複素解釋學 에서 盆地點 (分枝點, 英語 : ramification point )銀 두 리만 曲面 사이의 正則 函數 가 局所的으로 被覆 空間 을 이루지 못하는 點이며, 그 上 을 가지點 (-點, 英語 : branch point )이라고 한다. 이러한 正則 函數 의 逆函數 를 定義하려면, 가지點들을 잇는 線分 또는 半直線에서 定義되지 않거나 또는 이 點들에서 不連續的이게 된다. 이러한 線分 또는 半直線을 盆地 切斷 (分枝切斷, 英語 : branch cut )이라고 한다.

正義 [ 編輯 ]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 두 리만 曲面 ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle \Sigma '}$
• 正則 函數 ${\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}$. 또한, ${\displaystyle f}$가 局所的으로 常數 函數 가 아니라고 하자.

그렇다면, 點 ${\displaystyle z\in \Sigma }$에 對하여, 두 條件을 생각하자.

制限 函數 ${\displaystyle f\upharpoonright f^{-1}(U)\colon f^{-1}(U)\to f(U)}$가 被覆 空間 이 되는, ${\displaystyle f(z)}$의 近方 ${\displaystyle U\ni f(z)}$가 存在한다.

이 條件이 成立하지 않는 點들의 集合은 ${\displaystyle \Sigma }$ 속의 離散 空間 을 이루며, 特히 萬若 ${\displaystyle \Sigma }$가 콤팩트 空間 이라면 有限 集合 이다. 이 條件이 成立하지 못하는 點 ${\displaystyle z\in \Sigma }$를 ${\displaystyle f}$의 盆地點 (分枝點, 英語 : ramification point )이라고 하며, 그 上 ${\displaystyle f(z)\in \Sigma '}$을 ${\displaystyle f}$의 가지點 (-點, 英語 : branch point )이라고 한다.

盆地點의 次數 [ 編輯 ]

두 리만 曲面 ${\displaystyle \Sigma }$, ${\displaystyle \Sigma '}$ 사이의 正則 函數 ${\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}$ 및 點 ${\displaystyle z\in \Sigma }$가 주어졌다고 하자. 萬若 ${\displaystyle z}$ 近處에, 다음 條件을 만족시키는

• ${\displaystyle z\in \Sigma '}$의 열린 近方 ${\displaystyle U\ni z}$
• 열린集合 ${\displaystyle V\supseteq f(U)}$
• 複素平面 의 0을 包含하는 두 열린集合 ${\displaystyle {\tilde {U}},{\tilde {V}}\subseteq \mathbb {C} }$, ${\displaystyle 0\in {\tilde {U}}\cap {\tilde {V}}}$
• 全單射 正則 函數 ${\displaystyle \iota _{U}\colon U\to {\tilde {U}}}$, ${\displaystyle \iota _{V}\colon V\to {\tilde {V}}}$
• 自然數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

가 存在한다면, ${\displaystyle z}$의 盆地 指標 (分枝指標, 英語 : ramification index )를 ${\displaystyle n}$이라고 한다.

${\displaystyle \iota _{V}\circ f\circ \iota _{U}^{-1}=(z\mapsto z^{n})}$

萬若 어떤 點의 盆地 指標가 0이라면, ${\displaystyle f}$는 (그 點을 包含하는 連結 成分 에 制限하면) 常數 函數 이다. 萬若 어떤 點의 盆地 指標가 1이라면, 이 點은 盆地點이 아니다. 萬若 어떤 點의 次數가 2 以上이라면, 이는 盆地點이다.

盆地 指標를 갖지 않는 點은 盆地點이며, 이 境遇를 超越 盆地點 (超越分枝點, 英語 : transcendental ramification point )이라고 한다.

盆地 切斷 [ 編輯 ]

正則 函數

${\displaystyle f\colon \Sigma \to \Sigma '}$

가 常數 函數 가 아니며, 全單射 函數 도 아니라면, ${\displaystyle f}$는 盆地點을 갖는다. 이 境遇, ${\displaystyle f}$의 逆函數 를 잘 定義하기 위해서는, ${\displaystyle f}$의 가지點들 및 (非콤팩트 리만 曲面 의 境遇 無限大)를 잇는 線分 또는 半直線들을 除去하거나 또는 이 點들에서 不連續이게 해야 한다. 이 過程을 盆地 切斷 ( 英語 : branch cut , 分枝切斷)이라고 한다. 卽, 이러한 線分 ${\displaystyle L\subsetneq \Sigma '}$을 골랐을 때, 正則 函數 人 逆函數

${\displaystyle f^{-1}\colon (\Sigma '\setminus L)\times B\to \Sigma }$

를 定義할 수 있다. 여기서 ${\displaystyle B}$는 被服 空間 ${\displaystyle f^{-1}(\Sigma '\setminus L)\twoheadrightarrow \Sigma '\setminus L}$의 올인 離散 空間 이다.

예 [ 編輯 ]

제곱根 [ 編輯 ]

定義域 과 工役 이 리만 區 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$人 正則 函數

${\displaystyle f\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle f\colon z\mapsto z^{2}}$

를 생각하자. 이는 두 個의 盆地點을 가지며, 그 盆地 指標는 다음과 같다.

盆地點 ${\displaystyle z}$	가지點 ${\displaystyle f(z)}$	盆地 指標
0	0	2
∞	∞	2

이 境遇, 逆函數 ${\displaystyle f^{-1}}$, 卽 複素數 제곱根 函數를 定義하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 盆地 絶斷을 加해야 한다. 흔히 이는 音의 失手 半直線

${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$

으로 한다. 이렇게 하면, 複素數 제곱根 函數

${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {CP} ^{1}\setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto z^{1/2}}$

를 定義할 수 있다. 이 盆地 切斷은 具體的으로 다음과 같다.

${\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}}$

勿論, 다른 盆地 絶斷을 고를 수 있다. 例를 들어, 陽의 失手 半直線을 代身 切斷할 수도 있다. 이렇게 하여 얻는 盆地 切斷은 具體的으로 다음과 같다.

${\displaystyle f^{-1}\colon {\begin{cases}r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto {\sqrt {r}}\exp(\mathrm {i} \theta /2)&r\in [0,\infty ),\;\theta \in (0,2\pi )\\\infty \mapsto \infty \end{cases}}}$

로그 [ 編輯 ]

定義域 과 工役 이 複素平面 人 正則 函數

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f\colon z\mapsto \exp z}$

를 생각하자. 그 唯一한 盆地點은 ${\displaystyle z=0}$이며, 이는 超越 盆地點이다. (이 複素數 指數 函數 는 ∞에서 本質的 特異點 을 가져, ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ 위의 正則 函數로 定義할 수 없다.)

그 逆函數 ${\displaystyle f^{-1}}$, 卽 複素數 自然 로그 函數를 定義하기 위해서는 0에서 ∞로 가는 盆地 絶斷을 加해야 한다. 흔히 이는 音의 失手 半直線

${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$

으로 한다. 이렇게 하면, 複素數 自然 로그 函數

${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto \ln z}$

를 定義할 수 있다. 이 盆地 切斷은 具體的으로 다음과 같다.

${\displaystyle f^{-1}\colon r\exp(\mathrm {i} \theta )\mapsto (\ln r)+\mathrm {i} \theta \qquad \left(r\in [0,\infty ),\;\theta \in (-\pi ,\pi )\right)}$

複雜한 예 [ 編輯 ]

다음과 같은 逆函數를 갖는 函數를 생각하자.

${\displaystyle f^{-1}\colon z\mapsto {\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}}$

이 函數 ${\displaystyle f}$의 定義域은 事實 리만 區의 2겹 盆地 被服 空間이 되는, 종수 0의 리만 曲面 ${\displaystyle \Sigma _{0}}$이다. 具體的으로, 集合으로서 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \Sigma _{0}=\left(\mathbb {CP} ^{1}\setminus [0,1]\right)\times \{{\mathsf {A}},{\mathsf {B}}\}\sqcup (0,1)\times \{{\mathsf {C}},{\mathsf {D}}\}+\{0,1,\infty \}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathsf {A}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {B}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$, ${\displaystyle {\mathsf {D}}}$는 任意의 네 記號이다.

이 彫刻들을 다음과 같이 이어붙인다.

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=(a,{\mathsf {C}})\qquad \left(0<a<1\right)}$

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(a+\mathrm {i} b,{\mathsf {B}})=\lim _{b\to 0^{+}}(a-\mathrm {i} b,{\mathsf {A}})=(a,{\mathsf {D}})\qquad \left(0<a<1\right)}$

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 0^{+}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 0}(z,{\mathsf {B}})=0}$

${\displaystyle \lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {C}})=\lim _{b\to 1^{-}}(b,{\mathsf {D}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {A}})=\lim _{z\to 1}(z,{\mathsf {B}})=1}$

이는 두 個의 盆地點, 卽 0과 1을 갖는다. 두 盆地點의 盆地 指標는 둘 다 2이다. 盆地點 밖에서, ${\displaystyle f\colon \Sigma _{0}\to \mathbb {CP} ^{1}}$는 2겹 被覆 空間 을 定義한다.

反對로, 그 逆函數 ${\displaystyle f^{-1}}$를 定義하려면, 열린區間 ${\displaystyle (0,1)}$에 盆地 絶斷을 加해야 한다.

位相數學敵으로, ${\displaystyle \Sigma _{0}}$은 하나의 “홈”李 파인 두 리만 區 를 짜깁기한 것이다. “홈”李 파인 리만 區 는 半球와 位相 同型 이므로, ${\displaystyle \Sigma _{0}}$은 位相數學敵으로 具를 이룬다 (卽, 리만 區 이다). 事實, 任意의 種數의 콤팩트 리만 曲面 을 위와 같이 리만 區 ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$의 盆地 被服으로 나타낼 수 있다. 具體的으로, 종수 ${\displaystyle g}$의 리만 曲面 ${\displaystyle \Sigma _{g}}$의 境遇, 위와 같은 “홈”李 ${\displaystyle g+1}$個 파인 두 리만 區 를 짜깁기하여 얻는다.

歷史 [ 編輯 ]

제곱根이나 로그 等, 複素數에 對한 여러 函數가 一般的으로 어떤 點에서 定義되지 못하거나, 또는 “여러 個의 값을 갖는다”는 現象은 複素數의 發見 以後 곧 알려졌다. 베른하르트 리만 이 1851年에 리만 曲面 을 導入하였으며, 이 現象을 嚴密하게 描寫하였다.

“盆地”(分枝)는 나뭇가지( 枝 )가 갈라진다( 分 )는 뜻으로, 이는 盆地點의 上 近處에서 正則 函數의 “ 逆函數 ”가 “여러 값을 갖는” 模樣을 빗댄 것이다.

參考 文獻 [ 編輯 ]

• 김용인 (2007). 《복소함수론 講義》 1板. 경문사. ISBN   89-7282-772-X .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Branch point” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Transcendental branch point” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Logarithmic branch point” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Algebraic branch point” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch point” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Branch cut” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Verrill, Helena. “Ramification index” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Branched cover of the Riemann sphere” . 《nLab》 (英語).