代數幾何學 과 複素幾何學 에서 準連接 家君層 (準連接加群層, 英語 : quasicoherent sheaf of modules , 프랑스語 : faisceau de modules quasi-coherent ) 또는 單純히 準連接層 은 벡터 다발 (局所 自由層)의 核 · 餘核 으로 構成할 수 있는 家君層 이다. 이는 連接層 의 槪念의 一般化이다. 延接 家君層의 範疇는 아벨 範疇 를 이루지만, 이는 丹沙 對象을 充分히 가지는 範疇 가 아니므로 그 層 코호몰로지 를 定義하기가 複雜하다. 이 代身, 모든 無限 次元일 수 있는 벡터 다발을 包含하는 아벨 範疇 人 準連接 家君層의 範疇는 丹沙 對象을 充分히 가지는 範疇 이며, 따라서 層 코호몰로지 를 쉽게 定義할 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

換 달린 空間 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위에서, 다음 條件들을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- 家君層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 局所 斷面 生成 家君層 (局所斷面生成加群層, 英語 : sheaf of modules locally generated by sections )이라고 한다.

• 任意의 ${\displaystyle x\in X}$에 對하여, 層의 完全熱 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$이 存在하게 되는 열린 近方 ${\displaystyle U\ni x}$와 期數 ${\displaystyle \lambda }$가 存在한다.

換 달린 空間 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ 위에서, 다음 條件들을 만족시키는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- 家君層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$를 準連接 家君層 (準連接加群層, 英語 : quasicoherent sheaf of modules , 프랑스語 : faisceau de modules quasi-coherent ) 또는 單純히 準連接層 이라고 한다. ^{[1] :45, (5.1.3)}

• 任意의 ${\displaystyle x\in X}$에 對하여, 層의 完全熱 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \kappa }|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus \lambda }|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$이 存在하게 되는 열린 近方 ${\displaystyle U\ni x}$와 期數 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 存在한다.

局所 斷面 生成 家君層/準連接 家君層의 正義에서, 期數 ${\displaystyle \kappa ,\lambda }$가 自然數 이어야 한다는 條件을 追加하면 各各 有限 生成 家君層 / 有限 標示 家君層 의 槪念을 얻는다.

性質 [ 編輯 ]

함의 關係 [ 編輯 ]

任意의 換 달린 空間 위에서, 다음과 같은 함의 關係가 成立한다.

連接層 ⊆ ^{[1] :47, (5.3.2)} 有限 標示 家君層 ⊆ ^{[1] :46, (5.2.5)} 準連接 家君層 ∩ 有限 生成 家君層

局所 自由 家君層 ⊆ 準連接 家君層 ^{[1] :48, (5.4.1)}

局所 뇌터 스킴 위에서는 構造層이 連接層 이므로, 다음과 같은 包含 關係가 成立한다. ^[2]

有限 計數 局所 自由 家君層 ⊆ ^{[1] :48, (5.4.1)} 連接層 = 有限 標示 家君層 = 準連接 家君層 ∩ 有限 生成 家君層

同治 條件 [ 編輯 ]

스킴 ${\displaystyle X}$ 위의 家君層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 對하여 다음 條件들이 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 準連接 家君層이다.
• 任意의 아핀 열린 部分 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R\subseteq X}$에 對하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$- 家君層 으로서 어떤 ${\displaystyle R}$- 家君 으로부터 誘導된 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R}}$- 家君層 과 同型이다.
• ${\displaystyle X}$의 어떤 아핀 열린 덮개 ${\displaystyle \{\operatorname {Spec} R_{i}\}_{i\in I}}$에 對하여, ${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$- 家君層 으로서 어떤 ${\displaystyle R_{i}}$- 家君 으로부터 誘導된 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} R_{i}}}$- 家君層 과 同型이다.

演算 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• 두 스킴 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$
• 스킴 史上 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

그렇다면, ${\displaystyle Y}$ 위의 準連接層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 당김 ${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle X}$ 위의 準連接層이다. 反對로, ${\displaystyle X}$ 위의 準連接層 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$가 주어졌으며, ${\displaystyle f}$가 準콤팩트 準分離 史上 이라면 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$의 밂 ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle Y}$ 위의 連接層이다.

準連接層의 範疇 [ 編輯 ]

一般的 換 달린 空間 위의 準連接 家君層의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$는 一般的으로 아벨 範疇 가 아니다. 하지만, 萬若 ${\displaystyle X}$가 스킴 일 境遇는 이는 다음 條件들을 만족시킨다.

• 그로텐디크 아벨 範疇 이다. 特히, 이는 丹沙 對象을 充分히 가지는 完備 雙대 完備 아벨 範疇 이다.
• 包含 함자 ${\displaystyle I\colon \operatorname {QCoh} (X)\to {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}}$는 오른쪽 首班 함자 ${\displaystyle Q\colon {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}\to \operatorname {QCoh} (X)}$를 가진다.
  • 따라서, ${\displaystyle I}$는 모든 雙대 極限 을 保存하며 오른쪽 完全 함자 이다. (모든 家君層 의 範疇 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}{\text{-Mod}}}$ 亦是 그로텐디크 아벨 範疇 이며 特히 完備 範疇 利子 雙대 完備 範疇 이다.)
  • 따라서, ${\displaystyle Q}$는 모든 極限 을 保存하며 왼쪽 完全 함자 이다.

卽, ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$에서의 雙대 極限은 家君層으로서의 雙대 極限과 같다. ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (X)}$에서의 有限 極限은 家君層으로서의 極限과 같지만, 無限 極限은 家君層의 極限과 一般的으로 다르며, 家君層에서의 極限에 ${\displaystyle Q}$를 加한 것이다.

아핀 스킴 위의 準連接層 [ 編輯 ]

可換環 ${\displaystyle R}$ 위의 다음과 같은 두 範疇는 서로 同治 이다.

• ${\displaystyle R}$- 家君 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$
• ${\displaystyle R}$의 스펙트럼 위의 準連接 家君層의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {QCoh} (\operatorname {Spec} R)}$

具體的으로, ${\displaystyle R}$- 家君 ${\displaystyle M}$에 對應하는 準連接 家君層은 다음 條件을 만족시키는 唯一한 家君層 ${\displaystyle {\tilde {M}}}$이다.

• 任意의 ${\displaystyle r\in R}$에 對하여, ${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} (R_{r});{\tilde {M}})=R_{r}\otimes _{R}M}$

여기서

${\displaystyle R_{r}=(\{1,r,r^{2},\dots \})^{-1}R}$

는 ${\displaystyle r}$로 生成되는 곱셈 某盧이드 에서의 局所化 이며, 그 스펙트럼 은 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$의 열린集合 을 定義한다. 反對로, ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 準連接 家君層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 對應하는 ${\displaystyle R}$- 家君 은 ${\displaystyle \Gamma (\operatorname {Spec} R;{\mathcal {F}})}$이다.

예 [ 編輯 ]

스킴 ${\displaystyle X}$의 닫힌 部分 스킴 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 對應하는 아이디얼 層 은 準連接 家君層이다. 特히, ${\displaystyle X}$ 全體에 對應하는 영 準連接層 ${\displaystyle 0}$은 (自明하게) 준연접층이며, 空集合 ${\displaystyle \varnothing }$에 對應하는 構造層 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ 亦是 準連接層이다. (反面, 局所 뇌터 스킴 이 아닌 스킴의 境遇 構造層이 連接層 이 아닐 수 있다.)

체 ${\displaystyle K}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$ 위에서는 準層과 層과 準連接層 의 槪念이 一致하며, 이들은 모두 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 으로 주어진다. (이 가운데 連接層 은 有限 次元 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 이다.)

離散 값매김환 위의 準連接層과 準連接層이 아닌 家君層 [ 編輯 ]

離散 값매김환 ${\displaystyle (D,{\mathfrak {m}},\kappa =D/{\mathfrak {m}})}$의 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$는 時에르핀스키 空間 이며, 이는 두 個의 點으로 構成된다. 이 境遇, 닫힌점은 極大 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 對應하며, 이는 剩餘類體 ${\displaystyle \kappa }$에 該當한다. 닫힌점이 아닌 點은 영 아이디얼 ${\displaystyle 0}$에 對應하며, 이는 噴水體 ${\displaystyle \operatorname {Frac} D=K}$에 該當한다.

時에르핀스키 空間 위에서는 열린集合의 部分 順序 集合 이 (크기 3의) 全順序 集合 이며, 特히 두 열린集合 의 合集合 을 取하여 더 큰 열린集合 을 만들 수 없다. 따라서, 이 境遇 모든 準層 이 層 을 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 任意의 家君 (준)層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 따라서 다음과 같은 데이터로 構成된다.

• ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\operatorname {Spec} D)=M}$. 이는 ${\displaystyle D}$- 家君 이다.
• ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {F}},\{0\})=N}$. 이는 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 이다.
• ${\displaystyle \operatorname {Spec} D\to \{0\}}$의 制約 史上 ${\displaystyle \phi \colon M\otimes _{D}K\to N}$. 이는 ${\displaystyle K}$- 線型 變換 이다.

卽, ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 家君層은 위와 같은 ${\displaystyle (M,N,\phi )}$로 주어진다.

아핀 스킴 ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$ 위의 準連接 家君層은 ${\displaystyle D}$- 家君 ${\displaystyle M}$滿으로 주어진다. 이 境遇, ${\displaystyle \{0\}}$의 斷面은 (家君에 對應하는 準連接層의 定義에 따라) ${\displaystyle M\otimes _{A}K}$이다. 卽, ${\displaystyle \operatorname {Spec} D}$-家君層 ${\displaystyle (M,N,\phi )}$ 가운데 準連接層인 것은 ${\displaystyle \phi }$가 ${\displaystyle K}$- 벡터 空間 의 同型 史上 인 것이다.

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Quasi-coherent sheaf” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Quasicoherent sheaf” . 《nLab》 (英語).  
• Mathew, Akhil (2011年 7月 30日). “Quasi-coherent sheaves, presentable categories, and a result of Gabber” . 《Climbing Mount Bourbaki》 (英語).  
• “Does Qcoh(X) admit a generating set?” (英語). Math Overflow.  
• “Examples of ?? _X -modules that are not quasi-coherent sheaves” . 《Stack Exchange》 (英語).