칸토어-르베그 整理 (Cantor-Lebesgue theorem, -定理)는 調和解釋學 및 실解釋學 의 整理 로, 獨逸 數學者 게오르크 칸토어 와 프랑스 數學者 앙리 르베그 의 이름이 붙어 있다. 이 整理는 푸리에 級數 의 收斂에 對한 必要條件 을 提供한다.

公式化 [ 編輯 ]

E를 失手 의 部分集合 [0, 2π)에 屬하는 兩側도 의 가측 集合 理라 하자. 萬若 다음의 無限級數

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx})}$

가 E의 모든 點 x에서 收斂한다면, 다음이 成立한다. ^[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$

證明 [ 編輯 ]

三角函數 恒等式 에 依해 사인 函數 와 코사인 函數 를 하나의 코사인 函數로 묶어서 다음과 같이 쓰자.

${\displaystyle a_{n}\cos {nx}+b_{n}\sin {nx}=c_{n}\cos {(nx+d_{n})}}$

여기서 ${\displaystyle c_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ 이므로, a _n 나 b _n 둘 中 하나라도 無限大에서 0으로 收斂하지 않는다면 c _n 는 0으로 收斂하지 않는다. 이를 假定하면, 無限級數의 收斂 必要條件에서 ${\displaystyle c_{n}\cos {(nx+d_{n})}}$는 0으로 收斂해야 하므로, 適當한 水熱 ${\displaystyle n_{1},n_{2},...}$ 에 對하여

${\displaystyle \cos {(n_{k}x+d_{n_{k}})}}$

는 0으로 收斂하게 된다. 따라서 ${\displaystyle \cos ^{2}{(n_{k}x+d_{n_{k}})}}$ 도 0으로 收斂한다. 이제 支配 收斂 定理 를 利用하면,

${\displaystyle 0=\lim _{k\to \infty }\int _{E}\cos ^{2}{(n_{k}x+d_{n_{k}})}dx}$

${\displaystyle =\lim _{k\to \infty }\int _{E}[{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cos {(2n_{k}x+2d_{n_{k}})}dx}$

${\displaystyle =\int _{E}{\frac {1}{2}}dx={\frac {1}{2}}\lambda (E)}$

을 얻는다. 그런데 이는 E가 兩側徒라는 條件에 矛盾이다. ^[1]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 累進-堂主아 整理

各州 [ 編輯 ]

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Frank Jones, Lebesgue Integration on Euclidian Space , Jones and Bartlett Mathematics, 2001.