環論 에서 텐서곱 ( 英語 : tensor product )銀 두 雙家君 또는 家君 또는 結合 臺數 에 對하여 定義할 수 있는 이항 演算 이다.

正義 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• 可換環 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$- 結合 臺數 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$
• ${\displaystyle (A,B)}$- 雙家君 (= ${\displaystyle A\otimes _{K}B^{\operatorname {op} }}$- 왼쪽 家君 ) ${\displaystyle _{A}M_{B}}$
• ${\displaystyle (B,C)}$- 雙家君 (= ${\displaystyle B\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }}$- 왼쪽 家君 ) ${\displaystyle _{B}N_{C}}$

그렇다면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$의 텐서곱 은 다음과 같이 構成되는 ${\displaystyle (A,C)}$- 雙家君 이다.

1. 곱集合 ${\displaystyle M\times N}$ 위의 自由 ${\displaystyle (A,C)}$- 雙家君 ${\displaystyle _{A}X_{C}}$를 생각하자.
2. ${\displaystyle X}$ 위에 다음과 같은 이항 關係 ${\displaystyle \sim _{0}}$로 生成되는 童穉 關係 ${\displaystyle \sim }$를 생각하자.
   ${\displaystyle (m,n)+(m',n)\sim _{0}(m+m',n)\qquad (m,m'\in M,\;n\in N)}$
   ${\displaystyle (m,n)+(m,n')\sim _{0}(m,n+n')\qquad (m\in M,\;n,n'\in N)}$
   ${\displaystyle a(m,n)\sim _{0}(am,n)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;a\in A)}$
   ${\displaystyle (m,n)c\sim _{0}(m,nc)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;c\in C)}$
   ${\displaystyle (mb,n)\sim _{0}(m,bn)\qquad (m\in M,\;n\in N,\;b\in B)}$
3. 이 童穉 關係 는 ${\displaystyle (A,C)}$- 雙家君 의 合同 關係 임을 보일 수 있다. 따라서 ${\displaystyle X/{\sim }}$은 ${\displaystyle (A,C)}$- 雙家君 이며, 이를 텐서곱 ${\displaystyle M\otimes _{B}N}$이라고 한다.

특수한 境遇 [ 編輯 ]

다음과 같은 특수한 境遇들을 생각할 수 있다.

• 萬若 ${\displaystyle K=A=C=\mathbb {Z} }$라면, ${\displaystyle M_{B}}$은 ${\displaystyle B}$- 오른쪽 家君 이며, ${\displaystyle B_{N}}$은 ${\displaystyle B}$- 왼쪽 家君 이다. 이 境遇, ${\displaystyle B}$- 오른쪽 家君 과 ${\displaystyle B}$- 왼쪽 家君 의 텐서곱은 아벨 軍 (= ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$- 雙家君 )이다.
• 萬若 ${\displaystyle K=A=B=C}$라면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$은 ${\displaystyle K}$- 家君 이다. 이 境遇, 두 ${\displaystyle K}$- 家君 의 텐서곱은 ${\displaystyle K}$- 家君 이다.
  • 特히, 萬若 ${\displaystyle K}$가 체 일 때, 두 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 의 텐서곱은 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 이다.
  • 特히, 萬若 ${\displaystyle K=\mathbb {Z} }$일 때, 두 아벨 軍 의 텐서곱은 아벨 軍 이다.
• 萬若 ${\displaystyle K=B}$가 체 이며, ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$가 軍 이며, ${\displaystyle A=K[G]}$, ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }=K[H]}$(卽, ${\displaystyle K}$計數 軍환 )이라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle M}$과 ${\displaystyle N}$은 各各 ${\displaystyle G}$와 ${\displaystyle H}$의 表現 이며, 이 境遇 ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 ${\displaystyle A\otimes _{K}C^{\operatorname {op} }=K[G\times H]}$- 왼쪽 家君 을 이룬다. 卽, ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 直接곱 ${\displaystyle G\times H}$의 表現 을 갖는다. 이를 두 軍 表現 의 外部 텐서곱 ( 英語 : external tensor product )이라고 한다.
  • 特히, 위의 境遇에서 萬若 ${\displaystyle G=H}$라면, 大覺 史上 ${\displaystyle G\to G\times G}$를 통해, ${\displaystyle M\otimes _{K}N}$은 ${\displaystyle G}$의 表現 을 이룬다. 이를 두 軍 表現 의 텐서곱 이라고 한다.

結合 臺數의 텐서곱 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• 可換環 ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle K}$- 結合 臺數 ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$

그렇다면, ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 둘 다 ${\displaystyle K}$- 家君 이므로, 텐서곱 ${\displaystyle A\otimes _{K}B}$를 定義할 수 있으며, 이는 ${\displaystyle K}$- 家君 을 이룬다. 그런데, 이 境遇 ${\displaystyle A\otimes _{K}B}$는 自然스럽게 ${\displaystyle K}$- 結合 臺數 의 構造를 가지며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle (a\otimes _{K}b)(a'\otimes _{K}b')=(aa')\otimes _{K}(bb')}$

이에 따라, ${\displaystyle K}$- 結合 臺數 의 範疇는 對稱 某盧이드 範疇 가 된다.

性質 [ 編輯 ]

可換環 ${\displaystyle K}$ 위의 家君 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$를 생각하자. 이는 텐서곱을 通해 對稱 某盧이드 範疇 를 이룬다. 特히,

• 텐서곱은 結合 法則 을 따른다.
• 텐서곱의 恒等元은 1次元 自由 家君 ${\displaystyle K}$이다.

또한, ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{K}}$는 닫힌 某盧이드 範疇 이다. 다시 말해, 任意의 ${\displaystyle K}$-家君 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$에 對하여 다음이 成立한다.

${\displaystyle \hom _{K}(M\otimes N,P)\cong \hom _{K}(M,\hom _{K}(N,P))}$

Tor 함자 [ 編輯 ]

 이 部分의 本文은 Tor 함자 입니다.

텐서곱 함자의 誘導 함자 를 Tor 함자 라고 한다.

예 [ 編輯 ]

可換環 ${\displaystyle K}$ 위의 두 有限 次元 自由 家君

${\displaystyle M=K^{\oplus m}}$

${\displaystyle N=K^{\oplus n}}$

${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 自由 家君 이다.

${\displaystyle M\otimes _{K}N=K^{\oplus (mn)}}$

卽, (次元이 더해지는) 職합 과 달리, 텐서곱에서는 次元이 곱해진다.

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 189 . Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 . ISBN   978-0-387-98428-5 . MR   1653294 .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Tensor product” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Rowland, Todd. “Module tensor product” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Rowland, Todd. “Vector space tensor product” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Rowland, Todd. “External tensor product” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Rowland, Todd. “Representation tensor product” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Tensor product of modules” . 《nLab》 (英語).  
• “Tensor product of vector spaces” . 《nLab》 (英語).  
• “Tensor product of abelian groups” . 《nLab》 (英語).  
• “Tensor product of algebras” . 《nLab》 (英語).  
• “Tensor product of abelian groups” . 《Groupprops》 (英語).  
• Armstrong, John (2007年 4月 6日). “Tensor products of abelian groups” . 《The Unapologetic Mathematician》 (英語).