標準 偏差 (標準 偏差, 英語 : standard deviation , SD )는 統計集團의 分散 의 程度 또는 資料의 散布度 를 나타내는 數値로, 分散 의 音이 아닌 제곱根 卽, 分散을 제곱根韓 것으로 定義된다. 標準偏差가 작을수록 平均값에서 變量들의 距離가 가깝다. ^[1] 統計學 과 確率 에서 主로 確率의 分布, 確率變數 或은 測定된 人口나 重複集合 에 適用된다. 慣例에 따라 母集團은 그리스文字 로 標本은 英語 알파벳 으로 表記하는데, 母集團 의 標準偏差는 ${\displaystyle \sigma }$(시그마)로, 標本 의 標準偏差는 ${\displaystyle s}$(에스)로 나타낸다. ^[2]

偏差 (deviation)는 觀測값 에서 平均 또는 中央값 을 뺀 것이다.

分散 (variance)은 觀測값에서 平均을 뺀 값을 제곱 하고, 그것을 모두 더한 後 全體 個數로 나눠서 救한다. 卽, 差異값의 제곱의 平均이다. 觀測값에서 平均을 뺀 값인 偏差를 모두 더하면 0이 나오므로 제곱해서 더한다.

標準 偏差(standard deviation)는 分散을 제곱根 한 것이다. 偏差들(deviations)의 제곱合 (SS, sum of square)에서 얻어진 값의 平均値인 分散의 性質로부터 다시 제곱根해서 元來 單位로 만들어줌으로써 얻게된다.

某 標準 偏差(population standard deviation) σ는 母集團의 標準 偏差이다. 某 分散 σ ² 에 제곱根을 씌워서 救한다.

標本 標準 偏差(sample standard deviation) s는 標本의 標準 偏差이다. 標本 分散 s ² 에 제곱根을 씌워서 救한다.

正義 [ 編輯 ]

確率 變數 X 의 期待값 ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$를 ${\displaystyle \mu }$라 하자. 이 때 母集團 X 의 標準偏差 ${\displaystyle \sigma _{X}}$는 다음과 같이 定義한다. ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]+\operatorname {E} [-2\mu X]+\operatorname {E} \left[\mu ^{2}\right]}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu \operatorname {E} [X]+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}}}\end{aligned}}}$

誘導過程에서 期待값의 性質 이 使用되었다. 標準偏差는 分散 의 제곱根과 같은 意味를 가진다.

統計的 推定 [ 編輯 ]

同一 輕重率인 境遇 [ 編輯 ]

輕重率 이 同一한 境遇 標本 內의 어떤 變因 x가 가지는 母集團 에서 標本(sample)의 標準偏差의 推定値 s는 다음과 같다.

${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma (x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma \nu ^{2}}{n-1}}}}$

${\displaystyle s}$ : 標本의 標準偏差

${\displaystyle x}$ : 變因

${\displaystyle {\overline {x}}}$ : 標本의 平均

${\displaystyle n}$ : 標本의 크기

${\displaystyle \nu }$ : 盞車

分母를 n-1로 나누는 理由는 分散을 計算할 때 母平均이 아닌 標本 平均을 使用했기 때문에 母集團의 便宜 推定量 (biased estimator)李 되므로, 分散이 不便 推定量 (unbiased estimator)李 되도록 하기 위해서이다. ^[4] n-1을 自由도 (degree of freedom)라고 본다. ^[5]

輕重率이 다른 境遇 [ 編輯 ]

輕重率 을 w라 할 때, ${\displaystyle \Sigma w=n}$인 境遇에는 標本(sample) 標準偏差 s를 다음과 같이 求한다. ^[4]

${\displaystyle s=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w(x-{\overline {x}})^{2}}{n-1}}}=\pm {\sqrt {\frac {\Sigma w\nu ^{2}}{n-1}}}}$

같이 보기 [ 編輯 ]

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標準 偏差

• 偏差
• 標準 點數
• 平均偏差
• 68-95-99.7 規則 (經驗的인 規則)
• 標準誤差
• 絶對偏差
• 共分散
• 變異 假說 (variability hypothesis)
• 分散

各州 [ 編輯 ]

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