어떤 量이 그 量에 比例하는 速度로 減少한다면, 그 量은 指數的 減衰 (exponential decay)한다고 한다. 이러한 프로세스는 다음의 微分 方程式 으로 表現될 수 있다. 여기서 N 은 그 量이며, λ(람다)는 羊水 로서 減衰 常數 이다.

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

이 方程式의 해는

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,}$

여기서 N(t) 는 時間이 t일 때의 量이며, N ₀ = N(0) 은 初期의 양으로 t = 0 일 때의 量이다.

平均 壽命과 半減期 [ 編輯 ]

平均 壽命 [ 編輯 ]

어떤 集合에서 時間이 지남에 따라 特定 元素의 個數가 減少하고 있다고 하자. 이 元素의 數를 時間의 函數 N(t)로 表記할 수 있다. 平均 壽命 ( 英語 : mean lifetime )은 이 元素가 그 集合에 存在하는 平均 時間을 의미하며, 그리스 文字 τ로 表記한다. 減衰 常數 λ와는 다음의 關係가 있다.

${\displaystyle \tau =1/\lambda }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }\,}$

위 式에서 알 수 있는 것처럼, τ는 元素의 個數가 처음의 1/ e  ? 0.367879441 倍가 되었을 때의 時間이다. 例를 들면 時間 t 가 0일 때 元素의 個數 N(0)가 1000이라고 하자. 그렇다면 t가 τ日 때 N(τ)는 368이 된다. 이처럼 平均 壽命 τ는 一種의 時間 尺度로 생각할 수 있다.

半減期(half-life) [ 編輯 ]

e代身 2를 밑으로 使用하면 元素의 個數가 折半이 되는 半減期 를 計算할 수 있다. 半減期는 普通 t _1/2 로 表記하며 平均 壽命 或은 減衰常數로 아래와 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle t_{1/2}=\ln(2)/\lambda =\tau \ln(2)\,}$

이 關係를 위의 N(t) 式에 代入하면,

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}\,}$가 된다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 指數 函數
• 放射性 減衰