代數幾何學 에서 標準 線다발 (標準線다발, 英語 : canonical line bundle ) 또는 標準 船速 (標準線束)은 켈러 微分 의 層의 最高車 外部 거듭제곱 이다.

正義 [ 編輯 ]

代數的으로 닫힌 체 위의 ${\displaystyle n}$次元 非特異 臺數多樣體 ${\displaystyle X}$의 標準 線다발 ${\displaystyle \omega _{X}}$은 다음과 같은 街礫層 이다. ^{[1] :180?181}

${\displaystyle \omega _{X}=\bigwedge ^{n}\Omega _{X/k}}$

여기서 ${\displaystyle \Omega _{X/k}}$는 켈러 微分 層이다. 標準 線다발에 對應하는 因子類 를 標準類 (標準類, 英語 : canonical class )라고 하고, 標準類에 屬하는 因子를 標準 人者 (標準因子, 英語 : canonical divisor ) ${\displaystyle K_{X}}$라고 한다.

萬若 ${\displaystyle X}$가 特異點을 가지지만 正規 臺數多樣體 인 境遇, 매끄러운 軌跡( 英語 : smooth locus ) ${\displaystyle U\subset X}$가 存在한다. 이 境遇, ${\displaystyle X}$의 標準 인자는 ${\displaystyle U}$의 標準 人者로 定義한다. 보다 一般的으로, ${\displaystyle X}$가 S ₂ 條件(餘次元 2까지 코언-매콜리 條件 이 成立)을 만족시키며 고런스틴 스킴 이라면, 위와 같이 標準 因子를 定義할 수 있다.

標準 線다발의 役을 反標準 線다발 (反標準線다발, 英語 : anticanonical line bundle ) ${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$이라고 한다. 反標準類 (反標準類, 英語 : anticanonical class ) 및 反標準 人者 (反標準因子, 英語 : anticanonical divisor )는 이에 對應하는 因子(류)이다.

添加 公式 [ 編輯 ]

添加 公式 (添加公式, 英語 : adjunction formula )은 어떤 部分 臺數多樣體의 標準 線다발과 全體 空間의 標準 線다발 사이의 關係를 나타내는 公式이다.

非特異 臺數多樣體 ${\displaystyle X}$ 위의 人者 ${\displaystyle D}$에 對하여, 다음과 같은 添加 公式 이 成立한다.

${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$

卽, 線다발로는 다음과 같다. ${\displaystyle D}$로 定義되는 部分多樣體를 ${\displaystyle Y}$, 賣場 思想을 ${\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X}$라고 하면, 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}({\mathcal {K}}_{X}\otimes {\mathcal {O}}(D))}$

餘次元이 2 以上일 境遇에도 類似한 添加 公式이 成立한다. 非特異 臺數多樣體 ${\displaystyle X}$의 닫힌 非特異 部分 臺數多樣體 ${\displaystyle \iota \colon Y\hookrightarrow X}$가 주어졌고, 이에 對應하는 아이디얼 層 이 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$라고 하자. 이 境遇, ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$는 ${\displaystyle Y}$의 자리스키 雙大法多發 이다. 이 境遇, 다음과 같은 아벨 軍 層 의 짧은 完全熱 이 存在한다. ^{[1] :182}

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to \iota ^{*}T^{*}X\to T^{*}Y\to 0}$

여기서 ${\displaystyle T^{*}}$는 공邊椄多發 이다. 完全熱意 모든 港에 最高車 外部 거듭제곱 을 取하면, 다음을 얻는다. ^{[2] :146?147 [1] :182, Proposition II.8.20}

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{Y}=\iota ^{*}{\mathcal {K}}_{X}\otimes \left(\det({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})\right)^{\vee }}$

여기서 ${\displaystyle (-)^{\vee }}$는 雙대 다발을 뜻한다.

예 [ 編輯 ]

複素數體 위의 ${\displaystyle n}$次元 非特異 臺數多樣體 의 境遇, 標準 線다발은 行列式 다발 ( 英語 : determinant bundle )이라고 하며, ${\displaystyle n}$次 正則 微分 形式 들의 線다발 이다. ( 單一 連結 ) 칼라比-야우 多樣體 의 境遇, 標準 線다발은 自明하다. 罷駑 多樣體 의 境遇, 反標準 線다발은 豐富한 線다발 이다.

리만 曲面의 標準 線다발 [ 編輯 ]

리만 曲面 (=1次元 複素數 非特異 臺數多樣體) ${\displaystyle C}$ 위의 標準 線다발은 正則 공邊椄多發 ${\displaystyle \Omega _{C}}$와 같으며, 그 次帥는 다음과 같다.

${\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (C)}$

特히, ${\displaystyle g\geq 2}$인 境遇 이는 效果的 人者 를 이룬다. 이 境遇, ${\displaystyle \omega _{C}}$의 ${\displaystyle g}$個의 斷面들은 有利 史上 ${\displaystyle C\to \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{g-1}}$을 定義한다. 이 琉璃 思想의 賞은 私營 曲線을 이루며, 이를 標準 曲線 ( 英語 : canonical curve )이라고 한다.

萬若 ${\displaystyle C}$가 超楕圓 曲線 일 境遇, 그 標準 曲線은 有利 曲線 이며, 琉璃 思想은 두 겹 被覆 空間 을 이룬다. 例를 들어, ${\displaystyle C}$의 종수가 2이며, ${\displaystyle C}$가 다음과 같은 (아핀) 方程式으로 定義된다고 하자.

${\displaystyle y^{2}=P(x)}$

여기서 ${\displaystyle P}$는 6次 多項式이다. 그렇다면, 이 위의 第1種 微分(=(1,0)車 複素數 微分 形式 )은 다음과 같이 두 個가 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {P(x)}}}\,dx,\;{\frac {x}{\sqrt {P(x)}}}\,dx}$

이에 따라서, 標準 曲線은

${\displaystyle (x,y)\mapsto x\in \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$

임을 알 수 있다. 이는 勿論 두 겹 被覆 空間 이다.

萬若 ${\displaystyle C}$가 超楕圓 曲線이 아닌 종수 3 以上의 曲線日 境遇, ${\displaystyle C}$의 標準 曲線은 ${\displaystyle C}$와 同型이다. 例를 들어, 다음과 같다.

• 종수 3人 境遇, 標準 曲線은 4次 平面 曲線이다.
• 종수 4人 境遇, 標準 曲線은 2次 曲面 과 3次 曲面의 交集合이다.
• 종수 5人 境遇, 標準 曲線은 세 個의 2次 超曲面 의 交集合이다.

射影 空間 [ 編輯 ]

代數的으로 닫힌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}}$에 對하여, 다음과 같은 짧은 完全熱 이 存在한다. ^{[1] :176, Theorem II.8.13} 이를 오일러 完全熱 이라고 한다.

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(0)\to 0}$

모든 港에 最高車 外部 거듭제곱을 取하면, 다음을 얻는다. ^{[1] :182, Example II.8.20.1}

${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} _{K}^{n}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-n-1)}$

射影 空間 속의 超曲面 [ 編輯 ]

${\displaystyle n}$次元 射影 空間 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ 속에서, 動車多項式 들 ${\displaystyle P_{i}}$으로 定義되는 超曲面 ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$들의 完全 交叉( 英語 : complete intersection )

${\displaystyle Y=\bigcap _{i=1}^{\operatorname {codim} Y}Y_{i}}$

를 생각하자. 이 境遇,

${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} ^{n}}={\mathcal {O}}(-n-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(Y_{i})=\deg P_{i}}$

이므로, 添加 公式에 따라서 ${\displaystyle Y}$의 標準 線다발은 다음과 같다.

${\displaystyle \omega _{Y}={\mathcal {O}}\left(\sum _{i}\deg P_{i}-n-1\right)}$

萬若

${\displaystyle \sum _{i}\deg P_{i}=n+1}$

이라면 標準 線다발은 自明하며, 이 境遇 (非特異 臺數多樣體라면) ${\displaystyle Y}$는 칼라比-야우 多樣體 를 이룬다.

特히, 射影 平面 속의 ${\displaystyle d}$車 代數 曲線 ${\displaystyle C\subset \mathbb {P} ^{2}}$의 標準 線다발은 다음과 같다. ^{[1] :361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3}

${\displaystyle \omega _{C}={\mathcal {O}}(d-3)}$

${\displaystyle d}$次 平面 代數 曲線의 境遇

${\displaystyle \deg {\mathcal {O}}(1)=d}$

이므로,

${\displaystyle \deg \omega _{C}=d(d-3)}$

이다. 리만-로흐 整理 에 따라서

${\displaystyle \deg \omega _{C}=2g-2=-\chi (\Sigma )}$

이므로, 다음과 같은 종수-次數 公式 (種數次數公式, 英語 : genus?degree formula )을 얻는다.

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$

二次 曲面 위의 曲線의 종수 [ 編輯 ]

添加 公式을 使用하여 二次 曲面 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ 속의 曲線의 종수를 計算할 수 있다. ^{[1] :362, Example V.1.5.2} 曲線 ${\displaystyle C}$의 次數가 ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$라고 하자. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$의 標準 線다발의 次帥는 ${\displaystyle (-2,-2)}$이다. 卽, ${\displaystyle C}$의 次帥는 ${\displaystyle (d_{1}-2,d_{2}-2)}$와 ${\displaystyle (d_{1},d_{2})}$의 交叉곱 이다. 二次 平面 위의 交叉곱은 다음과 같다. ^{[1] :361, Example V.1.4.3}

${\displaystyle (a,b).(c,d)=ad+bc}$

따라서, 다음이 成立한다.

${\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}-2)+d_{2}(d_{1}-2)}$

卽,

${\displaystyle g=d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1}$

이다.

各州 [ 編輯 ]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 리만-로흐 整理
• 複素數 微分 形式
• 人者 (代數幾何學)

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Canonical class” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Canonical curve” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Canonical imbedding” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Adjunction theory” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Noether-Enriques theorem” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Canonical bundle” . 《nLab》 (英語).  
• “The canonical line bundle of a normal variety” (英語). Math Overflow.