動的界 (動的系, dynamical system) 또는 動力學界 (動力學系)는 數學 의 한 分野로서, 媒介變數에 따른 變化 過程으로 定義된다. 現代的 意味에서의 動的界 硏究는 美國의 數學者 조지 데이비드 버코프 에서 始作된다. 오늘날 動的界 硏究는 主로 數學 分野에서 다뤄지고 있으나 實際로 數論 , 推計學 , 動力學 , 生物學 等 廣範圍하게 適用되고 있다.

一般的으로 時空間 變化에 따라 離散 과 連續體 로 區別된다. 卽, 이山 動的界(Discrete Dynamical System)와 連續 動的界(Continuum Dynamical System)로 나뉘어 硏究되고 있다. 一般的으로 微分方程式 에서 連續 動的界를 다루고 있으며, 位相數學 에서 이山, 連續 動的界를 모두 다루고 있다. 特히, 이 두가지를 混合하여 硏究하는 境遇 連續-離散 動的界 또는 混合 動的界 (Hybrid Dynamical System)로 表現되고 있다.

正義 [ 編輯 ]

• 動的界는 一般的으로 空集合이 아닌 時空間 또는 狀態空間 集合 ${\displaystyle X}$에서, ${\displaystyle T=\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} ,\mathbb {R} _{0}^{+}}$ 또는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$로 부터의 튜플 ${\displaystyle (T,X,f)}$이고, ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle T}$의 演算 ${\displaystyle f\colon \,T\times X\to X}$에 對해 모든 狀態 ${\displaystyle x\in X}$ 그리고 모든 時空間 ${\displaystyle t_{1},t_{2}\in T}$에서 다음이 成立된다:

1. ${\displaystyle f(0,x)=x}$   ( 同一性 )
2. ${\displaystyle f(t_{2},f(t_{1},x))=f(t_{2}+t_{1},x)}$   ( 反집合成 )

• ${\displaystyle T=\mathbb {N} _{0}}$ 또는 ${\displaystyle T=\mathbb {Z} }$ 일 때, ${\displaystyle (T,X,f)}$는 時間離散的 또는 이산的, 그리고 ${\displaystyle T=\mathbb {R} _{0}^{+}}$ 또는 ${\displaystyle T=\mathbb {R} }$ 裏面, ${\displaystyle (T,X,f)}$을 時間連續的 또는 連續的이라 한다. 그밖에 ${\displaystyle T=\mathbb {Z} }$ 또는 ${\displaystyle T=\mathbb {R} }$裏面, ${\displaystyle (T,X,f)}$는 實時間的 또는 可逆的이라 한다.

• 任意의 ${\displaystyle x\in X}$에 對해 자취 ${\displaystyle \beta _{x}\colon \,T\to X,\,t\mapsto \beta _{x}(t):=f(t,x)}$는 ${\displaystyle x=\beta _{x}(0)}$의 움직임, 그리고 集合 ${\displaystyle O(x):=\{\beta _{x}(t)\mid t\in T\}}$는 ${\displaystyle x}$의 軌道라 한다. 그리고 ${\displaystyle (T,X,f)}$이 可逆的日 때, ${\displaystyle x}$의 量의 半軌道는 ${\displaystyle O^{+}(x):=\{\beta _{x}(t)\mid t\in T\cap \mathbb {R} _{0}^{+}\}}$이고, ${\displaystyle O^{-}(x):=\{\beta _{x}(t)\mid -t\in T\cap \mathbb {R} _{0}^{+}\}}$는 音의 半軌道가 된다.

• 狀態 空間 ${\displaystyle X}$ 이 空集合이 아닌 距離 空間 이고, 各 時點 ${\displaystyle t\in T}$이 ${\displaystyle \varphi _{t}\colon \,X\to X,\,x\mapsto \varphi _{t}(x):=f(t,x)}$을 갖는 變換 ${\displaystyle \varphi _{t}\colon \,X\to X,\,x\mapsto \varphi _{t}(x):=f(t,x)}$이 連續일 때, 離散 動的界 ${\displaystyle (T,X,f)}$는 連續이다. 狀態 空間 ${\displaystyle X}$ 이 距離 空間 이고, 各 視點을 갖는 變換 및 各 狀態의 움직임이 連續일 때, 連續 動的界 ${\displaystyle (T,X,f)}$는 連續이다. 離散 動的系와 連續 動的系의 連續條件을 모두 滿足할 때, 混合 動的啓螺한다.

應用 [ 編輯 ]

物理學 [ 編輯 ]

해밀토니안 界, 微分可能한 流體에서 適用된다.

生物學 [ 編輯 ]

疾病의 傳染性을 다루는 SIR-Model(Susceptible-Infected-Recovered-Model)에서 適用된다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 認知 모델
• 振動
• 샤르코우스키 整理
• 시스템 다이내믹스
• 體系 理論

參考 文獻 [ 編輯 ]

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動力學界

• G.D. Birkhoff: Dynamical Systems. Rev. Ed.. AMS, Providence, RI, 1966.
• J. Guckenheimer, Ph. Holmes: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Corr. 3rd printing. Springer, New York 1990. ISBN   3-540-90819-6
• Diederich Hinrichsen, Anthony J. Pritchard: Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer, 2005.
• Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos , B.G. Teubner, Stuttgart?Leipzig 1998. ISBN   3-519-02391-1
• R.S. Sreenivas, B.H. Krogh: ON Condition/Event Systems with Discrete State Realization. Discrete Event Dynamic Systems: Theory and Application 1. 1991. p. 209ff.
• J. de Vries: Elements of Topological Dynamics. Springer, 1993.