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微積分學
微積分學의 基本整理 函數의 極限 連續 函數 平均값 整理 롤의 整理
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v t e

微積分學 에서 不定積分 (不定積分, 英語 : indefinite integral )은 어떤 函數 를 導函數 로 하는 모든 函數를 求하는 演算이다. 否定的분이 存在할 境遇, 이는 恒常 固定된 函數와 任意의 常數의 合意 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 常數만큼의 車를 無視하면 不定積分은 微分 또는 導函數 를 求하는 演算의 逆演算이다.

正義 [ 編輯 ]

函數 ${\displaystyle f(x)}$ ( ${\displaystyle x\in I}$)가 주어졌을 때, 萬若 다음 條件을 만족시키는 函數 ${\displaystyle F(x)}$ ( ${\displaystyle x\in I}$)가 存在한다면, 이를 ${\displaystyle f(x)}$의 圓函數 (原函數, 英語 : antiderivative ) 또는 逆導函數 (逆導函數)라고 한다.

${\displaystyle F'(x)=f(x)\qquad \forall x\in I}$

函數 ${\displaystyle f(x)}$ ( ${\displaystyle x\in I}$)의 한 圓函數 ${\displaystyle F(x)}$가 存在할 境遇, ${\displaystyle f(x)}$의 모든 圓函數는 正確히 다음과 같다.

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=F(x)+C}$

이를 ${\displaystyle f(x)}$의 不定積分 이라고 한다. 여기서 ${\displaystyle C}$는 任意의 常數이며, 이를 積分常數 라고 부른다. 否定的분이 恒常 위와 같은 꼴임은 다음과 같이 證明할 수 있다. 于先 任意의 常數 ${\displaystyle C}$에 對하여, ${\displaystyle (C)'=0}$이므로, ${\displaystyle (F(x)+C)'=f(x)}$이다. 卽, ${\displaystyle F(x)+C}$는 ${\displaystyle f(x)}$의 圓函數이다. 또한 任意의 圓函數 ${\displaystyle G(x)}$에 對하여, ${\displaystyle (G(x)-F(x))'=0}$이므로, 平均값 整理 에 따라 ${\displaystyle G(x)-F(x)}$는 常數 函數이다. 따라서 ${\displaystyle G(x)}$는 ${\displaystyle G(x)=F(x)+C}$ 꼴로 나타낼 수 있다.

위와 같은 꼴의 不定積分 公式은 定義域을 이루는 各各의 區間에서만 有效하다. 例를 들어, ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$에 對한 다음과 같은 不定積分 公式이 成立하려면 두 區間 ${\displaystyle (0,\infty )}$ 및 ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ 가운데 하나를 選擇하여야 한다. ^{[1] :398-399}

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{x}}+C}$

全體 定義域 ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty )}$에서의 實際 不定積分은 다음과 같다. ^{[1] :398-399}

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\begin{cases}\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C&x>0\\\displaystyle -{\frac {1}{x}}+C'&x<0\end{cases}}}$

性質 [ 編輯 ]

微分과의 關係 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle f(x)}$의 否定的분이 存在한다면 다음이 成立한다.

${\displaystyle \left(\int f(x)\mathrm {d} x\right)'=f(x)}$

萬若 ${\displaystyle F(x)}$가 微分 可能 函數 라면 다음이 成立한다.

${\displaystyle \int F'(x)\mathrm {d} x=F(x)+C}$

이에 따라 常數 車를 無視하면 不定積分은 微分의 逆演算이다.

微積分學의 基本 整理 [ 編輯 ]

連續 函數 ${\displaystyle f(x)}$의 한 圓函數는 積分上限을 變數로 醉한 定積分으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\mathrm {d} x}$

反對로, 連續 函數 ${\displaystyle f(x)}$의 한 圓函數 ${\displaystyle F(x)}$가 주어졌을 때, 定積分은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

線型性 [ 編輯 ]

函數 ${\displaystyle f(x),g(x)}$의 否定的분이 存在한다면, ${\displaystyle f(x)\pm g(x)}$의 不定積分 亦是 存在하며, 다음이 成立한다.

${\displaystyle \int f(x)\pm g(x)\mathrm {d} x=\int f(x)\mathrm {d} x\pm \int g(x)\mathrm {d} x}$

函數 ${\displaystyle f(x)}$의 否定的분이 存在한다면, 常數 ${\displaystyle c}$에 對하여 ${\displaystyle cf(x)}$의 不定積分 亦是 存在하며, ${\displaystyle c\neq 0}$일 境遇 다음이 成立한다.

${\displaystyle \int cf(x)\mathrm {d} x=c\int f(x)\mathrm {d} x}$

이에 따라 不定積分은 線型 演算이다.

置換 積分 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle f(x)}$의 한 圓函數 ${\displaystyle F(x)}$가 存在하며, ${\displaystyle g(t)}$가 微分 可能 函數라면, 다음이 成立한다. ^{[2] :246, 整理6.2.1}

${\displaystyle \int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=\int f(x)\mathrm {d} x=F(g(t))+C}$

萬若 ${\displaystyle g(t)}$가 微分 可能 函數이며, ${\displaystyle g'(t)\neq 0}$가 成立하며, ${\displaystyle f(g(t))g'(t)}$의 한 圓函數 ${\displaystyle H(t)}$가 存在한다면, 다음이 成立한다. ^{[2] :252, 整理6.2.2}

${\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x=\int f(g(t))g'(t)\mathrm {d} t=H(g^{-1}(x))+C}$

部分 積分 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle f(x),g(x)}$가 微分 可能 函數이며, ${\displaystyle f'(x)g(x)}$의 否定的분이 存在한다면, 다음이 成立한다.

${\displaystyle \int f(x)g'(x)\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm {d} x}$

예 [ 編輯 ]

有理 函數 [ 編輯 ]

모든 ( 失手 ) 有理 函數 는 多項式과 眞分數式의 合으로 나타낼 수 있으며, 모든 眞分數式은 部分 分數 分解 를 통해 다음과 같은 꼴의 分數式들의 合으로 나타낼 수 있다.

• ${\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{m}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}}$

여기서 ${\displaystyle A,B,C,a,p,q\in \mathbb {R} }$은 失手이며 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}$은 陽의 精髓이다. 또한 ${\displaystyle p^{2}-4q<0}$을 만족시킨다. 이 두 가지 分數式의 不定積分은 다음과 같이 求할 수 있다.

${\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\mathrm {d} x=A\ln(x-a)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{m}}}\mathrm {d} x=-{\frac {A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}}+C\qquad (m>1)}$

${\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}\mathrm {d} x={\frac {B}{2}}\ln(x^{2}+px+q)+{\frac {2C-Bp}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\arctan {\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {B}{2(n-1)(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(C-Bp/2)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x\qquad (n>1)}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2(n-1)(q-p^{2}/4)}}\left({\frac {x+p/2}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}+(2n-3)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n-1}}}\mathrm {d} x\right)\qquad (n>1)}$

部分 分數 分解의 各 項이 初等 函數이므로, 모든 有理 函數의 不定積分은 初等 函數이다.

三角 有理 函數 [ 編輯 ]

三角 有理 函數는 ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$ 꼴의 函數를 뜻한다. 여기서 ${\displaystyle R(u,v)}$는 2變數 有理 函數이다. 이에 對한 否定的分에 다음과 같은 置換 積分을 使用하자.

${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=t,\;x=2\arctan t,\;\mathrm {d} x={\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

그러면 元來의 不定積分은 有理 函數의 不定積分으로 變한다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right){\frac {2}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t}$

萬若 ${\displaystyle R(-u,v)=-R(u,v)}$라면, 이는 恒常 ${\displaystyle R(u,v)=uR_{1}(u^{2},v)}$ 꼴로 나타낼 수 있다. 따라서 이 境遇 다음과 같은 더 簡便한 技法을 使用할 수 있다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \sin xR_{1}(\sin ^{2}x,\cos x)\mathrm {d} x=-\int R_{1}(1-t^{2},t)\mathrm {d} t\qquad (\cos x=t)}$

마찬가지로, 萬若 ${\displaystyle R(u,-v)=-R(u,v)}$라면, 이는 ${\displaystyle R(u,v)=vR_{1}(u,v^{2})}$ 꼴이므로, 이 境遇 普通 다음과 같은 技法이 더 簡便하다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int \cos xR_{1}(\sin x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(t,1-t^{2})\mathrm {d} t\qquad (\sin x=t)}$

萬若 ${\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v)}$라면, ${\displaystyle R(u,v)=R_{1}(u/v,v^{2})}$ 꼴이므로, 이 境遇 普通 다음과 같은 技法이 더 簡便하다.

${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\mathrm {d} x=\int R_{1}(\tan x,\cos ^{2}x)\mathrm {d} x=\int R_{1}\left(t,{\frac {1}{1+t^{2}}}\right){\frac {1}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t\qquad (\tan x=t)}$

事實 모든 有理 函數는 위와 같은 세 有理 函數의 合으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle R(u,v)={\frac {R(u,v)-R(-u,v)}{2}}+{\frac {R(-u,v)-R(-u,-v)}{2}}+{\frac {R(-u,-v)+R(u,v)}{2}}}$

無理 函數 [ 編輯 ]

無理 函數의 不定積分은 初等 函數가 아닐 수 있다. 그러나 다음과 같은 꼴의 不定積分은 初等函數이다.

${\displaystyle R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)}$

여기서 ${\displaystyle R(u,v)}$는 2變數 有理 函數이며, ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$는 陽의 精髓이며, ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$는 失手이다. 또한 ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$을 만족시킨다. 다음과 같은 置換 積分을 使用하자.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}=t,\;x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},\;\mathrm {d} x={\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t}$

그러면 元來의 不定積分은 有理 函數의 不定積分으로 變한다.

${\displaystyle \int R\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\mathrm {d} x=\int R\left({\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n}}},t\right){\frac {n(ad-bc)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}}\mathrm {d} t}$

函數 ${\displaystyle (a+bz)^{p}z^{q}}$를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$는 失手이며, ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Q} }$는 有理數이다. ${\displaystyle p,q,p+q}$ 가운데 적어도 하나가 整數일 境遇 이 不定積分은 初等 函數가 된다. ${\displaystyle p=r/s}$이며 ${\displaystyle q=r'/s'}$라고 하자. 여기서 ${\displaystyle r,s,r',s'\in \mathbb {Z} }$는 精髓이다. 萬若 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$일 境遇, 函數에 나오는 제곱根式은 ${\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}}$뿐이므로, 置換 積分 ${\displaystyle {\sqrt[{s'}]{z}}=t}$를 통해 求할 수 있다. 萬若 ${\displaystyle q\in \mathbb {Z} }$일 境遇, 函數에 나오는 제곱根式은 ${\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}}$뿐이므로, 亦是 置換 積分 ${\displaystyle {\sqrt[{s}]{a+bz}}=t}$를 통해 求할 수 있다. 萬若 ${\displaystyle p+q\in \mathbb {Z} }$일 境遇, 函數를 ${\displaystyle ((a+bz)/z)^{p}z^{p+q}}$와 같이 變形하였을 때 제곱根式은 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}}$뿐이므로, 置換 積分 ${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{s}]{(a+bz)/z}}=t}$를 통해 求할 수 있다.

보다 一般的으로, 函數 ${\displaystyle x^{m}(a+bx^{n})^{p}}$를 생각하자. 여기서 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$는 失手이며, ${\displaystyle m,n,p\in \mathbb {Q} }$는 有理數이다. 다음과 같은 置換 積分을 使用하자.

${\displaystyle x^{n}=z,\;x=z^{1/n},\;\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}z^{1/n-1}\mathrm {d} z}$

그러면 위와 같은 꼴의 函數의 不定積分으로 變한다.

${\displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\mathrm {d} x={\frac {1}{n}}\int (a+bz)^{p}z^{(m+1)/n-1}\mathrm {d} z}$

따라서 ${\displaystyle p,q=(m+1)/n-1,p+q}$ 가운데 적어도 하나가 整數일 境遇 이 不定積分은 初等 函數이다. 反對로 ${\displaystyle p,q,p+q}$가 整數가 아닐 境遇 이 不定積分은 初等 函數로 나타낼 수 없음을 19世紀 中葉에 파프累티 체비쇼프 가 證明하였다.

初等 函數로 나타낼 수 없는 不定積分 [ 編輯 ]

初等 函數 의 不定積分은 初等 函數가 아닐 수 있다. 例를 들어, 다음과 같은 否定的분들은 初等 函數가 아니다.

• ( 誤差 函數 ) ${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\mathrm {d} x}$
• ( 프레넬 函數 ) ${\displaystyle \int \sin x^{2}\mathrm {d} x}$
• ( 三角 積分 函數 ) ${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$
• ( 로그 積分 函數 ) ${\displaystyle \int {\frac {1}{\ln x}}\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \int x^{x}\mathrm {d} x}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x}$

같이 보기 [ 編輯 ]

• 定積分
• 積分票
• 記號積分
• 積分常數

各州 [ 編輯 ]