微分幾何學 에서 複素數 微分 形式 (複素數微分形式, 英語 : complex differential form )은 複素多樣體 위에 定義한 微分 形式 이다. (失手) 매끄러운 多樣體 위의 微分 形式 과는 달리, 正則 形式 · 돌보 코호몰로지 等의 槪念을 定義할 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

${\displaystyle n}$次元의 複素多樣體 ${\displaystyle M}$을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 複消化 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M}$는 複素救助 ${\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} M}$, ${\displaystyle J^{2}=-1}$의 固有값 ${\displaystyle \pm \mathrm {i} }$에 따른 固有 空間

${\displaystyle \mathrm {T} ^{\mathbb {C} }M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M}$

으로 分解되며, 이들은 各各 複素數 벡터 다발 을 이룬다. 이 가운데 ${\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M}$은 恒常 正則 벡터 다발 이지만, ${\displaystyle \mathrm {T} ^{-}M}$은 一般的으로 그렇지 않다.

이들에 各各 올別 複素數 雙대 空間 을 取하면, 複素數 벡터 다발

${\displaystyle \mathrm {T} ^{+*}M=\Omega ^{1,0}M}$

${\displaystyle \mathrm {T} ^{-*}M=\Omega ^{0,1}M}$

을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 醉하여 複素數 벡터 다발

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}M} _{p}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}M\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}M} _{q}}$

을 取할 수 있다. (萬若 ${\displaystyle q=0}$이라면 이는 亦是 正則 벡터 다발 이다.) 이 다발의 매끄러운 斷面 을 ${\displaystyle (p,q)}$次 複素數 微分 形式 이라고 한다.

${\displaystyle \Omega ^{p,0}}$은 正則 벡터 다발 이므로, 正則 斷面의 槪念을 定義할 수 있다. ${\displaystyle \Omega ^{p,0}}$의 正則 斷面을 ${\displaystyle p}$次 正則 微分 形式 (正則微分形式, 英語 : holomorphic differential form )이라고 한다.

보다 一般的으로, 複素多樣體 ${\displaystyle M}$ 위의 正則 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle E}$값의 複素數 微分 形式 ( 英語 : ${\displaystyle E}$-valued complex differential form )을 ${\displaystyle \Omega ^{p,q}\otimes _{\mathbb {C} }E}$의 매끄러운 斷面 으로 定義할 수 있다. 마찬가지로, ${\displaystyle E}$값의 ${\displaystyle p}$次 正則 微分 形式 은 正則 벡터 다발 ${\displaystyle \Omega ^{p,0}\otimes _{\mathbb {C} }E}$의 正則 斷面이다.

局所 座標系로의 表現 [ 編輯 ]

局所的으로, ${\displaystyle M}$의 任意의 點의 近方 ${\displaystyle U}$에 複素數 座標 ${\displaystyle z^{i},{\bar {z}}^{i}}$ ( ${\displaystyle i=1\dots n}$)를 잡을 수 있다. 이에 따라 失手 多樣體와 마찬가지로 局所的으로 複素數 微分 形式

${\displaystyle \mathrm {d} z^{i}\in \Omega ^{1,0}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {z}}^{i}\in \Omega ^{0,1}(U)\qquad (i\in \{1,\dotsc ,n\})}$

를 定義할 수 있다. 그렇다면, 一般的인 複素數 微分 形式은 局所的으로

${\displaystyle \alpha =\sum _{i,j,\dotsc ,k,l,\dotsc }f_{ij\dotso kl\dotso }\mathrm {d} z^{i}\wedge \mathrm {d} z^{j}\wedge \dotsb \mathrm {d} {\bar {z}}^{k}\wedge \mathrm {d} {\bar {z}}^{l}\wedge \dotsb }$

${\displaystyle f_{ij\dotso kl\dotso }\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U,\mathbb {C} )}$

꼴의 形式을 取한다. 여기서 ${\displaystyle \mathrm {d} z}$가 ${\displaystyle p}$ 個, ${\displaystyle \mathrm {d} {\bar {z}}}$가 ${\displaystyle q}$個 있으면 이를 ${\displaystyle (p,q)}$-形式으로 부른다.

局所 座標系로는 p 次 正則 微分 形式 ${\displaystyle \alpha }$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,\mathrm {d} z^{I}}$

여기서 ${\displaystyle f_{I}\colon U\to \mathbb {C} }$는 正則 函數 다. 卽, ${\displaystyle p}$次 正則 微分 形式은

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$

을 滿足하는 ${\displaystyle (p,0)}$次 複素數 微分 形式 ${\displaystyle \alpha }$이다.

性質 [ 編輯 ]

失手 微分 形式과의 關係 [ 編輯 ]

複素多樣體 ${\displaystyle M}$은 複素救助 를 잊으면 매끄러운 多樣體 이므로, 그 위에 (失手) 微分 形式 을 定義할 수 있다. 이 境遇

${\displaystyle (\mathrm {T} ^{*}M)^{\mathbb {C} }=\Omega ^{1,0}M\oplus \Omega ^{0,1}M}$

이므로,

${\displaystyle \Omega ^{k}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\Omega ^{k}(M;\mathbb {C} )=\bigoplus _{q=0}^{k}\Omega ^{k-q,q}(M)}$

이 된다.

이 境遇, 外微分

${\displaystyle \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$

은 돌보 複合體의 追加 等級에 따라서 分解되는데, 이 境遇 恒常

${\displaystyle \mathrm {d} ^{\mathbb {C} }\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)\oplus \Omega ^{p+1,q}(M)}$

임을 보일 수 있다. 卽,

${\displaystyle \partial \colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p+1,q}(M)}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\colon \Omega ^{p,q}(M)\to \Omega ^{p,q+1}(M)}$

로 定義하면,

${\displaystyle \mathrm {d} =\partial +{\bar {\partial }}}$

이다. 이 두 微分 演算子 ${\displaystyle \partial }$과 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$을 돌보 演算子 (Dolbeault演算子, 英語 : Dolbeault operator )라고 부른다.

局所 座標系로는 돌보 演算子를 外微分 과 類似하게 定義할 수 있다. 卽 ${\displaystyle (p,q)}$-形式 ${\displaystyle \alpha }$의 境遇,

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

그 돌보 演算子는 다음과 같다.

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

여기서 ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$는 多重指標 다.

돌보 코호몰로지 [ 編輯 ]

複素多樣體 의 돌보 演算子들은 다음과 같은 恒等式들을 만족시킨다.

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0}$

따라서 ${\displaystyle \partial }$ 또는 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$로서 코호몰로지 를 定義할 수 있다. 이 가운데, ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$로 定義되는 것은 ${\displaystyle \Omega ^{p,0}}$의 正則 斷面의 層의 코호몰로지를 計算하며, 反對로 ${\displaystyle \partial }$로 定義되는 것은 ${\displaystyle \Omega {0,q}}$의 反正則 斷面의 層의 코호몰로지를 計算한다. 普通 正則 函數 및 正則 斷面의 槪念을 使用하므로, 普通 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$로 定義되는 코호몰로지를 使用한다.

卽, 다음과 같은, 複素數 벡터 空間 (의 層 )으로 構成된 사슬 複合體 를 생각하자.

${\displaystyle \Omega ^{p,0}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{0}}{\to }}\Omega ^{p,1}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{1}}{\to }}\Omega ^{p,2}{\stackrel {{\bar {\partial }}_{2}}{\to }}\cdots }$

그 코호몰로지는 다음과 같이 ${\displaystyle (p,q)}$-形式의 同値類 空間이다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}=\ker {\bar {\partial }}_{q}/\operatorname {im} \,{\bar {\partial }}_{q-1}}$

이를 돌보 코호몰로지 ( 英語 : Dolbeault cohomology )라고 부른다. 돌보 코호몰로지 空間의 (複素數 벡터 空間 ) 次元을 호지 수 ( 英語 : Hodge number )라고 부른다. 卽 호지 수 ${\displaystyle h^{p,q}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle h^{p,q}=\dim \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}\in \mathbb {N} \sqcup \{\infty \}}$

호지 數는 ( 複素數 벡터 空間 의 次元이므로) 音이 아닌 整數 또는 無限大이다. 萬若 複素多樣體 가 콤팩트 하면 호지 數는 有限하다.

호지 數는 드람 코호몰로지 의 次元인 베티 수 ${\displaystyle b^{k}}$에 對應하며, 特히 다음이 成立한다.

${\displaystyle b^{k}(M)=\sum _{p+q=k}h^{p,q}(M)}$

${\displaystyle n}$次元 複素多樣體는 總 ${\displaystyle (n+1)^{2}}$個의 호지 수

${\displaystyle h^{p,q}\qquad (p,q\in \{0,\dotsc ,n\})}$

를 가진다. 이 가운데 ${\displaystyle h^{0,0}=b^{0}}$은 ${\displaystyle M}$의 連結 成分 의 數이다. 또한, 콤팩트 連結 複素多樣體 의 境遇 세르 雙大聲

${\displaystyle \operatorname {H} ^{q}(V,{\mathcal {O}})\cong \operatorname {H} ^{q}(V,\Omega ^{n,0})^{*}}$

에 依하여

${\displaystyle h^{0,q}=h^{n,q}}$

가 成立한다.

萬若 ${\displaystyle M}$이 켈러 多樣體의 構造를 가질 境遇, 恒常

${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}}$

가 成立한다.

層 코호몰로지 [ 編輯 ]

돌보 複合體

${\displaystyle 0\to \Omega ^{p,0}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(M){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,2}(M)\to \dotsb }$

는 纖細層 으로 構成되며, ${\displaystyle p}$次 正則 斷面들의 層 의 分解를 이룬다. 卽, 그 코호몰로지는 ${\displaystyle p}$次 正則 斷面의 層의 層 코호몰로지 와 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{\bar {\partial }}^{p,q}(M)\cong \operatorname {H} ^{q}(M,\Omega ^{p,0})}$

이를 돌보 整理 ( 英語 : Dolbeault's theorem )라고 한다. 特히, 萬若 ${\displaystyle p=0}$일 境遇, 0次 正則 微分 形式은 正則 函數 이므로, 돌보 複合體는 構造層 의 코호몰로지를 計算한다.

이는 失手 微分 形式의 境遇 드람 코호몰로지 가 常數層 ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}}$의 纖細한 分解를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 一般的으로, 任意의 正則 벡터 다발 ${\displaystyle E}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 複合體

${\displaystyle 0\to \Gamma ^{\infty }(E)=\Omega ^{0,0}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,1}(M;E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{0,2}(M;E)\to \dotsb }$

는 ${\displaystyle E}$의 層 코호몰로지 의, 纖細層 으로 構成된 分解를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 ${\displaystyle E}$의 層 코호몰로지와 一致한다. ( ${\displaystyle p>0}$인 境遇는 正則 벡터 다발 ${\displaystyle E'=E\otimes _{\mathbb {C} }\Omega ^{p,0}}$의 層 코호몰로지이므로, ${\displaystyle p=0}$인 境遇로 歸結된다.) 例를 들어

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}(E)=\ker({\bar {\partial }}\upharpoonright \Omega ^{0,0}(M;E))}$

는 ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$人 ${\displaystyle E}$ 값의 (0,0)車 微分 形式의 複素數 벡터 空間 , 卽 ${\displaystyle E}$의 正則 斷面의 複素數 벡터 空間 이다.

예 [ 編輯 ]

리만 區 ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}$ 위의 모든 正則 벡터 다발 은 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle \bigoplus _{i}{\mathcal {O}}(d_{i})}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$는 ${\displaystyle d}$車의 唯一한 正則 線다발이다. 이는 複素數 1次元이므로 ${\displaystyle \Omega ^{1,0}}$은 標準 線다발 과 같으며, 이는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)}$이다. ( 리만-로흐 整理 에 依하여, 종수 ${\displaystyle g}$의 리만 曲面 의 標準 線다발 의 次帥는 ${\displaystyle 2g-2}$이며, 리만 구는 ${\displaystyle g=0}$인 境遇이다.)

리만-로흐 整理 에 依하여,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {CP} ^{1})=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=0}$

이다. 卽,

• ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}$ 위에 大逆的으로 定義되는 0次 正則 微分 形式(卽, 正則 函數 )은 常數 函數 밖에 없다.
• ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}$ 위에는 大逆的으로 定義되는 1次 正則 微分 形式이 存在하지 않는다.

마찬가지로,

${\displaystyle \operatorname {H} ^{1,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(2))^{*}\cong \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0,1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})=\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(0))=\operatorname {H} ^{0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1},{\mathcal {O}}(-2))^{*}=\operatorname {H} ^{1,0}(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{1})^{*}=0}$

이다. 여기서 세르 雙大聲 을 使用하였다.

勿論, ${\displaystyle \operatorname {\mathbb {C} P} ^{1}}$ 위의 (0,0)車 및 (0,1)車 및 (1,0) 次 및 (1,1)車 複素數 微分 形式들의 空間은 各各 無限 次元의 複素數 벡터 空間 이다.

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Holomorphic form” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex form” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Del bar operator” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Dolbeault cohomology” . 《nLab》 (英語).  
• “Dolbeault complex” . 《nLab》 (英語).  
• “Dolbeault-Dirac operator” . 《nLab》 (英語).