天體動力學
軌道力學
方程式 케플러의 行星運動法則 치올콥스키 로켓 方程式 活力方程式
效率測定 有償 荷重非 推進劑 質量比 質量比
科學者 요하네스 케플러 아이작 뉴턴 콘스탄틴 치올콥스키
v t e

치올콥스키 로켓 方程式 (Tsiolkovsky's rocket equation)은 러시아의 로켓 科學者인 콘스탄틴 치올콥스키 가 처음으로 誘導해낸 方程式으로, 重力이나 抵抗 같은 外力이 作用하지 않는 界에서의 로켓 의 運動을 記述한다. 그 式은 다음과 같다.

${\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}$

(여기서 ${\displaystyle v_{f}}$는 로켓의 最終 速力, ${\displaystyle v_{i}}$는 로켓의 初期 速力, ${\displaystyle u}$는 噴出된 燃料의 로켓에 對한 相對 速力, ${\displaystyle m_{f}}$는 로켓의 最終 質量, ${\displaystyle m_{i}}$는 로켓의 初期 質量.)

誘導 過程 [ 編輯 ]

1. 序論 [ 編輯 ]

치올콥스키의 方程式을 誘導하는 過程은 質量이 變하는 界(variable-mass system)에 뉴턴 法則을 適用하는 것과 相當히 비슷하다. 뉴턴 第 2 法則에 依하면 ${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}}$이다.

여기서 m을 常數로 取扱하면 매우 有名한 公式인 ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$가 되지만, m이 상수가 아닌 一般的인 境遇를 考慮하면 곱의 微分法으로 因해 ${\displaystyle {\vec {F}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}$ 가 된다.

이 過程에서 ${\displaystyle {\vec {F}}=0\Leftarrow \Rightarrow {\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=0}$ 라고 놓고 問題를 푸는 誤謬를 犯하기도 하는데, 언뜻 보기에는 맞는 것 같지만 이처럼 알짜힘을 0이라고 놓으면 로켓이 가속되고 있다는 事實과 矛盾된다.

로켓 自體만을 생각하는 代身 로켓과 放出된 燃料(fuel)를 모두 包含하는 契를 考慮한다면 더 納得 可能한 結論에 到達할 수 있을 것이고 計算도 더 容易해질 것이다.

이 方程式의 前提 條件은 로켓과 燃料를 包含한 이 契에 重力 같은 外力이 全혀 作用하지 않는다는 點이다. 그러므로 ( ${\displaystyle {\vec {F}}_{ext}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=0}$ 이기에) 뉴턴 第 2 法則에 따라 系의 總 運動量은 變化하지 않을 것이다.

다시 말하면 初期 運動量과 最終 運動量을 같게 놓고 풀면 치올콥스키의 方程式을 얻을 수 있다.

2. 運動量 保存의 法則 [ 編輯 ]

系의 初期 運動量은 ${\displaystyle m_{fuel}{\vec {v}}_{fuel}\ +\ m_{rocket}{\vec {v}}_{rocket}=0\times 0\ +\ m{\vec {v}}=m{\vec {v}}}$이다.

系의 現在 運動量을 計算하려면 段階的으로 생각해볼 必要가 있다.

1) 로켓의 質量은 ${\displaystyle dt}$의 時間 동안 ${\displaystyle m\ +\ dm}$이 되었다 (여기서 質量이 減少했으므로 ${\displaystyle dm<0}$). 같은 方法으로 로켓의 速度는 ${\displaystyle dt}$의 時間 동안 ${\displaystyle {\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}}}$가 되었다. 이 말은 로켓의 現在 運動量은 ${\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})}$이라는 뜻이다.

2) 方今 갓 放出된 燃料의 質量은 ( ${\displaystyle dm<0}$ 이므로) ${\displaystyle -dm}$이다. 燃料의 速度를 ${\displaystyle {\vec {v}}_{fuel}}$라고 하면 燃料의 現在 運動量은 ${\displaystyle -dm\ {\vec {v}}_{fuel}}$이다.

3) 이 둘을 더하면 ${\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}$ 이 된다. 이것이 系의 現在 運動量이다.

위의 情報를 綜合해보면, 系의 初期 運動量과 現在 運動量은 같으므로 ${\displaystyle m{\vec {v}}=(m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}$이다. 이제 式을 整理해보자.

式을 展開하면 ${\displaystyle m{\vec {v}}=m{\vec {v}}+md{\vec {v}}+{\vec {v}}dm+dmd{\vec {v}}-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}$가 된다. 여기서 兩邊에서 ${\displaystyle m{\vec {v}}}$를 消去한다. 그리고 ${\displaystyle dmd{\vec {v}}}$는 그 크기(magnitude)가 너무 작으니 無視하도록 하자.

그러면 다음과 같은 式이 된다. ${\displaystyle m\ d{\vec {v}}+{\vec {v}}\ dm-{\vec {v}}_{fuel}\ dm=0}$. 여기서 마지막 두 項을 ${\displaystyle dm}$으로 묶으면 ${\displaystyle m\ d{\vec {v}}+dm\ ({\vec {v}}-{\vec {v}}_{fuel})=0}$이 되고, 이것은 ${\displaystyle m\ d{\vec {v}}=dm\ ({\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}})}$와 같다.

相對 速度의 定義에 따라 ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}}_{rocket}}$이므로 ${\displaystyle m\ d{\vec {v}}={\vec {u}}\ dm}$이 된다.

이제 ${\displaystyle d{\vec {v}}}$와 ${\displaystyle {\vec {u}}}$ 모두 一直線 上에 있다고 假定하고, 벡터의 크기(magnitude)만 高麗 瑕疵. ${\displaystyle |d{\vec {v}}|=dv,\ |{\vec {u}}|=u}$라고 定義하자. 로켓이 나아가는 方向을 +라고 한다면, ${\displaystyle d{\vec {v}}}$는 ${\displaystyle dv}$가 될 것이고, 로켓에 對해 燃料는 恒常 相對的으로 뒤로 가고 있으므로 ${\displaystyle {\vec {u}}}$는 ${\displaystyle -u}$로 쓸 수 있을 것이다. 그렇다면 식은 ${\displaystyle m\ dv=-u\ dm}$이라고 쓸 수 있다?

3. 微分方程式 풀기 [ 編輯 ]

${\displaystyle m\ dv=-u\ dm}$의 兩邊을 ${\displaystyle dt}$로 나누면 ${\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-u{\frac {dm}{dt}}}$가 된다. 이는 ${\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}}$와 같다.

이렇듯 로켓과 燃料를 包含한 系의 運動 狀態를 로켓의 質量과 加速度의 크기, 그리고 燃料의 로켓에 對한 相對 速力으로만 表現하는 데 成功했다. 이제 이 公式을 利用해 微分方程式을 세우고 풀어보자.

${\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}}$의 兩邊에 ${\displaystyle dt}$를 곱하고 兩邊을 ${\displaystyle m}$으로 나누면 ${\displaystyle a\ dt=-u\ {\frac {dm}{m}}}$이 된다. (여기서 ${\displaystyle u}$는 上手라고 假定하자.)

兩邊을 積分하면 ${\displaystyle \int _{t_{i}}^{t_{f}}a\ dt=\int _{m_{i}}^{m_{f}}-u\ {\frac {dm}{m}}}$이 된다. 左邊은 ${\displaystyle \Delta v=v_{f}\ -\ v_{i}}$가 되고, 右邊은 ${\displaystyle -u\ {\Big [}\ln \ |m|{\Big ]}_{m_{i}}^{m_{f}}=-u\ (\ln \ m_{f}\ -\ \ln \ m_{i})=-u\ \ln {\frac {m_{f}}{m_{i}}}=u\ \ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}$가 된다.

最終 速力에 對해 整理하면 ${\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}$이라는 食餌 나온다.

意味 [ 編輯 ]

비록 實際 狀況보다 極히 簡單한 家庭을 하지만, 로켓 方程式은 로켓 飛行에 있어서의 核心的인 物理學的 原理를 簡明하게 보여준다. 로켓 軌道 力學에 있어서 ${\displaystyle \Delta v}$는 軌道의 移動이 얼마나 쉬운지, 或은 어려운지를 나타내주는 量이 된다.

式에서 알 수 있듯이 큰 ${\displaystyle \Delta v}$를 얻기 위해서는 ${\displaystyle m_{i}}$가 크거나 ( ${\displaystyle \Delta v}$에 비해 指數函數 敵으로 커져야 함), ${\displaystyle m_{f}}$이 작거나, 아니면 噴射 速度 ${\displaystyle v}$가 매우 높아야 한다. 또는 이 세 條件이 適切히 組合되어야 한다.

工學的으로는 巨大한 로켓을 만들고 ( ${\displaystyle m_{i}}$을 키움) 多段階 로켓을 만들어 ( ${\displaystyle m_{f}}$를 줄임) 噴射 速度를 높게 할 수 있다. 아폴로 宇宙 計劃에서 使用되었던 새턴 5號 로켓이 이런 條件을 滿足하는 좋은 例가 된다.