函數解析學 에서 C* 臺數 (시스타 臺數, 英語 : C*-algebra )는 大蛤 臺數 와 複素數 바나흐 臺數 의 構造를 서로 互換되게 갖춘 數學 構造이다.

正義 [ 編輯 ]

C* 臺數의 槪念은 다양한 方法으로 定義될 수 있다.

• 抽象的으로, 複素數 大蛤 臺數 와 複素數 바나흐 臺數 의 構造가 서로 互換되게 주어진 複素數 벡터 空間 으로 여길 수 있다.
• 事實, 複素數 바나흐 空間 救助는 複素數 大蛤 臺數 構造로부터 定義될 수 있다. 따라서, C* 臺數를 純粹하게 代數學的으로 特別한 꼴의 複素數 大蛤 臺數 로 定義할 수 있다.
• 具體的으로, 複素數 힐베르트 空間 위의 유계 作用素 大水路 表現될 수 있는 複素數 바나흐 臺數 로 여길 수 있다. 이 定義에서, 複素數 힐베르트 空間 위의 *-表現은 C* 臺數의 定義에 包含되지 않는다.

이 定義들은 모두 서로 同治 이다.

抽象的 定義 [ 編輯 ]

複素數 벡터 空間 ${\displaystyle A}$ 위에 다음과 같은 두 構造가 주어졌다고 하자.

• ${\displaystyle (A,^{*})}$는 (複素數 켤레를 附與한) 複素數體 위의 (恒等元을 갖는) 大蛤 臺數 이다. (卽, 任意의 ${\displaystyle a\in A}$ 및 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$에 對하여 ${\displaystyle (\lambda a)^{*}={\bar {\lambda }}a^{*}}$이다.)
• ${\displaystyle (A,\|\|)}$는 複素數 바나흐 臺數 이다.

그렇다면, ${\displaystyle (A,^{*},\|\|)}$에 對하여 다음 두 條件이 서로 同治 이며, 萬若 ${\displaystyle (A,^{*},\|\|)}$가 이를 만족시킨다면 C* 臺數 라고 한다.

• ( C* 恒等式 英語 : C* identity ) ${\displaystyle \Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert }$
• ( B* 恒等式 英語 : B* identity ) ${\displaystyle \Vert x\Vert =\Vert x^{*}\Vert }$

(C* 恒等式이 B* 恒等式을 含意하는 것은 自明하지만, 反對 方向의 含意를 證明하는 것은 自明하지 않다.)

一部 文獻에서는 C* 臺數의 定義에서 恒等元의 存在를 省略하기도 한다.

代數的 正義 [ 編輯 ]

(複素數 켤레를 附與한) 複素數體 위의 (恒等元을 갖는) 大蛤 臺數 ${\displaystyle (A,^{*})}$가 다음 條件을 만족시킨다면, C* 臺數 라고 한다.

• ${\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)}$는 ${\displaystyle A}$ 위의 노름 을 이룬다. 卽, 다음이 成立한다.
  • 任意의 ${\displaystyle a\in A}$에 對하여, 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*}a)\subseteq \mathbb {C} }$는 有界 集合 이다.
  • 任意의 ${\displaystyle a\in A\setminus \{0\}}$에 對하여, ${\displaystyle 1+\lambda a^{*}a}$가 街驛員 이 아니게 만드는 複素數 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$가 存在한다.
  • ( 三角 不等式 ) 任意의 ${\displaystyle a,b\in A}$에 對하여, ${\displaystyle \sup \operatorname {sp} (a^{*}a+b^{*}b+a^{*}b+b^{*}a)\leq \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)+\sup \operatorname {sp} (b^{*}b)}$이다.
• ${\displaystyle a\mapsto \sup \operatorname {sp} (a^{*}a)}$는 完備 노름 을 이룬다.

이 代數的 定義는 위의 正義와 同治 이다. 具體的으로, C* 恒等式으로부터 노름이 恒常 ${\displaystyle \|a\|=\sup \operatorname {sp} (a^{*}a)=\operatorname {sp} (aa^{*})}$임을 보일 수 있으며, 反對로 任意의 複素數 바나흐 臺數 에서 ${\displaystyle \operatorname {sp} (ab)\cup \{0\}=\operatorname {sp} (ba)\cup \{0\}}$이므로 이는 B* 恒等式을 含意한다.

具體的 正義 [ 編輯 ]

複素數 大蛤 臺數 ${\displaystyle A}$의 *-表現 ( 英語 : *-representation )은 다음과 같은 데이터로 構成된다.

• 複素數 힐베르트 空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• 유계 作用素 들의 複素數 바나흐 臺數 ${\displaystyle \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$로 가는 丹沙 複素數 大蛤 臺數 蠢動型 ${\displaystyle \iota \colon A\hookrightarrow \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$. 卽, ${\displaystyle \iota }$는 丹沙 函數 이며, 複素數 線型 變換 이며, (恒等元을 保存하는) 換 蠢動型 이며, 大蛤 을 保存한다 (卽, ${\displaystyle \iota (a^{*})=\iota (a)*\;\forall a\in A}$. 여기서 右邊의 ${\displaystyle (-)^{*}}$는 유계 作用素 의 에르미트 首班 이다.)

萬若 複素數 大蛤 臺數 가 그 上 이 ( 作用素 노름 으로 定義되는 거리 位相 에 對하여) 닫힌集合 人 *-表現을 갖는다면, 이를 C* 臺數 라고 한다. (마지막 條件을 노름 位相 代身 强한 作用素 位相 또는 弱한 作用素 位相 에 對한 닫힌集合 인 것으로 强化시키면, 代身 폰 노이만 臺數 의 槪念을 얻는다.)

겔판트-나이마르크 整理 (Гельфанд-Наймарк定理, 英語 : Gelfand?Naimark theorem )에 따르면, 任意의 (抽象的 定義에 따른) C* 臺數 ${\displaystyle A}$의 境遇, 어떤 複素數 힐베르트 空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 胃의 作用

${\displaystyle \iota \colon A\to \operatorname {B} ({\mathcal {H}},{\mathcal {H}})}$

가 存在하며, 또한 이는 丹沙 函數 利子 複素數 線型 變換 利子 等距離 變換 이며, 또한 首班 演算 ${\displaystyle ^{*}}$에 對한 蠢動型 이며, 그 上 은 C* 臺數의 具體的 正義에 符合한다.

C* 臺數의 元素 [ 編輯 ]

${\displaystyle A}$가 C* 대수라고 하고, ${\displaystyle x\in A}$라고 하자.

• 萬若 ${\displaystyle y\in A}$가 存在하여 ${\displaystyle y^{*}y=x}$라면, ${\displaystyle x}$를 音이 아닌 元素 (陰-元素, 英語 : nonnegative element )라고 한다. 音이 아닌 元素들의 集合은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
• 萬若 ${\displaystyle x=x^{*}}$라면, ${\displaystyle x}$를 自己 首班 元素 라고 한다. 自己 首班 元素의 스펙트럼 은 모두 失手이다.
• ${\displaystyle xx^{*}=x^{*}x=1}$이라면, ${\displaystyle x}$를 유니터리 元素 라고 한다. 유니터리 元素의 스펙트럼의 元素들의 絶對값 은 恒常 1이다.
• ${\displaystyle x}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \sigma (x)\subset \mathbb {C} }$는 ${\displaystyle \lambda \cdot 1-x}$가 街驛員 이 아니게 되는 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$들의 集合이다. 一般的으로, ${\displaystyle \sigma (x^{*})={\bar {\sigma }}(x)}$이다.
• ${\displaystyle x}$의 스펙트럼의 絶對값 들의 上限 ${\displaystyle \sup |\sigma (x)|=\nu (x)}$를 ${\displaystyle x}$의 스펙트럼 半지름 이라고 한다. 스펙트럼 半지름은 다음과 같이 定義할 수도 있다.

  ${\displaystyle \nu (x)=\lim _{n\to \infty }\Vert x^{n}\Vert ^{1/n}}$

演算 [ 編輯 ]

職합 [ 編輯 ]

柔한 또는 無限 個의 C* 臺數 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 複素數 벡터 空間

${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\subseteq \prod _{i\in I}A_{i}}$

${\displaystyle a\in {\widehat {\bigoplus }}_{i\in I}A_{i}\iff \sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}<\infty }$

위에 均等 노름

${\displaystyle \|a\|_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=\sup _{i\in I}\|a_{i}\|_{A_{i}}}$

및 成分별 곱셈

${\displaystyle (ab)_{i}=a_{i}b_{i}\qquad (i\in I)}$

을 附與하면, 이는 C* 臺數를 이룬다. 이 境遇 恒等元은 ${\displaystyle 1_{{\widehat {\bigoplus }}_{i}A_{i}}=(1_{A_{i}})_{i\in I}}$ 이다.

勿論, 萬若 ${\displaystyle I}$가 有限 集合이라면, 이는 單純히 職합 ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$과 같다.

몫臺數 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• C* 臺數 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle A}$의 兩쪽 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {I}}\subseteq A}$. 또한, ${\displaystyle {\mathfrak {I}}}$가 닫힌集合 이라고 하자.

그렇다면, 그 몫환 ${\displaystyle A/{\mathfrak {I}}}$ 亦是 C* 臺數를 이룬다.

行列 臺數 [ 編輯 ]

C* 臺數 ${\displaystyle A}$ 및 自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$에 對하여, 行列 臺數 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)}$는 ${\displaystyle A}$ 成分의 ${\displaystyle n\times n}$ 정사각 行列 들로 構成되며, 이 亦是 C* 臺數를 이룬다. 萬若 어떤 複素數 힐베르트 空間 ${\displaystyle V}$에 對하여 ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {B} (V,V)}$라면, ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)\subseteq \operatorname {B} (V^{\oplus n},V^{\oplus n})}$으로 여길 수 있다.

萬若 ${\displaystyle n=0}$일 境遇, 이는 者名宦 이다.

性質 [ 編輯 ]

C* 臺數 사이의 史上 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• (恒等元을 갖는) 두 C* 臺數 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$
• (恒等元을 保存하는) 複素數 大蛤 臺數 蠢動型 ${\displaystyle f\colon A\to B}$. 卽, ${\displaystyle f}$는 複素數 線型 變換 利子 換 蠢動型 이며, 大蛤 演算을 保存한다 ( ${\displaystyle f(a^{*})=f(a)^{*}\;\forall a\in A}$).

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 作用素 노름 이 1 以下인 유계 作用素 이다.

또한, 萬若 ${\displaystyle f}$가 追加로 丹沙 函數 라면, 이는 等距離 變換 이다. 卽, ${\displaystyle \|a\|_{A}=\|f(a)\|_{B}\;\forall a\in A}$이다.

이에 따라, C* 代數와 複素數 大蛤 臺數 蠢動兄들은 具體的 範疇 ${\displaystyle \operatorname {C*Alg} }$를 이룬다.

스펙트럼 [ 編輯 ]

C* 臺數의 元素의 스펙트럼 은 恒常 空集合 이 아니다. 또한, 任意의 C* 臺數 ${\displaystyle A}$의 元素 ${\displaystyle a\in A}$에 對하여

${\displaystyle \operatorname {sp} (a^{*})=\{{\bar {\lambda }}\colon \lambda \in \operatorname {sp} (a)\}}$

이다.

C* 臺數의 自己 首班 元素 의 스펙트럼 은 失手의 部分 集合이다. C* 臺數의 유니터리 元素 의 스펙트럼은 ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$의 部分 集合이다.

分類 [ 編輯 ]

모든 C* 臺數는 겔판트-나이마르크 定理에 依하여 어떤 複素數 힐베르트 空間 속의 유계 作用素 C* 臺數의 部分 臺數로 나타내어진다. 特히, 이 C* 臺數를 包含하는 最小의 폰 노이만 臺數 를 定義할 수 있으며, 元來 C* 臺數는 이 폰 노이만 臺數 의 强한 演算子 位相 에서의 稠密 集合 을 이룬다. 폰 노이만 臺數 의 境遇 仔細한 構造 理論이 알려져 있다.

예 [ 編輯 ]

自明한 C* 臺數 [ 編輯 ]

한元素 集合 ${\displaystyle \{\bullet \}}$ 위의 唯一한 圜 構造인 者名宦 은 C* 臺數를 이룬다. 이는 唯一한 0次元 C* 臺數이다.

有限 次元 C* 臺數 [ 編輯 ]

任意의 有限 次元 C* 臺數 ${\displaystyle A}$는 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in I}\operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (n,n;\mathbb {C} )}$는 作用素 노름 이 附與된, ${\displaystyle n\times n}$ 複素數 정사각 行列 들의 C* 臺數이다.

可換 C* 臺數 [ 編輯 ]

(恒等元을 갖는) 可換 C* 臺數 ${\displaystyle A}$의 스펙트럼 ( 英語 : spectrum )은 다음과 같은 集合이다. (이 槪念은 C* 臺數의 元素의 스펙트럼 의 槪念과 關係가 없다.)

${\displaystyle {\hat {A}}=\hom(A,\mathbb {C} )\subseteq A^{*}}$

卽, ${\displaystyle A\to \mathbb {C} }$ *-蠢動兄들의 集合이다. *-蠢動兄의 作用素 노름 은 1 以下이므로,

${\displaystyle {\hat {A}}\subseteq \operatorname {cl} \left(\operatorname {ball} _{A^{*}}(0,1)\right)}$

이다. (여기서 右邊은 連續 雙대 空間 ${\displaystyle A^{*}}$의 닫힌 單位 공이다.) 右邊에 弱한-* 位相 을 주고, 左邊을 그 部分 空間으로 看做하면, 바나흐-앨러오글루 整理 에 依하여 ${\displaystyle {\hat {A}}}$는 콤팩트 하우스도르프 空間 을 이룬다. 이 演算은 함자

${\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}\colon \operatorname {comC*Alg} \to \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }}$

를 定義한다. 여기서

• 定義域 은 (恒等元을 갖는) 可換 C* 代數와, *-蠢動兄들의 具體的 範疇 이다.
• 工役 은 콤팩트 하우스도르프 空間 과 連續 函數 들의 具體的 範疇 의 反對 範疇 이다.

反對로, 다음과 같은 함자

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,-)\colon \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {comC^{*}Alg} }$

를 定義할 수 있다.

• 任意의 콤팩트 하우스도르프 空間 ${\displaystyle X}$에 對하여, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$는 複素數 값 連續 函數 들의 空間이다. 이 위에 ∞- 르베그 노름 ${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f|}$ 및 점別 덧셈 · 곱셈 · 複素數 켤레를 附與하면, 이는 可換 C* 臺數를 이룬다.
• 任意의 두 콤팩트 하우스도르프 空間 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$의 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$에 對한 上 은 다음과 같다.

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon {\mathcal {C}}^{0}(Y,\mathbb {C} )\to {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {C} )}$

  ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(f,\mathbb {C} )\colon \phi \mapsto \phi \circ f}$

겔판트 表現 整理 (Гельфанд表現定理, 英語 : Gelfand representation theorem )에 따르면, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {C} )}$와 ${\displaystyle {\hat {\color {White}{A}}}}$ 銜字는 事實 두 範疇 ${\displaystyle \operatorname {comC*Alg} }$와 ${\displaystyle \operatorname {CompHausTop} ^{\operatorname {op} }}$ 사이의 範疇의 童穉 를 定義한다.

特히, 모든 (恒等元을 갖는) 可換 C* 臺數 ${\displaystyle A}$에 對하여

${\displaystyle A\cong {\mathcal {C}}^{0}({\hat {A}},\mathbb {C} )}$

이며, 모든 (恒等元을 갖는) 可換 C* 臺數 ${\displaystyle A}$는 위와 같은 꼴로 (唯一하게) 表現된다.

유계 作用素 臺數 [ 編輯 ]

任意의 複素數 힐베르트 空間 ${\displaystyle V}$ 위의 모든 유계 作用素 들의 集合 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$은 函數의 合成 을 곱셈으로 삼을 때 C* 臺數를 이룬다. (이는 特히 I語 人者 臺數 이다.) 特히, 萬若 ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$가 有限 次元이라면, 이는 ${\displaystyle n\times n}$ 複素數 行列 들로 構成된다.

콤팩트 作用素 臺數 [ 編輯 ]

任意의 複素數 힐베르트 空間 ${\displaystyle V}$ 위의 모든 콤팩트 作用素 들의 集合 ${\displaystyle \operatorname {K} (V,V)}$은 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,V)}$의 닫힌 兩쪽 아이디얼 을 이루며, 이에 對한 몫환

${\displaystyle {\frac {\operatorname {B} (V,V)}{\operatorname {K} (V,V)}}}$

은 C* 臺數를 이룬다. 이를 콜킨 臺數 ( 英語 : Calkin algebra )라고 한다.

應用 [ 編輯 ]

C* 臺數의 理論은 兩者章論 을 數學的으로 嚴密하게 定義하려는 試圖에 使用된다.

겔판트 表現에 依하여, 可換 C* 臺數는 콤팩트 하우스도르프 空間에 對應되며, 萬若 恒等元을 가져야 하는 條件을 省略한다면, 이는 局所 콤팩트 하우스도르프 空間 에 對應된다. 이에 對하여, 一般的 (비街幻日 수 있는) C* 臺數 亦是 一種의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 數學的 分野를 非可換 幾何學 이라고 한다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 바나흐 臺數
• 作用素 K理論

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Arveson, William (1976). 《An invitation to C*-algebras》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 39 . Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-6371-5 . ISBN   978-1-4612-6373-9 . ISSN   0072-5285 . MR   0512360 . Zbl   0344.46123 .  
• Sakai, Shoichiro (1971). 《C*-algebras and W*-algebras》. Classics in Mathematics (英語) 60 . doi : 10.1007/978-3-642-61993-9 . ISBN   978-3-540-63633-5 . ISSN   0071-1136 . MR   1490835 .  
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume I: elementary theory》 . Graduate Studies in Mathematics (英語) 15 . American Mathematical Society. ISBN   978-0-8218-0819-1 .  
• Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. (1997). 《Fundamentals of the theory of operator algebras. Volume II: advanced theory》 . Graduate Studies in Mathematics (英語) 16 . American Mathematical Society. ISBN   978-0-8218-0820-7 .  
• Weaver, Nik (2007年 3月). “Set theory and C*-algebras”. 《Bulletin of Symbolic Logic》 (英語) 13 (1): 1?20. arXiv : math/0604198 . Bibcode : 2006math......4198W . ISSN   1079-8986 . JSTOR   4145599 .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Toeplitz C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Nuclear-C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Spectrum of a C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Character of a C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Trace on a C*-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “AF-algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “C^*-algebra” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Moslehian, Mohammad Sal. “C^*-algebra representation” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-C^*-algebra” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Local C^*-algebra” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “C-star-algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “Separable C*-algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “Nuclear C*-algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “Commutative C*-algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “Crossed product C*-algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “C*-algebras” . 《The Vortex》 (英語). 2011年 7月 5日.  
• “Tensor products of C*-algebras” . 《The Vortex》 (英語). 2011年 7月 9日.