數學 에서 史上 (寫像, 文化語 : 살, 凡事, 英語 : morphism 毛皮즘 ^{[ * ]} )은 數學的 構造 를 保存하는 函數 의 槪念을 抽象化한 것이다. 例를 들어 集合 의 思想은 任意의 函數이며, 軍 의 思想은 軍 蠢動型 , 位相 空間 의 思想은 連續 函數 이다.

範疇論 은 對象과 思想으로 이루어진 範疇 를 硏究하는 分野이다. 具體的 範疇 에서 對象은 集合 위에 특정한 構造가 주어진 것이고 思想은 그 構造를 保存하는 函數이나, 一般的인 範疇에서 對象은 꼭 集合일 必要가 없고 思想은 單純히 對象들 사이의 '화살標'일 뿐이다.

思想이라는 用語는 英語 map에 對應하기도 하는데, 이 境遇 脈絡에 따라 函數 (function)와 史上(morphism) 모두의 意味로 使用될 수 있다.

正義 [ 編輯 ]

範疇 ${\displaystyle C}$는 '대상'의 모임 ${\displaystyle \mathrm {ob} (C)}$와 '史上'의 모임 ${\displaystyle \hom(C)}$로 이루어져 있다. 各 思想은 '定義域'과 '共譯'을 갖는데, 이들은 둘 다 ${\displaystyle C}$의 對象이다. 史上 ${\displaystyle f}$의 定義域이 ${\displaystyle X}$이고 空域이 ${\displaystyle Y}$일 때 이를 ${\displaystyle f:\,X\to Y}$로 나타낸다. ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle Y}$로의 모든 思想의 모임을 ${\displaystyle \hom _{C}(X,Y)}$ 或은 簡單히 ${\displaystyle \hom(X,Y)}$로 나타내고, 이를 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$ 사이의 史上 모임 ( 英語 : hom-class )이라 하며, 이것이 集合인 境遇에는 史上 集合 ( 英語 : hom-set )이라 한다. (이를 ${\displaystyle \mathrm {Mor} _{C}(X,Y)}$ 或은 ${\displaystyle \mathrm {Mor} (X,Y)}$ 等으로 나타내는 著者도 있다.)

任意의 세 對象 ${\displaystyle X,Y,Z}$에 對해, ${\displaystyle \hom(X,Y)\times \hom(Y,Z)}$에서 ${\displaystyle \hom(X,Z)}$로 가는 二項演算 이 存在하며, 이를 思想의 合成 이라 부른다. 史上 ${\displaystyle f:\,X\to Y}$와 ${\displaystyle g:\,Y\to Z}$의 合成은 ${\displaystyle g\circ f}$ 或은 ${\displaystyle gf}$로 쓴다. (一部 著者는 ${\displaystyle fg}$로 쓰기도 한다.) 많은 境遇 思想의 合成을 아래와 같은 可換 그림 으로 나타낸다.

思想들은 다음의 두 공리 를 滿足해야 한다.

• ( 結合法則 ) ${\displaystyle f:X\to Y,\,g:Y\to Z,\,h:Z\to U}$裏面 ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f}$.
• (港等史上) 任意의 對象 ${\displaystyle X}$에 對해 唯一한 思想 ${\displaystyle 1_{X}:\,X\to X}$이 存在하여, 任意의 思想 ${\displaystyle f:\,A\to B}$에 對해 ${\displaystyle 1_{B}\circ f=f=f\circ 1_{A}}$이다. 여기에서 ${\displaystyle 1_{X}}$를 ' ${\displaystyle X}$의 港等史上'이라고 한다.

C가 具體的 範疇 일 때, 合成은 보통의 函數의 合成 과 一致하며, 港等思想은 單純한 港等函數 이다. 函數의 合成은 結合法則을 滿足하므로 위의 結合法則 條件도 自明하게 成立한다.

思想의 種類 [ 編輯 ]

丹沙 史上 [ 編輯 ]

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${\displaystyle f:\,X\to Y}$가 思想이라 하자. 任意의 思想 ${\displaystyle g_{1},g_{2}:\,Z\to X}$에 對해 ${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}}$가 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$를 含意 하면 ${\displaystyle f}$를 丹沙 史上 理라 한다. 또한, ${\displaystyle g\circ f={\rm {id}}_{X}}$를 滿足하는 思想 ${\displaystyle g:\,Y\to X}$가 存在하면 이를 ${\displaystyle f}$의 座 歷史上 (left-inverse)이라 한다. 座 歷史上을 갖는 思想은 全部 壇사이나, 그 驛은 成立하지 않는다. 丹沙 思想이 座 歷史上을 가지면 이를 分解 丹沙 史上 (split monomorphism)이라 한다. 具體的 範疇 에서 座 逆函數를 갖는 函數는 丹沙 函數 와 一致하므로 모든 丹沙 函數 는 丹沙 思想이다. 整理하자면, 丹沙 函數 條件은 丹沙 史上 條件보다는 剛하지만 分解 丹沙 史上 條件보다는 弱하다.

戰死 史上 [ 編輯 ]

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雙대 槪念으로, 任意의 思想 ${\displaystyle g_{1},g_{2}:\,Y\to Z}$에 對해 ${\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f}$가 ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$를 函依하면 ${\displaystyle f}$를 戰死 史上 理라 한다. 또한, ${\displaystyle f\circ g={\rm {id}}_{Y}}$를 滿足하는 思想 ${\displaystyle g:\,Y\to Z}$가 存在하면 이를 f의 禹 歷史上 (right-inverse)이라 한다. 禹 歷史上을 갖는 思想은 全部 戰士이나, 그 驛은 成立하지 않는다. 戰死 思想이 禹 歷史上을 가지면 이를 分解 戰死 史上 (split epimorphism)이라 한다. 具體的 範疇 에서 禹 逆函數를 갖는 函數는 戰死 函數 와 一致하며, 이 條件은 戰死 史上 條件보다는 剛하지만 分解 戰死 史上 條件보다는 弱하다. 集合 의 範疇에서 모든 戰死 函數 가 禹 逆函數를 가진다는 것은 選擇 公理 와 童穉이다.

• 參考: 分解 丹沙 史上 ${\displaystyle f}$가 座 歷史上 ${\displaystyle g}$를 가지면, ${\displaystyle g}$는 ${\displaystyle f}$를 禹 歷史上으로 갖는 分解 戰死 思想이다.

自己 思想 [ 編輯 ]

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定義域과 空域이 같은 思想을 自己 思想 이라고 한다. 同型 史上 가운데 自己 思想인 것을 自己 同型 史上 이라고 한다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 영 史上
• 正規 丹沙 史上
• 蠢動型