數學 에서 固定點 (固定點, 英語 : fixed point ) 또는 不動點 (不動點, 英語 : invariant point )은 函數 나 變換 따위에서 옮겨지지 않는 點이다. 失手 위의 函數의 固定點은 그래프 와 直線 ${\displaystyle y=x}$의 交點에 對應한다. 例를 들어, 函數 ${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4}$의 한 固定點은 2이며, 이는 ${\displaystyle f(2)=2}$利器 때문이다. 反面 函數 ${\displaystyle g(x)=x+1}$는 고정점을 가지지 않는데, 이는 그 그래프가 直線 ${\displaystyle y=x}$의 平行線 利器 때문이다. 射影幾何學 에서, 射影 變換 의 고정점을 二重點 (二重點, double point )이라고 한다. ^[1] 갈루아 理論 에서, 체 自己 同型 集合의 固定點이 이루는 체 를 그 體 自己 同型 集合의 高正體 (固定體, 英語 : fixed field )라고 한다.

正義 [ 編輯 ]

函數 ${\displaystyle f\colon X\to X}$의 固定點 은 ${\displaystyle f(x)=x}$를 만족시키는 ${\displaystyle x\in X}$이다.

고정점은 주기점 의 특수한 境遇이다. 또한, 고정점은 끌개 의 특수한 境遇이다.

位相 空間 ${\displaystyle X}$가 다음 條件을 만족시키면, 固定點 性質 (固定點性質, 英語 : fixed-point property , 弱者 FPP)라고 한다.

• 任意의 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X\to X}$는 고정점을 갖는다.

函數 ${\displaystyle f\colon X\to X}$의 誘引 固定點 (誘引不動點, attractive fixed point )은 다음 條件을 만족시키는 近方 ${\displaystyle X\supseteq U\ni x}$를 갖는 固定點 ${\displaystyle x\in X}$이다.

• 任意의 ${\displaystyle y\in U}$에 對하여, 點列 ${\displaystyle (y,f(y),f(f(y)),\dots )}$는 ${\displaystyle x}$로 收斂 한다.

誘引 고정점의 近似값은 그 周圍의 點을 初期값으로 한 函數 反復 點列에 依한 漸近을 통해 求할 수 있다. 이를 통해 방정시 ${\displaystyle f(x)=x}$의 近似解를 求하는 方法을 固定點 反復法 (固定點反復法, 英語 : fixed-point iteration )이라고 한다.

랴푸노프 安定性 을 만족시키는 고정점을 安定 固定點 (安定不動點, stable fixed point )이라고 한다. 랴푸노프 安定性을 만족시키는 非(非) 誘引 고정점을 中立 安定 固定點 (中立安定不動點, neutrally stable fixed point )이라고 한다.

전고정點과 後고정점 [ 編輯 ]

部分 順序 集合 ${\displaystyle (X,\leq )}$ 위의 函數 ${\displaystyle f\colon X\to X}$가 萬若 ^[2]

• ${\displaystyle f(x)\geq x}$를 만족시키면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle f}$의 全高頂點 ( 英語 : prefixpoint )이라고 한다.
• ${\displaystyle f(x)\leq x}$를 만족시키면, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle f}$의 後고정점 ( 英語 : postfixpoint )이라고 한다.

性質 [ 編輯 ]

固定點 性質은 位相 不變 性質 이다. 卽, 任意의 位相同形史上 에 依하여 保存된다. 또한, 固定點 性質은 任意의 變形 收縮 에 對하여 保存된다.

固定點이 存在할 充分 條件 을 提示하는 整理를 固定點 整理 (固定點定理, 英語 : fixed-point theorem )라고 한다. 重要한 固定點 整理는 다음과 같다.

• 바나흐 固定點 整理
• 브라우어르 固定點 整理
• 렙셰츠 固定點 整理

萬若 ${\displaystyle f\colon I\to I}$가 區間 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 위의 連續 微分 可能 函數 이며, 그 固定點 ${\displaystyle x\in I}$가 ${\displaystyle |f'(x)|<1}$을 만족시킨다면, ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle f}$의 誘引 固定點이다. 實際 誘引 固定點에 對한 反復法에서, ${\displaystyle |x_{n+1}-x_{n}|}$이 願하는 誤差보다 작아질 때 固定點 反復을 몇 番째 計算에서 멈추는지 決定할 수 있다. ^[3]

고정점은 誘引 固定點이 아닐 수 있다. 例를 들어, 函數 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x\mapsto 2x}$는 唯一한 固定點 0을 가지지만, 任意의 ${\displaystyle x\neq 0}$에 對하여, 水熱 ${\displaystyle x,2x,4x,8x,\dots }$는 發散 한다.

크나스터-타르스키 整理 에 依하면, 完備 格子 위의 短調 函數 는 最小 고정점을 가지며, 이는 最小 全高定點과 一致한다. (마찬가지로 最大 고정점을 가지며, 最大 後考定點과 一致한다.

예 [ 編輯 ]

三角 函數 ${\displaystyle \cos \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 바나흐 固定點 整理 에 따라 唯一한 고정점을 가지며, 이는 誘引 固定點이다. 또한, 任意의 失手 ${\displaystyle x_{0}}$에 對하여, 函數 反復 點列

${\displaystyle x_{n+1}=\cos x_{n}}$

은 固定點으로 收斂한다.

2係 第次 線型 微分 方程式의 中心은 中立 安定 고정점의 例다.

應用 [ 編輯 ]

많은 分野에서 坪型, 또는 安定性 은 固定點으로 說明할 수 있는 核心 槪念이다. 例를 들어 經濟學 에서 內侍 均衡 은 게임 의 最適 反應 函數의 固定點이다. 物理學 의 相轉移 理論 에서, 不安定 固定點 附近에서의 線形化는 윌슨 의 노벨 物理學賞 '受賞作'인 再規格化軍 으로 이어졌다.

컴파일러 에서, 固定點 計算은 프로그램 分析에 使用된다. 그 例로 데이터 흐름 分析 이 있다.

웹페이지의 페이지랭크 벡터는 월드 와이드 웹 의 링크 構造에서 얻어지는 線型變換 의 固定點이다.

논리학자 솔 크립키 는 그의 影響力 있는 眞理 理論에 고정점을 活用하였다.

고정점의 槪念을 函數의 收斂性 의 正義에 使用할 수 있다.

전고정點과 後考頂點은 理論 電算學 에서 應用된다. ^[4]

歷史 [ 編輯 ]

1932年, 카롤 보르수크 는 콤팩트性 과 縮約 可能性 이 固定點 性質의 必要充分條件 이냐는 質問을 내놓았다. 이는 20年 後 신이치 키노시타 가 固定點 性質을 만족시키지 않는 콤팩트 縮約 可能 空間 을 發見해 거짓임이 證明되었다. ^[5]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 固有 벡터
• 평형점
• 臨界點 (數學)
• 뫼비우스 變換
• 不變量
• 멱等 法則
• 닐슨 理論
• 時에르핀스키 三角形
• 코에닉스 函數
• 漸化式

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• Animations for Fixed Point Iteration (英語)
• An Elegant Solution for Drawing a Fixed Point (英語)