Longueur

Contrairement au vecteur deplacement , la mesure d'une longueur est une mesure integrale curviligne.

Donnees cles

Unites SI	metre
Autres unites	voir Unite de longueur
Dimension	L
Nature	Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel	${\displaystyle \ell }$, l ou L
Lien a d'autres grandeurs	${\displaystyle \ell =\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} \ell }$

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En geometrie , la longueur est la mesure d'une courbe dans un espace sur lequel est definie une notion de distance. La longueur est une mesure lineaire sur une seule dimension, par opposition a la surface qui est une mesure sur deux dimensions, et au volume dont la mesure porte sur trois dimensions. La longueur d'une courbe ne doit pas etre confondue avec la distance entre deux points, qui correspond au minimum des longueurs des chemins reliant ces points.

La longueur est une grandeur physique et une dimension de base. C'est aussi la dimension fondamentale unique du systeme d'unites geometriques , qui presente la singularite de ne pas utiliser d'autres dimensions.

Le symbole de la longueur est ≪  L  ≫ ( lettre ≪ L ≫ majuscule ). Notons qu'a la difference, le symbole de la largeur est ≪  l  ≫ ( lettre ≪ l ≫ minuscule ).

Introduction [ modifier | modifier le code ]

Historique [ modifier | modifier le code ]

La mesure des longueurs remonte probablement aux premiers temps du Neolithique et de la sedentarisation associee : si une civilisation de chasseurs-cueilleurs peut se contenter d'estimer ses trajets en journee de marche (donc, par une unite de temps), la mesure de longueur devient necessaire des qu'il s'agit d'estimer geometriquement des droits sur des champs, ou de discuter le prix de vente d'une etoffe ^{[ 1 ]} .

Les premieres mesures de longueur dont on trouve des traces historiques sont liees a l'homme, ≪ mesure de toute chose ≫ ^{[ 2 ]}  : la coudee pour des mesures de longueur (notamment des etoffes), la perche de dix pieds pour les mesures d' arpentage , le millier de double pas ( mille romain ) pour les mesures de distance ^{[ 1 ]} . Ces unites de base varient evidemment d'une personne a l'autre, ou d'une population a l'autre, et etaient eminemment variables dans le temps et dans l'espace, quoique representant en gros les memes quantites : le double pas d'un individu etant a peu pres la valeur de sa taille, le mille romain de 1 479  m suppose que le soldat romain mesure a peine 1,50  m ...

Par ailleurs, ces unites de base pouvaient admettre des multiples ou sous-multiples suivant des valeurs plus ou moins conventionnelles : un pouce est le douzieme d'un pied et est le quart d'un palme de main, etc.

Longueur et geometrie [ modifier | modifier le code ]

La notion fondamentale est celle de distance entre deux points, qui peut etre mesuree directement par une regle graduee ou une chaine d'arpenteur . L'etape suivante dans l'abstraction consiste a estimer la longueur d'une ligne courbe, ce qui se fait en imposant a une corde flexible mais inextensible les tours et detours de cette courbe, puis en mesurant la longueur de cette corde une fois tendue en un segment droit : c'est ainsi que l'on mesure un tour de tete.

Pour l'arpenteur geometre , la longueur d'un chemin prend la forme d'une somme de longueurs elementaires, chaque troncon de chemin etant suffisamment peu courbe pour pouvoir etre assimile a un petit segment de droite. Si la courbure du chemin devient trop importante, il suffit de prendre des segments plus petits pour retrouver une approximation satisfaisante.

C'est cette pratique qui est a la base de la rectification des courbes theoriques (cercles, ellipses, etc.), visant non plus a mesurer mais cette fois a calculer la longueur d'un arc , d'une courbe dite en consequence courbe rectifiable , sous forme d'une limite de la somme d'une infinite de segments infiniment petits. Des l'epoque d' Archimede , les grecs savent calculer avec une bonne approximation le perimetre d'un cercle, par la methode des polygones inscrits ou exinscrits. Le developpement de la geometrie analytique a permis d'etendre cette approche a des courbes de plus en plus complexes.

Longueurs en physique moderne [ modifier | modifier le code ]

En geometrie et physique classique, la notion de longueur est comprise comme quelque chose d'intrinseque a l'espace, et independant de l'observateur. Meme si les geometries non euclidiennes etaient connues depuis le debut du XIX ^e  siecle , personne n'etait alle s'imaginer que l'espace physique pouvait etre autre chose que l'espace euclidien avant la fin du XIX ^e  siecle .

C'est avec la relativite restreinte que la physique decouvrit que la mesure d'une distance entre deux points ou de la longueur d'un objet dependait en realite de l'observateur, et n'etait donc pas une mesure intrinseque. Cependant, meme en relativite generale , on considere que l'espace entourant un observateur lui apparait comme localement euclidien. Mais meme ce cadre familier est remis en cause par la mecanique quantique , ou l'on voit que pour des distances de l'ordre de la longueur de Planck , la mesure d'une distance cesse d'avoir un sens physique, et les dimensions de temps et d'espace ne peuvent meme plus etre facilement distinguees dans ce qui apparait alors comme une espece de mousse quantique indifferenciee.

Grandeur physique [ modifier | modifier le code ]

Longueur, distance, deplacement,... [ modifier | modifier le code ]

Par abus de langage, on qualifie egalement de ≪ longueur ≫ la grandeur physique qui traduit d'une maniere generale l'extension spatiale de quelque chose, la grandeur suivant une dimension d'espace. L'extension spatiale peut cependant recouvrir des cas assez differents, qui ne sont pas tous designes par le terme de ≪ longueur ≫ :

• L'extension spatiale entre deux points s'appelle specifiquement la distance . C'est la longueur du segment de droite reliant ces deux points.
• Geometriquement, la longueur d'un objet est un scalaire mesurant generalement son extension spatiale suivant la plus grande de ses dimensions. C'est generalement son diametre maximal, qui peut se presenter dans une orientation quelconque ; mais si l'objet presente des axes naturels, la ≪ longueur ≫ sera mesuree sur la projection d'un de ces axes, et si l'objet presente un sens d'avancement naturel, la ≪ longueur ≫ sera prise par rapport a cet axe. C'est ainsi que la ≪ longueur ≫ d'un planeur est souvent plus petite que son envergure .
• En physique du point materiel, l'extension spatiale d'un deplacement entre deux situations se traduit par le vecteur deplacement d'un point dans l'espace, qui se repere a travers une direction (sans dimension) et une distance (qui a la dimension d'une longueur). De meme, la position d'un point correspond au deplacement qu'il faut subir pour se rendre d'un point origine au point considere.
• En mecanique des corps deformables, chaque point est caracterise par son propre deplacement par rapport a une situation de reference.

Sur ces deux derniers points, la derivee par rapport au temps sera qualifiee de vitesse . Sur les deux premiers, on parlera plutot de croissance .

Notion de ≪ longueur ≫ [ modifier | modifier le code ]

Le terme de ≪ longueur ≫ est plutot reserve a la mesure geometrique d'un objet, d'une distance ou d'un chemin. Une telle longueur est alors un scalaire extensif (la longueur hors tout d'un train est la somme des longueurs de ses composants). Par definition, une longueur est une grandeur additive : la longueur d'un chemin est la somme des longueurs de ses parties. C'est de plus une grandeur toujours positive.

Un ≪  deplacement  ≫ est en revanche une grandeur vectorielle (caracterisee par une direction et une norme) et intensive (elle est definie en chaque point, et ne peut pas etre additionnee d'un point sur l'autre).

Le long d'une courbe, le deplacement elementaire ${\displaystyle \scriptstyle {\overrightarrow {\mathrm {d} \ell }}}$ est une grandeur intensive dont l'integrale sur l'ensemble du segment peut conduire :

• a la longueur de la courbe : ${\displaystyle L=\int _{A}^{B}\mathrm {d} \ell }$
• au deplacement entre ses deux extremites : ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\int _{A}^{B}{\overrightarrow {\mathrm {d} \ell }}}$

Dans les deux cas, l'integrale est donc une grandeur extensive (scalaire ou vectorielle). Mais il est clair que par exemple, sur une courbe fermee, la ≪ longueur ≫ peut mesurer le perimetre d'un corps, alors meme que le ≪ deplacement ≫ sera necessairement nul entre le point de depart et le point d'arrivee.

Definition [ modifier | modifier le code ]

En geometrie analytique , certaines courbes peuvent etre definie par une equation . On peut alors calculer la longueur d'un arc par le calcul d'une integrale .

La longueur est la mesure physique d'une distance. Dans le cas general, la longueur d'une trajectoire entre un point O et un point T est l' integrale curviligne du vecteur deplacement elementaire d'un point cheminant le long de cette trajectoire entre les deux points. Si le point P a pour coordonnees ${\displaystyle \scriptstyle \left[x(\tau ),y(\tau ),z(\tau )\right]}$ dans un repere orthonorme , la longueur de sa trajectoire sera :

${\displaystyle L(t)=\int _{o}^{t}\left\Vert {\overrightarrow {\partial P \over \partial \tau }}\right\Vert \mathrm {d} \tau =\int _{o}^{t}{\sqrt {\left[{\partial x \over \partial \tau }\right]^{2}+\left[{\partial y \over \partial \tau }\right]^{2}+\left[{\partial z \over \partial \tau }\right]^{2}}}\,\mathrm {d} \tau }$

Il est possible de reparametrer la courbe parcourue par le point P en fonction de la longueur ${\displaystyle \ell }$ parcourue :

${\displaystyle \ell =L(t)\qquad }$ et ${\displaystyle \quad P(t)=P(L(t))=P(\ell )}$

Avec ce parametrage, la derivee partielle de la position du point par rapport a son abscisse curviligne est un vecteur norme, tangent a la courbe, et la longueur de la trajectoire est directement donnee par l' integrale curviligne  :

${\displaystyle {\overrightarrow {\partial P \over \partial \ell }}.\mathrm {d} \ell ={\overrightarrow {\mathrm {d} \ell }}\qquad }$ et ${\displaystyle \quad L(t)=\int _{o}^{t}\left\Vert {\overrightarrow {\partial P \over \partial \ell }}\right\Vert \mathrm {d} \ell =\int _{o}^{t}{\overrightarrow {\partial P \over \partial \ell }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d} \ell }}}$

Unite [ modifier | modifier le code ]

L' unite internationale pour la mesure de la longueur est le metre (en abrege : m). Dans le Systeme international d'unites, on peut aussi l'exprimer :

• en fractions de metre  : decimetre (dm), centimetre (cm), millimetre (mm), micrometre (μm) ;
• ou en multiples de metres : decametre (dam), hectometre (hm), kilometre (km).

Il existe des unites de longueur en dehors du Systeme international, en particulier le pouce , le pied et le mille .

Utilisation de la longueur [ modifier | modifier le code ]

Longueur d'un arc [ modifier | modifier le code ]

En geometrie, on cherche frequemment a calculer la longueur de courbes . Cela permet par exemple de determiner les dimensions d'un objet a partir du plan, pour permettre sa construction. Par exemple, pour construire un reservoir cylindrique, il faut connaitre la longueur de tole que l'on va rouler pour former la virole (le corps central).

Longueur d'un objet [ modifier | modifier le code ]

La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extremites les plus eloignees. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet completement developpe.

La longueur d'un objet est perpendiculaire a sa largeur . Pour memoire, le symbole de la largeur est ≪ l ≫ ( lettre ≪ l ≫ minuscule ) ; mais cette notion n'a pas de realite mathematique distincte.

La longueur d'un objet permet d’apprecier sa taille. La longueur est une dimension spatiale , qui peut etre mesuree a l'aide d' unites , telles que celles identifiees par le Systeme international d'unites  : le metre et ses multiples ou sous-multiples.

La longueur d’un objet physique n’est pas une propriete intrinseque ; celle-ci peut dependre de la temperature, de la pression, de la vitesse, etc.

Exemple de mesure de longueur [ modifier | modifier le code ]

Mesurons une page de papier avec une regle formee de 3 decimetres gradues en millimetres (mm) ; la page a pour largeur 21 centimetres et pour longueur 29,7 centimetres.

On note en resume : largeur = 21  cm = 21 × 1  cm = 21 × 0,01 × 1  m = 0,21  m et longueur = 29,7  cm = 29,7 × 1  cm = 29,7 × 0,01 × 1  m = 0,297  m .

Il est impossible de mesurer l'epaisseur de la feuille avec la meme regle. Par contre, on peut mesurer l'epaisseur d'une pile de 500 feuilles (une rame ) et constater que 500 × l'epaisseur = 5  cm . On peut en deduire que l'epaisseur d'une feuille est un dixieme de millimetre.

Instrument de mesure [ modifier | modifier le code ]

Pour les petites longueur ? entre 1  dm et 1  μm ?, on utilise des instruments tels que le pied a coulisse ou le micrometre ≪ Palmer ≫ .

En deca du micrometre ? nanometre (nm), picometre (pm), femtometre (fm) ?, on ne peut plus utiliser la vue pour mesurer un objet (probleme de diffraction , la longueur d'onde de la lumiere visible etant de l'ordre de 500  nm ). Il faut alors utiliser d'autres rayonnements, comme un faisceau d'electrons .

On parle plutot de ≪ distance ≫ entre deux points, pour designer la mesure de la longueur du segment de droite separant ces deux points.

La ≪ distance ≫ entre deux points pas trop proches ni trop eloignes ? entre 1  mm et quelques m ? se mesure avec une regle droite (une toise ) qui peut etre graduee. Pour mesurer un objet, on fait correspondre les deux extremites de l'objet avec des points de la regle. Bien sur il faut que l'objet et la regle soient rigides, indeformables. On peut egalement utiliser une corde ou un ruban gradue ( metre ruban ), ce qui permet d'avoir un instrument facile a ranger et a transporter ; il faut alors s'assurer que le ruban est bien tendu pour la mesure, et son elasticite ne doit pas etre trop importante.

Pour les grandes distances ? entre 1  m et quelques km ?, on utilise des phenomenes optiques, comme la difference de parallaxe ou bien l' echelle creee par l'eloignement pour un telemetre stadimetrique , ou bien encore la trigonometrie , avec la technique de triangulation . On utilise egalement des phenomenes ondulatoires , typiquement la duree d'aller-retour d'une onde : onde sonore pour un sonar , onde lumineuse pour un telemetre laser , onde radio pour un radar . En sismologie , on utilise la difference de vitesse de propagation des onde P et S pour determiner la distance de l' hypocentre d'un seisme .

Instruments de mesure de longueur [ modifier | modifier le code ]

• Cale etalon
• Pied a coulisse
• Micrometre
• Jauge de profondeur

Mesures astronomiques [ modifier | modifier le code ]

La mesure des distances en astronomie se fait par la mesure du temps que met la lumiere ou plus generalement les ondes electromagnetiques pour parcourir la ligne droite qui separe deux objets, ou bien le phenomene du decalage vers le rouge . On utilise des unites telles que :

• l' unite astronomique (ua, au), egale a la distance de la Terre au Soleil est d'environ 8 minutes-lumiere, soit, compte tenu de la vitesse de la lumiere , environ 150 millions de km ;
• l' annee-lumiere (al), la distance parcourue par la lumiere durant une annee, soit environ 10 000 milliards de kilometres ;
• le parsec (pc), qui est la distance de laquelle la distance Soleil-Terre apparait comme un arc d'une seconde  ; un parsec vaut environ 3,26  al .

Autres acceptions de la longueur [ modifier | modifier le code ]

La longueur peut dans certaines situations, representer une duree, comme dans la longueur des jours, ou dans l’expression ≪ a longueur de journee ≫ qui signifie pendant toute la journee ou encore dans ≪ trainer en longueur ≫ qui veut dire durer trop longtemps.

En informatique , la longueur d’un mot ecrit dans un alphabet quelconque correspond au nombre de lettres qui composent le mot. De meme, la longueur d’une chaine de caracteres correspond au nombre de caracteres qui constituent la chaine.

Voir aussi [ modifier | modifier le code ]

Articles connexes [ modifier | modifier le code ]

• Dimension
• Largeur
• Hauteur
• Longueur d'un arc
• Courbe
• Espace metrique

Le Systeme international d'unites

• centimetre
• metre
• kilometre

Le systeme imperial britannique

• Unites de mesure anglo-saxonnes
• pouce
• pied
• Yard
• Mille

Les unites de longueur anciennes

• Coudee
• Empan
• Canne (unite)
• Woenlet

Les autres unites de longueur

• Mille marin

Notes et references [ modifier | modifier le code ]

• Portail de la physique
• Portail de la geometrie