一般 相對性 理論 에서 토브-너트 空間 (-空間, 英語 : Taub?NUT space [t?ːb n?t spe?s] )은 아인슈타인 方程式 의 4次元 眞公害이며, 特히 4次元 超켈러 多樣體 利子 漸近 局所 平坦 空間 이다. 이 해는 여러 매우 特異한 性質들을 가진다. ^[1]

正義 [ 編輯 ]

토브-너트 空間은 4次元 非콤팩트 超켈러 多樣體 이며, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$와 微分 同型 이다. ^{[2] :§2.3} 이는 다양한 方法으로 構成할 수 있다.

기번스-호킹 假說 풀이를 通한 構成 [ 編輯 ]

그 위의 計量은 기번스-호킹 假說 풀이 로 다음과 같이 주어진다. 于先, 座標

${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} /(4\pi \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle {\vec {r}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

를 定義하자. 그렇다면, 토브-너트 空間의 計量은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V(|{\vec {r}}|)\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+{\frac {1}{V(|{\vec {r}}|)}}(\mathrm {d} \tau +\omega )^{2}}$

${\displaystyle V(|{\vec {r}}|)=L+{\frac {1}{2|{\vec {r}}|}}}$

여기서

${\displaystyle \omega ={\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\in \Omega ^{1}(\mathbb {R} ^{3})}$

는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ 위의 1次 微分 形式 가운데

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\star \mathrm {d} V}$

인 것이다. 이는 事實 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$ 위의 1次 微分 形式 으로 擴張될 수 있다. ${\displaystyle L}$과 ${\displaystyle M}$은 常數이다. 여기서 ${\displaystyle L}$은 無限大에서 호프 원다발의 올의 크기 ${\displaystyle 4\pi /{\sqrt {L}}}$를 決定하는 常數이다.

一般 相對性 理論 에서는 이 해를 로런츠 計量 釜戶首 −+++로 解釋的 連續 을 取할 수 있다. 이는 ${\displaystyle \tau \mapsto \mathrm {i} t}$의 置換에 該當한다.

보다 一般的으로, ${\displaystyle V}$를

${\displaystyle V({\vec {r}})=L+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2|{\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}|}}}$

로 置換한다면, 여러 個의 토브-너트들이 共存하는 多重 토브-너트 空間 ( 英語 : multi-Taub?NUT space )을 얻는다. 이는 A型 漸近 局所 平坦 空間 에 該當한다.

超켈러 縮小를 통한 構成 [ 編輯 ]

토브-너트 空間은 심플렉틱 몫空間 演算을 통해 定義할 수 있다. ^{[3] [2] :§2.5}

具體的으로, 超켈러 空間

${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times {\frac {\mathbb {R} }{\beta \mathbb {Z} }}}$

위에서 U(1) 의 作用을 생각하자. 具體的으로, 平坦한 유클리드 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ 위의 適切한 座標系 ${\displaystyle ({\vec {r}}=(r_{1},r_{2},r_{3}),\,\psi )}$에서 平坦한 리만 計量은 기번스-호킹 假說 풀이 로 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+|{\vec {r}}|\left(\mathrm {d} \psi +{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\mathrm {d} }}r\right)}$

여기서 ${\displaystyle \psi \sim \psi +4\pi }$이며,

${\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$

은

${\displaystyle \epsilon _{i}{}^{jk}\partial _{j}\omega _{k}=\partial _{i}{\frac {1}{|{\vec {r}}|}}}$

을 따른다. 卽, 微分 形式 表記法으로는

${\displaystyle \omega =\omega _{i}\mathrm {d} r^{i}}$

${\displaystyle \star \mathrm {d} \omega =\mathrm {d} {\frac {1}{|{\vec {r}}|}}}$

이다. 마찬가지로, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}$ 위의 座標를 ${\displaystyle ({\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\,\theta )}$라고 하자. 그 위의 리만 計量 은

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=L\mathrm {d} {\vec {x}}^{2}+L^{-1}\mathrm {d} \theta ^{2}}$

${\displaystyle \beta =4\pi L^{-1/2}}$

이며, ${\displaystyle \theta \sim \theta +4\pi }$이다. 이 위에 U(1)의 作用은

${\displaystyle \exp(\mathrm {i} t)\colon (\psi ,\theta )\mapsto (\psi +t,\theta +t)}$

이며, 超켈러 運動量 思想은

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\vec {r}}+{\vec {x}}}$

이다.

超켈러 運動量 思想에 對한 0의 原狀 은 ${\displaystyle {\vec {r}}=-{\vec {x}}}$에 該當한다. 卽, 게이지 不變 座標 ${\displaystyle \chi =\psi -\theta }$를 定義하며 原像의 座標는

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})\left(\mathrm {d} \theta +{\frac {|{\vec {r}}|}{|{\vec {r}}|+L^{-1}}}\left(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\right)\right)^{2}}$

${\displaystyle V({\vec {r}})={\frac {1}{|{\vec {r}}|}}+L}$

이다. U(1) 게이지 變換에 對한 同値類를 取하려면, 킬링 벡터장 ${\displaystyle \partial /\partial \theta }$에 對한 直交 成分을 取해야 하므로, 마지막 港을 省略하는 것에 該當한다. 卽, 具體的 計量

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=V({\vec {r}})\mathrm {d} {\vec {r}}^{2}+V({\vec {r}})^{-1}(\mathrm {d} \chi +{\vec {\omega }}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}})^{2}+(r+\lambda ^{2})}$

을 얻는다.

南 方程式을 通한 構成 [ 編輯 ]

토브-너트 空間은 활 그림( 英語 : bow diagram )으로 構成할 수 있다. ^{[4] :§3} 具體的으로, 이에 對應되는 활은 다음과 같다.

• 하나의 區間과 하나의 邊으로 構成된다.
• 區間의 길이는 ${\displaystyle L}$ ( 기번스-호킹 假說 풀이 에서 퍼텐셜의 常數項)이다.
• 區間 위의 벡터 다발 의 次元은 1이다. (卽, 線다발 이다.)

卽, 그 해는 南 方程式

${\displaystyle T_{0},T_{1},T_{2},T_{3}\colon [-L/2,L/2]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}-\mathrm {i} T_{0}\right){\vec {T}}(s)=0}$

및 複素數

${\displaystyle B_{0},B_{1}\in \mathbb {C} }$

로 定義된다. ${\displaystyle B_{0},B_{1}}$은 線다발 의, 區間 兩끝의 올 사이의 (雙方向의) 線型 變換 에 該當한다.

이 위에는 게이지 軍

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }([-L/2,L/2],\operatorname {U} (1))}$

이 作用한다. 게이지 軍의 元素

${\displaystyle g\colon [-L/2,L/2]\to \operatorname {U} (1)}$

는 다음과 같이 作用한다.

${\displaystyle T_{0}\mapsto g^{-1}T_{0}g+\mathrm {i} g^{-1}{\dot {g}}}$

${\displaystyle T_{i}\mapsto g^{-1}T_{i}g}$

${\displaystyle B_{0}\mapsto g^{-1}(-L/2)B_{0}g(l/2)}$

${\displaystyle B_{1}\mapsto g^{-1}(L/2)B_{0}g(-l/2)}$

이를 使用하여, 게이지 퍼텐셜 ${\displaystyle T_{0}}$을 常數 函數 로 놓을 수 있다. 그렇다면, 南 方程式 에 따라서 ${\displaystyle T_{1},T_{2},T_{3}}$ 亦是 常數 函數 가 된다.

${\displaystyle \underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}} _{(T_{0},T_{1},T_{2},T_{3})}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{4}} _{B_{0},B_{1}}/\!/\!/\operatorname {U} (1)}$

卽, 이는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{1}}$의 超켈러 縮小로 歸結된다.

性質 [ 編輯 ]

漸近적 形態 [ 編輯 ]

토브-너트 計量은 漸近 局所 平坦 空間 이다. 卽, ${\displaystyle |{\vec {r}}|\to \infty }$ 極限에서, 토브-너트 計量은 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{3}}$의 꼴을 가진다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$의 無限인 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ 위에서, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$은 호프 올뭉치 의 꼴을 하며, 따라서 等角 無限의 位相은 事實 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$가 된다. 이 境遇, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$은 無限大에서 有限한 크기를 갖는다.

多重 토브-너트 空間도 마찬가지로 漸近 局所 平坦 空間 을 이루며, 이 境遇 一般的으로 等各 無限은

${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)={\frac {\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}\colon |z|^{2}+|w|^{2}=1\}}{(z,w)\sim (tz,tw)\quad (t^{n}=1)}}}$

의 꼴이다. 이들은 亦是 올多發

${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {S} ^{3}/\operatorname {Cyc} (n)\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}}$

${\displaystyle [(z,w)]\mapsto (|z|^{2}-|w|^{2},2z{\bar {w}})}$

를 構成한다.

極限 [ 編輯 ]

${\displaystyle L\to 0}$ 極限을 醉하면, 이 해들은 漸近 局所 유클리드 空間 을 이룬다. 이 境遇 마찬가지로 ALE 分類가 存在하며, 가장 簡單한 境遇는 에구치-핸슨 空間 이다.

對稱 [ 編輯 ]

토브-너트 空間의 等距離 對稱軍은

${\displaystyle \operatorname {U} (2)\cong {\frac {\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}}$

이다. ^{[5] :296, §3} 여기서 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$는

${\displaystyle \operatorname {SO} (4)={\frac {\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}{\operatorname {Cyc} (2)}}}$

의 한 部分群 이며, 具體的으로 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}$의 SO(4) 回戰 가운데 ${\displaystyle \omega }$를 保存하는 것들이다. 卽, 토브-너트 空間은 4個의 킬링 벡터장 을 갖는다.

이 對稱軍은 토브-너트 空間 위에 秋移籍 作用 을 가지므로, 토브-너트 空間은 同質 空間( 英語 : homogeneous space )이다. 卽, 모든 點이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 空間은 등방적( isotropic )이지 못하다. 卽, 주어진 點에서부터 서로 다른 方向들이 다르게 보인다.

SO(2) 對稱 아래서, 토브-너트 空間은 하나의 고정점을 가지며, 이는 固定點의 分類에서 (1,1)車 너트 에 該當한다. ^[5] 反對로, 볼트 는 存在하지 않는다.

一般的 多衆 토브-너트 空間의 對稱軍은 ${\displaystyle N\geq 3}$일 때 O(2)이며, 이에 對한 固定點들은 모두 너트 이다. 이는 기번스-호킹 假說 풀이 의 퍼텐셜의 ${\displaystyle N}$個의 特異點들에 該當한다. ${\displaystyle N=2}$일 때는 對稱軍은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 通過하는 軸을 中心으로 하는 回轉이다.

歷史 [ 編輯 ]

에이브러햄 해스켈 토브( 英語 : Abraham Haskel Taub , 1911?1999)가 1951年에 發見하였다. ^{[6] :§7 [7]} 에즈라 시어도어 뉴먼( 英語 : Ezra Theodore Newman , 1929?)과 루이스 貪부리노( 英語 : Louis A. Tamburino ), 시어도어 韻티( 英語 : Theodore Unti )가 1963年에 토브의 害를 特異點을 넘겨 延長시켰다. ^[8]

로런츠 釜戶首의 토브-너트 空間은 여러 奇妙한 性質을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너( 英語 : Charles W. Misner , 1932?)는 “토브-너트 空間은 거의 모든 命題에 對한 例外”라는 題目의 論文을 쓰기도 했다. ^[9]

多重 토브-너트 空間은 스티븐 호킹 이 1977年에 發見하였다. ^{[10] [11]}

應用 [ 編輯 ]

토브-너트 空間은 超켈러 多樣體 이므로, 끈 理論 에서 매우 重要한 役割을 한다. 特히, M理論 에서 D6-膜 은 토브-너트 空間으로 表現된다. 具體的으로, ⅡA語 超끈 理論에서, 어떤 7次元 준 리만 多樣體 ${\displaystyle M}$이 주어졌을 때, ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{3}}$에서 ${\displaystyle M}$에 1個의 D6-膜 을 감은 狀態는 M理論 을 ${\displaystyle M\times \operatorname {TN} }$ 위에 縮小化 한 것에 該當한다. ^{[2] :§3.4.3} (여기서 TN은 토브-너트 空間을 뜻한다.) 여러 個의 D6-막을 감은 狀態는 多衆 토브-너트 空間에 該當한다.

로런츠 計量 釜戶首의 토브-너트 空間은 一般 相對性 理論 의 해로 看做할 수 있다. 이 境遇, 이 해는 여러 奇妙한 性質을 가진다. ^{[12] :567?568 [9]}

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Taub-NUT space” . 《nLab》 (英語).