表現可能 함자

範疇論 에서 表現可能 함자 (表現可能函子, 英語 : representable functor )는 어떤 요네다 함자 와 自然同型人 함자 이다.

正義 [ 編輯 ]

局所的으로 작은 範疇 ${\mathcal {C}}$ 에서 集合의 範疇로 가는 함자 $F$ 의 表現 $(X,\Phi )$ 은 다음과 같은 順序雙이다.

$X\in {\mathcal {C}}$ 는 ${\mathcal {C}}$ 의 對象이다.
$\Phi \colon \hom(X,-)\implies F$ 는 自然同型 이다.

表現可能 함자 는 적어도 하나의 表現이 存在하는 銜字이다.

局所的으로 작은 範疇 ${\mathcal {C}}$ 에서 集合의 範疇로 가는 함자 $F$ 의 普遍元素 $(X,u)$ 는 다음과 같은 順序雙이다.

$X\in {\mathcal {C}}$ 는 ${\mathcal {C}}$ 의 對象이다.
$u\in F(X)$ $u\in F(X)$ 는 다음 條件을 만족시키는 元素이다.
- 任意의 $Y\in {\mathcal {C}}$ 및 $v\in F(Y)$ 에 對하여, $Ff\colon u\mapsto v$ 人唯一한 思想 $f\colon X\to Y$ 가 存在한다.

함자의 表現들은 그 普遍元素와 一對一對應 한다. 表現 $(X,\Phi )$ 에 對應하는 普遍元素 $(X,u)$ 는 다음과 같다.

u=\Phi _{X}(\operatorname {id} _{X})

反對로, 普遍元素 $(X,u)$ 에 對應하는 表現 $(X,\Phi )$ 는 다음과 같다.

\Phi _{Y}(f)=(Ff)(u)\qquad \forall f\in \hom(X,Y)

性質 [ 編輯 ]

주어진 함자의 表現들은 (萬若存在한다면) 모두 서로 標準的으로 同型 이다. 卽, $F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 의 두 個의 表現 $(X_{1},\Phi _{1})$ , $(X_{2},\Phi _{2})$ 에 對하여,

\Phi _{1}^{-1}\circ \Phi _{2}=\hom(\phi ,-)

人唯一한 $\phi \in \hom(X_{1},X_{2})$ 가 存在한다.

예 [ 編輯 ]

${\mathcal {P}}\colon \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$ 가 集合을 그 冪集合 으로 對應시키고, 函數를 그 逆函數 $f^{-1}\colon S\mapsto \{x\colon f(x)\in S\}$ 로 對應시키는 銜字라고 하자. 그렇다면 $(X,u)=(\{0,1\},\{1\})$ 은 普遍元素를 이룬다.

臺數救助多樣體 의 範疇 ${\mathcal {V}}$ 의 境遇, 恒常忘却 함자 $F\colon {\mathcal {V}}\to \operatorname {Set}$ 및 그 首班 함자 인 自由 함자 $G\colon \operatorname {Set} \to {\mathcal {V}}$ 가 存在한다. 이 境遇, 普遍元素는 $(G(\{\bullet \}),\bullet )$ 이 된다. 여기서 $\{\bullet \}$ 은 크기가 1人任意의 集合이다.

位相空間 의 範疇 $\operatorname {Top}$ 의 忘却 함자 $F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}$ 의 普遍元素는 $(\{\bullet \},\bullet )$ 이다. 여기서 $\{\bullet \}$ 은 한元素空間 이다.