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線型代數學 에서 多重線型史上 (multilinear map) 또는 텐서 (tensor)는 線型 關係 를 나타내는 多重線型代數學 의 對象이다. 19世紀에 카를 프리드리히 가우스 가 曲面 에 對한 微分 幾何學 을 만들면서 導入하였다. 基本的인 例는 內的 과 線型 變換 이 있으며 微分 幾何學 에서 자주 登場한다. 텐서는 基底 를 選擇하여 多次元 配列 로 나타낼 수 있으며, 基底를 바꾸는 變換 法則 이 存在한다. 텐서 微積分學 에서는 리치 表記法 , 펜로즈 表記法 , 指標 表記法 , 比較的 單純한 文脈에서 使用하는 아인슈타인 表記法 等의 다양한 表記法을 使用하여 텐서를 具體的으로 나타낸다.

正義 [ 編輯 ]

벡터 空間 ${\displaystyle V}$와 그 雙대 空間 ${\displaystyle V^{*}}$에 對하여 陰이 아닌 淨水 m , n 마다 (m, n) 兄의 텐서는 벡터 空間

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}}$

의 元素로 定義된다. 여기에서 텐서곱 ${\displaystyle \otimes }$은 外的 의 一般化로 생각하여 大略

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\&\\a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A_{ij}\otimes B_{kl}=T_{ijkl}}$

와 같은 演算이다.

注意 [ 編輯 ]

하나의 벡터 空間이 주어지면 그 雙대 벡터 空間과 텐서곱 演算이 唯一하게 定義된다. (0, 0) 兄의 텐서人 스칼라를 包含하여, 텐서곱을 反復하여 얻을 수 있는 벡터 空間들의 벡터를 單純히 텐서라고 한다. 따라서 모든 텐서는 어떤 벡터 空間의 스칼라 或은 벡터이다.

텐서곱의 唯一性 [ 編輯 ]

체 ${\displaystyle F}$ 위의 벡터 空間 ${\displaystyle V,\ W,\ V\otimes W}$에 對하여 雙線型 變換 ${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$는 아래의 普遍 性質 을 갖는다:

任意의 벡터 空間 ${\displaystyle Z}$에 對하여 任意의 雙線型 變換 ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$은 線型 變換 ${\displaystyle {\bar {h}}:V\otimes W\to Z}$이 唯一하게 存在하여 ${\displaystyle h={\bar {h}}\circ \varphi }$이다.

이 條件으로 텐서곱 ${\displaystyle \otimes }$이 唯一하게 定義되며, 따라서 有限 次元 벡터 空間 ${\displaystyle V}$에 對하여 텐서의 벡터 空間은 多重線型 空間 과 自然 同型 이다:

${\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L^{m+n}\left(\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{m}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{n}\to F\right)}$

여기에서 ${\displaystyle V\cong V^{**}}$이다.

變換 法則 [ 編輯 ]

아인슈타인 表記法 을 使用하면 (m, n) 兄의 텐서는 基底 f = ( e ₁ , ..., e _k ) 를 選擇하여 m+n 次元 配列

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{n}}^{i_{1}\dots i_{m}}[\mathbf {f} ]}$

와 같이 나타낼 수 있다. 다른 基底 ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{k}^{i}\right)}$를 選擇하면 基底 f 에 依存하지 않는 變換 法則

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{n}}^{i'_{1}\dots i'_{m}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{m}}^{i'_{m}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{n}}^{i_{1},\ldots ,i_{m}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{n}}^{j_{n}}.}$

을 適用할 수 있다. 여기에서 m 을 이 텐서의 叛變 計數(contravariant rank), n 을 공邊 計數(covariant rank)라 하며 m+n 을 總 計數(total rank)라 한다.

注意 [ 編輯 ]

基底의 選擇에 依存하는 行列 , 位置벡터 , 類似텐서 等은 텐서의 表現 方式이며, 基底의 選擇이 없으면 텐서가 아니다. 마찬가지로 位置벡터 또한 基底의 選擇이 없으면 벡터가 아니기 때문에, 모든 벡터 空間의 스칼라 或은 벡터가 어떤 텐서라는 事實은 變하지 않는다.

예 [ 編輯 ]

하나의 벡터 空間에서 얻을 수 있는 벡터 空間들의 元素를 아래와 같이 分類할 수 있다. 物理學 과 工學 등에서는 各 點마다 텐서가 하나씩 붙어 있는 空間, 卽 텐서腸을 텐서라고 부르기도 한다.

		n
		0	1	2	3	?	p	?
m	0	스칼라 (예 : 스칼라 曲率 )	기울기	雙線形 形式 (예 : 스칼라곱 , 計量 텐서 ), 리치 曲率 , 심플렉틱 形式			p -形式 (예 : 부피 形式 ), 2 p 中極子 모멘트
	1	벡터 (예 : 1 -벡터 )	線型 變換 (예 : 크로네커 델타 )		리만 曲率 텐서
	2	푸아송 救助		歎聲 텐서
	?
	q	q -벡터
	?

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

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