo se o?enio, ovoga puta sa Katarininom polusestrom Salome Abigajl Gsel (Salome Abigail Gsell). ^[9]

Ojler je umro 18. septembra 1783 . godine u Sankt Peterburgu, nakon ?to je do?iveo mo?dani udar . Sahranjen je pored svoje prve ?ene na luteranskom groblju koje se nalazilo na ostrvu Vasiljevski . Ovo groblje su uni?tili Sovjeti nakon ?to su Ojlerove ostatke premestili u pravoslavni manastir Aleksandra Nevskog .

Se?anje na Ojlera je za francusku Akademiju napisao francuski matemati?ar i filozof Markiz de Kondorse , a biografiju i spisak njegovih dela, sastavio je Nikolas fon Fus (Nikolaus von Fuss), Ojlerov zet i sekretar tada?nje Carske akademije nauka i umetnosti . Kondorse je primetio:

…il cessa de calculer et de vivre ? … prestao je da ra?una i da ?ivi. ^[19]

Ojler se bavio skoro svim oblastima matematike : geometrijom , analizom , trigonometrijom , algebrom , teorijom brojeva , kao i fizikom kontinuuma, lunarnom teorijom i drugim oblastima fizike . Izdvaja se u istoriji matematike kao vrlo originalna i zna?ajna li?nost, a njegovo ime je povezano sa velikim brojem matemati?kih pojmova.

Ojler je u matemati?ku notaciju uveo nekoliko konvencija koje je popularisao kroz svoje brojne i ?iroko rasprostranjene ud?benike. Uveo je pojam funkcije i prvi je upotrebio oznaku f ( x ) za funkciju f primenjenu na argument x . ^[3] Pored toga, uveo je moderan zapis trigonometrijskih funkcija , slovo e kao oznaku za osnovu prirodnog logaritma (danas poznatu i kao Ojlerov broj ), gr?ko slovo Σ za ozna?avanje sumiranja i slovo ${\displaystyle i}$ za ozna?avanje imaginarne jedinice . ^[20] Takođe je koristio gr?ko slovo π da ozna?i odnos obima i polupre?nika kruga , iako to nije bila originalno njegova ideja. ^[21]

U 18. veku matemati?ka istra?ivanja su bila usredsređena na oblast analize , a ?lanovi porodice Bernuli, koji su bili bliski prijatelji porodice Ojler, su bili zaslu?ni za ve?i deo ranih otkri?a na ovom polju. Zahvaljuju?i njihovom uticaju, Ojler se fokusirao na izu?avanje matemati?ke analize. Iako neki njegovi dokazi po savremenim standardima matemati?ke strogosti nisu prihvatljivi, ^[22] njegove ideje su utrle put mnogim zna?ajnim dostignu?ima.

Ojler je poznat po velikom doprinosu razvoju stepenih redova , prikazivanju funkcija u obliku zbira beskona?no mnogo sabiraka, kao ?to je

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)}$

i njihovoj ?estoj upotrebi.

Zna?ajno Ojlerovo otkri?e je razvoj broja e i inverzne tangensne funkcije u stepeni red. Njegova slobodna upotreba (koja je po savremenim standardima i tehni?ki nekorektna) stepenih redova omogu?ila mu je da re?i ?uveni Bazelski problem 1735 . godine: ^[22]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

Ojler je uveo upotrebu eksponencijalne funkcije i logaritama u analiti?ke dokaze. Otkrio je na?in da izrazi razli?ite logaritamske funkcije pomo?u stepenih redova, i uspe?no je definisao logaritme negativnih i kompleksnih brojeva , ?ime je pro?irio domen matemati?ke primene logaritama. ^[20] Takođe je definisao eksponencijalnu funkciju za kompleksne brojeve i otkrio njenu vezu sa trigonometrijskim funkcijama . Za proizvoljan realan broj φ , prema Ojlerovoj formuli , va?i jednakost

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\,}$

Poseban slu?aj te formule, koji se dobija za vrednost ${\displaystyle \varphi =\pi ,\,\!}$ poznat kao Ojlerov identitet ,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$

se u knjizi Ri?arda Fejnmana smatra za ?najzna?ajniju matemati?ku formulu“, zato ?to u jednom izrazu, uz kori??enje operacija sabiranja, mno?enja i stepenovanja navodi pet va?nih matemati?kih konstanti 0, 1, e , i i π ^[23] . ?itaoci ?asopisa Matematikal intelid?enser ( Mathematical Intelligencer ) su 1988 . godine ovaj identitet proglasili za najlep?u matemati?ku formulu svih vremena . ^[24] Zanimljivo je da su se među pet prvoplasiranih formula na tom glasanju na?le ?ak tri koje je otkrio Ojler. ^[24]

Između ostalog, Ojler je razradio teoriju vi?ih transcedentalnih funkcija uvode?i gama-funkciju i novu metodu za re?avanje jedna?ina ?etvrtog stepena . Otkriv?i na?in da izra?una integral sa kompleksnim granicama nagovestio je razvoj moderne kompleksne analize . Za?eo je funkcionalnu analizu , i dao ?uvenu Ojler-Lagran?ovu formulu .

Ojler je bio prvi matemati?ar koji je koristio analiti?ke metode za re?avanje problema teorije brojeva . Na taj na?in je ujedinio dve razli?ite matemati?ke grane i uveo novu oblast istra?ivanja, analiti?ku teoriju brojeva . U procesu zasnivanja novog polja, Ojler je stvorio teoriju hipergeometrijskih redova , hiperboli?nih trigonometrijskih funkcija i analiti?ku teoriju veri?nih razlomaka . Dokazao je da prostih brojeva ima beskona?no mnogo koriste?i divergentnost harmonijskog reda , i upotrebljavao je analiti?ke metode da bi do?ao do određenih saznanja o na?inu na koji su prosti brojevi raspoređeni u skupu prirodnih brojeva. Ojlerovi doprinosi na ovom polju su omogu?ili da se otkrije Teorema o prostim brojevima . ^[25]

Ojlerov interes za teoriju brojeva potakao je Kristijan Goldbah , njegov prijatelj sa Peterbur?ke akademije. Dosta njegovih ranih radova iz ove oblasti je bilo zasnovano na delima Pjera Ferma - Ojler je razvio neke njegove ideje i opovrgao nekoliko hipoteza .

Ojler je povezao prirodu pojavljivanja prostih brojeva sa idejama matemati?ke analize. Do?ao je do dokaza da suma recipro?nih vrednosti prostih brojeva divergira , pri ?emu je otkrio vezu između Rimanove zeta-funkcije i prostih brojeva, danas poznatu kao Ojlerova formula za Rimanovu zeta-funkciju .

Ojler je dokazao Njutnove identitete , Malu Fermaovu teoremu , Fermaovu teoremu o zbiru dva kvadrata , i dao je zna?ajan doprinos Lagran?ovoj teoremi o ?etiri kvadrata . Pored toga, uveo je funkciju φ( n ) koja daje broj svih pozitivnih celih brojeva manjih od celog broja n koji su sa njim uzajamno prosti. Kori??enjem osobina ove funkcije, uop?tio je Malu Fermaovu teoremu, a taj rezultat je danas poznat kao Ojlerova teorema . Zna?ajno je doprineo razumevanju savr?enih brojeva , koji su fascinirali matemati?are jo? od vremena Euklida , napravio je izvestan progres ka formulisanju Teoreme o prostim brojevima , i postavio je hipotezu koja je kasnije dokazana kao Zakon kvadratnih reciprociteta . Danas se ti koncepti smatraju osnovnim teoremama teorije brojeva, a Ojler je svojim idejama ukazao na put kojim je kasnije krenuo Karl Fridrih Gaus . ^[26]

Do 1772 . godine, Ojler je pokazao da je 2 ³¹  ? 1 = 2.147.483.647 Mersenov prost broj . To je bio najve?i poznati prost broj sve do 1867 . godine. ^[27]

Za vi?e informacija pogledajte ?lanak Kenizber?ki mostovi

Ojler je 1736 . godine re?io problem poznat kao Sedam mostova Kenigsberga . ^[28] Glavni grad Pruske , Kenigsberg , danas Kalinjingrad , nalazio se na reci Pregel , i njegova teritorija je obuhvatala i dva velika ostrva na reci koja su bila povezana sa ostatkom grada i međusobno pomo?u sedam mostova . Postavilo se pitanje da li je mogu?e po?i iz jedne ta?ke i, vratiti se u nju tako da se svaki most pređe ta?no jednom. To pod zadatim uslovima nije mogu?e, ?to zna?i da ne postoji Ojlerov put . Ovo re?enje se smatra prvom teoremom teorije grafova , odnosno teorije planarnih grafova . ^[28]

Formula koja povezuje broj temena ( V ), ivica ( E ) i strana ( F ) konveksnog poliedra , ${\displaystyle V-E+F=2}$, takođe je Ojlerova zasluga. ^[29] Konstanta koja se pojavljuje u navedenoj formuli je poznata kao Ojlerova karakteristika grafa ili bilo kog drugog matemati?kog objekta, i u bliskoj je vezi sa njegovim rodom . ^[30] Izu?avanje i generalizacija navedene formule koje su obavili Ko?i ^[31] i L'Ulije , ^[32] su bili osnova za zasnivanje topologije .

Ojlerov doprinos analiti?koj geometriji se sastoji u formulaciji jedna?ina koje opisuju kupu , valjak , i razli?ite rotacione povr?i. Pored toga, pokazao je da se najkra?e rastojanje između dve ta?ke na zakrivljenoj povr?i pretvara u du? ukoliko se ta povr? projektuje na ravan . Prvi je prou?avao sve krive zajedno, bez posebne naklonosti prema konikama i temeljno se bavio krivama koje generi?u transcedentalne funkcije (npr. sinusoida ).

Napisao je i zna?ajan rad o klasifikaciji krivih i povr?i. U Uvodu u analizu beskona?nih veli?ina se nalazi kompletna i iscrpna diskusija o polarnim koordinatama koje su date u savremenom obliku. Zbog toga se gre?kom, ?ak i danas, ?esto navodi da je Ojler uveo u upotrebu tu notaciju.

Dokazao je i nekoliko teorema op?te geometrije, između ostalih i tvrđenje da te?i?te , ortocentar i centar opisanog kruga trougla uvek pripadaju jednoj pravoj . Njemu u ?ast, ta prava je nazvana Ojlerovom .

Neka od Ojlerovih zna?ajnih dostignu?a uklju?uju re?avanje realnih problema analiti?kim metodama, i opisivanje mnogobrojnih primena Bernulijevih brojeva , Furijeovih redova , Venovih dijagrama , Ojlerovih brojeva , konstanti e i π , veri?nih razlomaka i integrala . Na?inio je celinu od Lajbnicovog diferencijalnog ra?una i Njutnove metode fluksija , i razvio je aparat koji je olak?ao primenu matemati?ke analize na fizi?ke probleme. Napravio je velike korake u pobolj?anju numeri?ke aproksimacije integrala, tako ?to je u upotrebu uveo takozvane Ojlerove aproksimacije , među kojima su najzna?ajnije Ojlerova metoda i Ojler-Maklorenova formula . Olak?ao je upotrebu diferencijalnih jedna?ina uvode?i takozvanu Ojler-Maskeronijevu konstantu :

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

Laplasove re?i

?itajte Ojlera, ?itajte Ojlera, to je na? zajedni?ki u?itelj. ^[4]

najbolje pokazuju Ojlerov uticaj na matematiku.

Među manje poznatim Ojlerovim doprinosima nalazi se poku?aj formulisanja teorije muzike u potpunosti zasnovan na matemati?kim idejama, koji je napravio napisav?i 1739 . godine Tentamen novae theoriae musicae , a zatim i brojna druga dela sa nadom da mo?e da priklju?i teoriju muzike matematici. Ojler se tim svojim nastojanjima priklju?io trendu koji su pokrenuli Marin Mersen i Rene Dekart , a koji ?e nastaviti ?an Dalamber , Herman fon Helmholc i drugi.

U svom Se?anju na Leonarda Ojlera , njegov pomo?nik, Nikolas Fus okarakterisao je navedeni traktat kao:

Ozbiljno delo, prepuno novih ideja koje su predstavljene sa originalne ta?ke gledi?ta, ali delo koje nije do?ivelo zna?ajnu popularnost zato ?to sadr?i previ?e geometrije za muzi?are , i previ?e muzike za matemati?are. ^[13]

I na polju fizike Ojler je ostavio trag, kroz otkri?e Ojler-Bernulijeve jedna?ine . Pored toga ?to je uspe?no primenjivao svoje analiti?ke metode na probleme klasi?ne mehanike , istim tehnikama se slu?io i pri re?avanju astronomskih problema. Za svoja dostignu?a na tom polju dobio je nekoliko nagrada pariske Akademije nauka. Između ostalog, sa velikom ta?no??u je određivao orbite kometa i drugih nebeskih tela, razumevaju?i njihovu prirodu, i ra?unaju?i paralaksu sunca. Njegova izra?unavanja su doprinela razvoju ta?nih tablica geografskih du?ina . ^[33]

Između ostalog, Ojler je dao zna?ajan doprinos i na polju optike . Nije se slagao sa Njutnovom teorijom svetlosti izlo?enom u delu Optika ( Opticks ), koja je u to vreme bila preovlađuju?a. Svojim radom na tu temu iz 1740 . godine pomogao je da Talasna teorija svetlosti koju je predlo?io Kristijan Hajgens postane dominanatan na?in razmi?ljanja, do razvoja Kvantne teorije svetlosti . ^[34]

Ojleru se pripisuje da je koristio zatvorene krive da ilustruje silogisti?ko zaklju?ivanje ( 1768 ). Takvi dijagrami su danas poznati kao Ojlerovi dijagrami . ^[35]

Leonard Ojler i Danijel Bernuli su bili protivnici Lajbnicovog monizma i filozofije Kristijana Volfa . Ojler je insistirao na ?injenici da je znanje, između ostalog, zasnovano na preciznim kvantitativnim zakonima, ?to monizam i Volfova nauka nisu mogli da potvrde. Mogu?e je da su Ojlerove religiozne sklonosti takođe imale oslonac u njegovom preziranju dogmi; i?ao je tako daleko da je proglasio Volfove ideje ?neverni?kim i ateisti?kim“. ^[36]

Do ve?eg dela onoga ?to je danas poznato u vezi sa Ojlerovim religioznim ubeđenjima mo?e se do?i ?itanjem njegovih Pisama jednoj nema?koj princezi i jednog ranijeg dela, Odbrana bo?anskog Otkrovenja od prigovora slobodnih mislilaca ( Rettung der Gottlichen Offenbahrung Gegen die Einwurfe der Freygeister ). Ova dela prikazuju Ojlera kao nepokolebljivog hri??anina i bogonadahnutu osobu . ^[37]

U vreme svog boravka u Berlinu , Ojler je svake ve?eri okupljao porodicu da bi zajedno pro?itali jedno poglavlje iz Biblije i pomolili se, dok je na drugoj strani, dane provodio na dvoru Fridriha Velikog na kome je, prema Makoleju,

glavna tema razgovora bila apsurdnost postojanja svih poznatih religija ^[38]

Prema jednoj poznatoj pri?i, inspirisanoj Ojlerovim raspravama sa svetovnim filozofima oko religioznih tema, u vreme njegovog drugog boravka u Sankt Peterburgu, u poseti dvoru Katarine Velike se nalazio francuski filozof Deni Didro . Kako su Didroovi argumenti u korist nepostojanja Boga po?eli znatno da uti?u na Katarinine dvorane, carica je zamolila Ojlera da obuzda vetropirastog gosta. Po dogovoru, Didrou je re?eno da Ojler poseduje algebarski dokaz o postojanju Boga , i Francuz je pristao da ga pred celim dvorom saslu?a. Ojler je vrlo samouvereno istupio prema filozofu izgovoriv?i re?enicu:

Gospodine, ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a+b^{n}}{n}}=x\end{matrix}}}$, zna?i da Bog postoji; odgovorite! ^[9]

Didro je zanemeo dok su ga, kao reakcija, zasipale salve smeha prisutnih dvorana. Kako mu je matematika bila slaba strana, Ojlerova tvrdnja je delovala istinito i nije mogao da je pobije. Poni?en, zatra?io je od Katarine dozvolu da se odmah vrati u Francusku, a ona mu je vrlo blagonaklono to i dopustila. Međutim, koliko god ovo bio zanimljiv događaj, velika je verovatno?a da nije istinit, s obzirom da je Didro bio sposoban matemati?ar, koji je ?ak objavio nekoliko matemati?kih rukopisa. ^[39]

• Mehanika, ili nauka o kretanju izlo?ena analiti?ki ( Mechanica, sive motus scientia analytica exposita , 1736 ) ? Ojler je u ovom ud?beniku predstavio Njutnovu dinamiku materijalne ta?ke pomo?u analiti?kih metoda izlaganja.
• Poku?aj zasnivanja nove teorije muzike ( Tentamen novae theoriae musicae , 1739 )
• Disertacija o magnetu ( Dissertatio de magnete , 1743 )
• Metode za nala?enje krivih linija koje poseduju osobine maksimuma ili minimuma ( Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes , 1744 ) ? prva knjiga u kojoj je objavljen varijacioni ra?un. Tu se jo? mogu na?i i dokazi da su katenoid i pravi helikoid minimalne povr?i .
• Uvod u analizu beskona?nih veli?ina ( Introductio in analysin infinitorum , 1748 ) ? u dva toma ove knjige Ojler se bavio veoma razli?itim temama, između ostalog, teorijom beskona?nih redova , zasnivanjem trigonometrijskih veli?ina kao koli?nika, analiti?kom geometrijom kroz razmatranje familija krivih i povr?i preko njihovih algebarskih jedna?ina, algebarskom teorijom eliminacije, zeta-funkcijom i njenom vezom sa prostim brojevima i razlaganjem brojeva na sabirke. Ovde se mo?e na?i Ojlerova formula , i predstavljanje funkcija ${\displaystyle e^{x}}$, ${\displaystyle \sin x}$ i ${\displaystyle \cos x}$ pomo?u beskona?nih redova.
• Diferencijalni ra?un Arhivirano 2010-08-01 na Wayback Machine-u ( Institutiones calculi differentialis , 1755 )
• Teorija kretanja ?vrstih tela ( Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum , 1765 ) ? analiti?ko izlaganje mehanike ?vrstih tela. Između ostalog, ovde se nalaze i Ojlerove jedna?ine za tela koja rotiraju oko ta?ke.
• Integralni ra?un ( Institutiones calculi integralis , 1768 ? 1774 ) ? napisav?i tri toma, u ovoj knjizi Ojler je izlo?io elementarni diferencijalni i integralni ra?un , teoriju diferencijalnih jedna?ina koje je klasifikovao u ?linearne“, ?egzaktne“ i ?homogene“, Tejlorovu teoremu i njene mnogobrojne primene i gama i beta-funkciju .
• Pisma jednoj nema?koj princezi ( Lettres a une Princesse d'Allemagne , 1768 ? 1772 )
  • Prvi tom Arhivirano 2010-03-11 na Wayback Machine-u
  • Drugi tom
  • Tre?i tom Arhivirano 2008-04-22 na Wayback Machine-u
• Dioptrika ( Dioptrica , 1769 ? 1771 ) ? izlaganje teorije prelamanja zraka kroz sistem so?iva .
• Potpuni uvod u algebru ( Vollstandige Anleitung zur Algebra , 1770 ) ( francusko izdanje , engleski prevod iz 1822. godine Arhivirano 2006-09-25 na Wayback Machine-u ) ? ud?benik algebre koji se zavr?ava sa jedna?inama tre?eg i ?etvrtog stepena.
• Teorija kretanja meseca ( Theoria motuum lunae , 1772 )
• Teorija kretanja planeta i kometa ( Theoria motus planetarum et cometarum , 1774 ) ? delo koje se bavi nebeskom mehanikom.

• Ojlerov integral
• Teorija grafova
• Ojlerova kru?nica
• Ojlerova konstanta
• Ojlerova fi funkcija
• Ojlerova formula
• Ojlerovi polinomi

• Leonhard Euler na sajtu Mathematics Genealogy Project ( en )

• Onlajn arhiva radova Leonarda Ojlera ( en )
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. ?Leonhard Euler ? biografija” . MacTutor History of Mathematics archive .   ( en )
• ?Ojler - predavanje posve?eno jubileju 3 veka od rođenja“ Arhivirano 2008-12-27 na Wayback Machine-u , koje je odr?ao Robin Vilson na Gre?am koled?u, 9. maja 2007 . godine ( en )
• Porodi?no stablo Leonarda Ojlera ( en )
• Biografija Leonarda Ojlera objavljena u ?asopisu Kvant :
  • Leonard Ojler , 1983 , br. 10 ( ru )
  • Leonard Ojler , 1983 , br. 11 ( ru )