臺數 救助
軍 關聯 範疇   · 마그마   · 叛軍   · 某盧이드   · 準群   · 아벨 軍   · 位相群   · 里 軍
換 關聯 類似환   · 可換環   · 程驛   · 데데킨트 程驛   · 唯一 因數 分解 程驛   · 週 아이디얼 程驛   · 유클리드 程驛   · 위상환
체 關聯 나눗셈환   · 체   · 順序體   · 代數的 수체
家君 關聯 아벨 軍   · 自由 家君   · 射影 家君   · 平坦 家君   · 벡터 空間
臺數 關聯 等急患   · 敎大 臺數   · 結合 臺數   · 리 臺數   · 요르단 臺數   · 호프 臺數   · 兩者群
格子 關聯 反擊子   · 모듈러 格子   · 分配 格子   · 完備 格子   · 헤이팅 臺數   · 불 臺數
v t e

順序論 과 抽象代數學 , 論理學 에서 불 臺數 (Boole代數, 英語 : Boolean algebra )는 苦戰 命題 論理 의 命題의 格子 와 같은 性質을 갖는 格子이다. 卽, 論理的 公理들을 만족시키는 論理合 과 論理곱 및 否定 의 演算이 定義된 臺數 救助 이다.

正義 [ 編輯 ]

불 臺數의 槪念은 다양하게 定義할 수 있으며, 이 定義들은 서로 同治 이다.

• 불 臺數는 特定 條件을 만족시키는 유계 格子 (또는 直交 餘원 格子 또는 헤이팅 臺數 )로 여길 수 있다.
• 불 臺數는 特定 條件을 만족시키는 可換環 으로 여길 수 있다.
• 불 臺數의 範疇는 스톤 空間 (Stone空間, 英語 : Stone space )이라는 特定 位相 空間 의 範疇의 反對 範疇이다. 이를 通해, 불 代數를 特定 位相 空間 속의 特定 集合族 으로 여길 수 있다.

直交 餘원 格子를 통한 正義 [ 編輯 ]

直交 餘원 格子 에 對하여 다음 條件들이 서로 同治 이며, 이를 만족시키는 直交 餘원 格子 를 불 臺數 라고 한다.

• 分配 格子 이다.
• 任意의 元素 ${\displaystyle x\in L}$에 對하여, ${\displaystyle c\land x=\bot }$이며 ${\displaystyle c\lor x=\top }$人 ${\displaystyle c\in L}$가 唯一하게 存在한다. (이는 勿論 ${\displaystyle \lnot x}$이다.)
• (엘칸 法則 英語 : Elkan’s law ) 任意의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 對하여, ${\displaystyle \lnot (a\land \lnot b)=b\lor \lnot a\land \lnot b}$^[1]
• 直交모듈러 格子 이며, 任意의 元素 ${\displaystyle x\in L\setminus \{\bot \}}$에 對하여, 다음 세 條件들을 만족시키는 函數 ${\displaystyle s\colon L\to \{0,1\}}$가 存在한다. ^[2]
  • ${\displaystyle s(\top )=s(x)=1}$
  • 任意의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 對하여, ${\displaystyle s(a\lor b)\leq \max\{s(a),s(b)\}}$
  • 任意의 ${\displaystyle a,b\in L}$에 對하여, ${\displaystyle a\leq \lnot b}$라면 ${\displaystyle s(a\lor b)=\max\{s(a),s(b)\}}$

불 臺數의 蠢動型 은 餘원과 ${\displaystyle \top }$ 및 ${\displaystyle \bot }$을 保存시키는 格子 蠢動型이다. 불 臺數의 定義는 代數的이므로, 불 臺數의 모임 은 臺數 救助 多樣體 를 이룬다.

유계 格子를 통한 正義 [ 編輯 ]

유계 格子 ${\displaystyle L}$에 對하여 다음 條件들이 서로 同治 이며, 이를 만족시키는 格子 를 불 臺數 라고 한다.

• 모듈러 格子 이며, 任意의 ${\displaystyle x\in L}$에 對하여, ${\displaystyle x\land c=\bot }$利子 ${\displaystyle x\lor c=\top }$人 元素 ${\displaystyle c\in L}$가 唯一하게 存在한다. ^[3]
• 分配 格子 이며, 任意의 ${\displaystyle x\in L}$에 對하여, ${\displaystyle x\land c=\bot }$利子 ${\displaystyle x\lor c=\top }$人 元素 ${\displaystyle c\in L}$가 적어도 하나 以上 存在한다.
• 任意의 ${\displaystyle x\in L}$에 對하여, ${\displaystyle x\land c=\bot }$利子 ${\displaystyle x\lor c=\top }$人 元素 ${\displaystyle c\in L}$가 唯一하게 存在하며, 또한 ${\displaystyle \textstyle x=\bigvee A}$人 ${\displaystyle A\subseteq \min(X\setminus \{\bot \})}$가 存在한다. ^[4]

여기서 ${\displaystyle \min(X\setminus \{\bot \})}$는 部分 順序 集合 ${\displaystyle X\setminus \{\bot \}}$의 極小 元素 들의 集合이다.

헤이팅 臺數를 통한 正義 [ 編輯 ]

헤이팅 臺數 ${\displaystyle H}$에 對하여,

${\displaystyle \lnot x=(x\implies \bot )}$

를 定義하자. 그렇다면 다음 條件들이 서로 同治 이며, 이를 만족시키는 헤이팅 臺數 를 불 臺數 라고 한다.

• ( 大蛤 ) ${\displaystyle \lnot }$은 大蛤 이다. 卽, 任意의 ${\displaystyle x\in H}$에 對하여, ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$이다.
• ( 排中律 ) 모든 元素 ${\displaystyle x\in H}$에 對하여, ${\displaystyle x\lor \lnot x=\top }$이다.

이 境遇, ${\displaystyle (H,\lnot )}$은 直交 餘원 格子 를 이룬다.

환論的 定義 [ 編輯 ]

(單位元을 갖는) 換 ${\displaystyle R}$에 對하여 다음 두 條件이 서로 同治 이며, 이를 만족시키는 換 을 불 臺數 라고 한다.

• 모든 元素가 멱登院 이다. 卽, 모든 ${\displaystyle x\in B}$에 對하여, ${\displaystyle x^{2}=x}$이다. ^{[5] :39, Definition 1}
• ${\displaystyle R}$는 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$의 直接곱 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}^{\times \kappa }}$의 部分環 과 同型이다 ( ${\displaystyle \kappa }$는 任意의 期數 ).

特히, 者名宦 은 불 臺數이다. (둘째 正義에서 이는 ${\displaystyle \kappa =0}$에 該當한다.)

불 臺數 蠢動型 銀 두 불 臺數 사이의 換 蠢動型 이다.

位相數學的 定義 [ 編輯 ]

스톤 空間 ( 英語 : Stone space )은 콤팩트 完全 分離 하우스도르프 空間 이다. ^[6] 스톤 空間과 連續 函數 의 範疇를 ${\displaystyle \operatorname {Stone} }$이라고 쓰자.

스톤 空間의 열린닫힌集合 들의 族은 유계 格子 를 이룬다. 스톤 空間의 열린닫힌集合 들의 族과 同型인 유계 格子 를 불 臺數 라고 한다.

열린닫힌集合 의 連續 函數 아래의 原狀 은 열린닫힌集合 이다. 따라서, 두 불 臺數 ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle B'}$에 對應하는 스톤 空間 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X'}$가 주어졌을 때, 連續 函數 ${\displaystyle f\colon X'\to X}$는 函數

${\displaystyle f^{-1}\colon B\to B'}$

를 誘導한다. 두 불 臺數 사이의 불 臺數 蠢動型 은 이와 같이 스톤 空間 사이의 連續 函數 로 誘導될 수 있는 函數이다.

이에 따라, 다음과 같은 範疇의 童穉 가 存在한다.

${\displaystyle \operatorname {Stone} \simeq \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }}$

이 定義가 불 臺數의 다른 定義들과 同治 라는 事實은 스톤 表現 整理 ( 英語 : Stone representability theorem )라고 한다.

特히, 이 定義는 환論的 正義와 다음과 같은 關係를 갖는다. 모든 可換環 에 對하여, 스펙트럼 이라는 位相 空間 을 對應시킬 수 있으며, 이는 可換環 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$의 反對 範疇 에서 位相 空間의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$로 가는 함자

${\displaystyle \operatorname {Spec} \colon \operatorname {CRing} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Top} }$

를 定義한다. 萬若 이 可換環 이 불 代數를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 空間을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌集合 族 함자의 역함者이다. 卽, 다음과 같은 두 銜字가 存在하며, 이는 範疇의 童穉 를 이룬다.

${\displaystyle \operatorname {Spec} \colon \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Stone} }$

${\displaystyle \operatorname {Clopen} \colon \operatorname {Stone} \to \operatorname {Bool} ^{\operatorname {op} }}$

불 臺數의 스펙트럼은 다음과 같이 直接的으로 描寫할 수 있다. 불 臺數의 極大 아이디얼 은 極大 順序 아이디얼 과 一致하며, 불 臺數의 雙大成에 따라 이는 極大 필터 와 一對一 對應한다. 따라서, ${\displaystyle 2}$가 두 個의 元素의 불 臺數라면, 極大 필터들의 集合은 ${\displaystyle \hom _{\operatorname {Bool} }(B,2)}$이다. 이 위에 다음과 같은 基底 로 生成되는 位相을 附與하면, 스톤 空間을 이룬다.

${\displaystyle \{\{{\mathcal {U}}\in \operatorname {Spec} (B)\colon b\in {\mathcal {U}}\}\}_{b\in B}}$

이는 ${\displaystyle 2}$에 離散 位相 을 附與하고, 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=2^{B}}$에 곱位相 을 附與한 뒤, ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)\subset {\mathcal {P}}(B)}$에 部分 空間 位相을 附與한 것과 같다.

範疇論的 定義 [ 編輯 ]

모든 願順序 集合 은 작은 얇은 範疇 로 看做할 수 있다. 이 境遇, 部分 順序 集合 은 서로 同型인 두 對象이 恒常 같은 願順序 集合 이며, 헤이팅 臺數 는 有限 完備 範疇 利子 有限 雙대 完備 範疇 利子 데카르트 닫힌 範疇 人 部分 順序 集合 이다.

불 臺數 는 다음 條件을 만족시키는 작은 얇은 範疇 이다. ^[7]

• 서로 同型인 두 對象은 같다.
• 有限 完備 範疇 이며 有限 雙대 完備 範疇 이다.
• 데카르트 닫힌 範疇 이다.
• 任意의 두 對象 ${\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}$에 對하여, 다음과 같은 同型 이 存在한다. (이들은 드 모르간 法則 을 範疇論 敵 用語로 飜譯한 것이다.)

  ${\displaystyle X\times Y\cong 0^{0^{X}\sqcup 0^{Y}}}$

  ${\displaystyle 0^{X\times Y}\cong 0^{X}\sqcup 0^{Y}}$

여기서 ${\displaystyle \times }$는 範疇論的 곱 이며, ${\displaystyle \sqcup }$는 雙대곱 이며, ${\displaystyle 0}$은 始作 對象 이며, ${\displaystyle A^{B}}$는 指數 對象 이다.

서로 다른 定義들의 比較 [ 編輯 ]

불 臺數의 서로 다른 定義들은 다음과 같이 對應된다.

解釋	可換環	格子	直交 餘원 格子	헤이팅 臺數	스톤 空間 ${\displaystyle X}$의 部分 集合	範疇論的 定義
論理곱	곱 ${\displaystyle x\cdot y}$	만남 ${\displaystyle x\land y}$			交集合 ${\displaystyle x\cap y}$	곱 ${\displaystyle x\times y}$
排他的 論理合	合 ${\displaystyle x+y}$	${\displaystyle x\land y\land c=\bot }$, ${\displaystyle (x\land y)\lor c=\top }$라면, ${\displaystyle (x\lor y)\land c}$	${\displaystyle (x\lor y)\land \lnot (x\land y)}$	${\displaystyle (x\lor y)\land \left((x\land y)\Rightarrow \bot \right)}$	${\displaystyle (x\setminus y)\cup (y\setminus x)}$	${\displaystyle (x\times 0^{y})\sqcup (y\times 0^{x})}$
論理合	${\displaystyle x+y+xy}$	이음 ${\displaystyle x\lor y}$			合集合 ${\displaystyle x\cup y}$	雙대곱 ${\displaystyle x\sqcup y}$
거짓	덧셈 恒等元 ${\displaystyle 0}$	最小 元素 ${\displaystyle \bot }$			空集合 ${\displaystyle \varnothing }$	始作 對象 ${\displaystyle 0}$
참	곱셈 恒等元 ${\displaystyle 1}$	最大 元素 ${\displaystyle \top }$			全體 集合 ${\displaystyle X}$	끝 對象 ${\displaystyle 1}$
否定	${\displaystyle 1+x}$	${\displaystyle x\land c=\bot }$, ${\displaystyle x\lor c=\top }$人 唯一한 ${\displaystyle c}$	直交 餘원 ${\displaystyle \lnot x}$	${\displaystyle x\Rightarrow \bot }$	餘集合 ${\displaystyle X\setminus x}$	指數 對象 ${\displaystyle 0^{x}}$
含意	${\displaystyle 1+x+xy}$	${\displaystyle x\land c=\bot }$, ${\displaystyle x\lor c=\top }$라면, ${\displaystyle c\lor y}$	${\displaystyle \lnot x\lor y}$	${\displaystyle x\Rightarrow y}$	${\displaystyle (X\setminus x)\cup y}$	指數 對象 ${\displaystyle y^{x}}$

性質 [ 編輯 ]

順序論的 性質 [ 編輯 ]

다음과 같은 함의 關係가 成立한다.

	完備 格子	?	完備 헤이팅 臺數	?	完備 불 臺數
					?
	?		?		시그마 臺數
					?
願順序 集合 ? 部分 順序 集合 ?	유계 格子	?	헤이팅 臺數	?	불 臺數

불 代數를 可換環 으로 여겼을 때, 그 아이디얼 은 順序 아이디얼 과 一致한다.

환論的 性質 [ 編輯 ]

다음과 같은 함의 關係가 成立한다.

可換環 ? 可換 軸召喚 ? 可換 反원시환 ? 可換 폰 노이만 정칙환 ? 불 臺數

任意의 불 臺數 ${\displaystyle B}$는 可換環 이고 票數 가 2이며 (卽 모든 元素는 自身의 덧셈 逆元이다) 따라서 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ 위의 結合 臺數 이다. ^{[5] :39?40, Theorem 1}

(그러나 그 驛은 成立하지 않는다. 例를 들어, 多項式環 ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$는 ${\displaystyle x^{2}\neq x}$이므로 불 대수가 아니다.)

아이디얼 [ 編輯 ]

불 臺數의 任意의 몫환 은 불 臺數이다. 불 臺數의 任意의 部分環 은 불 臺數이다.

불 臺數의 스펙트럼 은 스톤 空間이다. 特히, 불 臺數의 모든 소 아이디얼 은 極大 아이디얼 이다. 불 臺數 ${\displaystyle B}$의 任意의 極大 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} B}$에 對한 몫환 은 크기 2의 柔한체 이다.

${\displaystyle B/{\mathfrak {p}}\cong \mathbb {F} _{2}}$

불 臺數는 폰 노이만 정칙환 이며, 따라서 그 위의 모든 家君 은 平坦 家君 이다.

불 臺數의 모든 有限 生成 아이디얼 은 週 아이디얼 이다. 具體的으로

${\displaystyle (x,y)=(x+y+xy)}$

이다.

範疇論的 性質 [ 編輯 ]

불 臺數의 모임은 臺數 救助 多樣體 를 이루며, 따라서 그 範疇는 完備 範疇 利子 雙대 完備 範疇 이며 自由 對象 을 갖는다.

예 [ 編輯 ]

冪集合 [ 編輯 ]

任意의 集合 ${\displaystyle S}$의 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$은 크기가 ${\displaystyle 2^{|S|}}$人 불 代數를 이룬다. 反對로, 모든 有限 불 臺數는 어떤 有限 集合의 冪集合의 불 代數와 同型 이다. 特히, 空集合의 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}$은 가장 작은 불 臺數이며, 또한 ${\displaystyle \top =\bot }$人 唯一한 불 臺數이다.

集合 ${\displaystyle S}$에 對하여, 冪集合 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$에 對應하는 스톤 空間은 ${\displaystyle S}$의 스톤-체흐 콤팩트火 이다.

冪集合과 동형이 아닌 無限 불 臺數 또한 存在한다. 例를 들어, 集合 ${\displaystyle S}$ 및 期數 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌을 때,

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(S)=\left\{T\subset S|\kappa >\min\{|T|,|S\setminus T|\}\right\}}$

로 定義하자. 萬若 ${\displaystyle \kappa =0}$이거나 ${\displaystyle \kappa \geq \aleph _{0}}$이라면, 이는 둘 다 불 代數를 이룬다. 例를 들어, ${\displaystyle |S|=\aleph _{0}}$일 境遇, ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\aleph _{0}}(S)}$는 크기가 ${\displaystyle \aleph _{0}}$人 불 臺數이며, 따라서 冪集合 과 同型일 수 없다.

自由 불 臺數 [ 編輯 ]

불 臺數는 臺數 救助 多樣體 를 이루므로, 任意의 生成院의 集合에 對應하는 自由 불 代數가 存在한다.

스톤 表現 整理에 따라서, 任意의 旗手 ${\displaystyle \kappa }$에 對하여, ${\displaystyle \kappa }$個의 生成院으로부터 生成되는 自由 불 代數에 對應하는 스톤 空間은

${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \{0,1\}}$은 2個의 點을 가진 離散 空間 이며, ${\displaystyle \{0,1\}^{\kappa }}$에는 곱 位相 乙 준다. 이 境遇, ${\displaystyle \alpha }$番째 生成院은 튜플 의 ${\displaystyle \alpha }$番째 成分이 1人 모든 元素들로 構成된 열린닫힌集合 에 對應한다.

萬若 ${\displaystyle \kappa }$가 踰限할 境遇, 自由 불 臺數의 크기는 ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$이며, 萬若 ${\displaystyle \kappa }$가 無限할 境遇 自由 불 臺數의 크기는 ${\displaystyle \kappa }$이다.

思惟한군 [ 編輯 ]

스톤 空間을 이루는 位相群 은 思惟한군 이라고 한다.

應用 [ 編輯 ]

論理學 [ 編輯 ]

論理學에서, 불 臺數는 苦戰 命題 論理 의 模型 을 提供한다. 萬若 苦戰 命題 論理를 直觀 論理 로 약화시키면, 불 臺數 代身 헤이팅 臺數 를 使用하여야 한다.

컴퓨터 科學 [ 編輯 ]

불 臺數는 디지털 回로 設計에 應用된다. 디지털 回路는 電壓 의 H(High), L(Low)만으로 情報를 演算하기 때문에, 基本的으로 組合 回로 는 불 代數에 있는 論理式 을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 等 順次 回로 는 單純하게 하나의 論理式으로 나타낼 수 없다.) 높은 電壓(H)를 1로, 낮은 電壓(L)을 0으로 하는 論理 形式을 情論理, 낮은 電壓 (L)을 1로, 높은 電壓(H)를 0으로 하는 論理 形式을 負論理라고 한다.

歷史 [ 編輯 ]

불 臺數의 槪念은 1847年에 조지 불 이 論理學을 形式化하기 위하여 導入하였다. ^{[8] [9]} 以後 불은 1854年의 著書에서 이 槪念을 追加로 說明하였다. ^[10] 불은 論理곱 과 排他的 論理合 을 기초적 演算으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 代數를 可換環 의 一種으로 여기는 것과 같다.

以後 윌리엄 스탠리 제번스( 英語 : William Stanley Jevons , 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스 (1839~1914) · 에른스트 슈뢰더( 獨逸語 : Ernst Schroder , 1841~1902) 等이 불의 論理 臺數의 硏究를 繼續하였다. 제번스는 1864年의 著書에서 불이 使用한 排他的 論理合 代身 (排他的이지 않은) 論理合 을 最初로 使用하였다. ^[11] 이 冊에서 제번스는 다음과 같이 적었다.

“	불 敎授는 ‘+’ 記號를 使用하여 項들을 結合시킬 때, 이들이 서로 論理的으로 反對되는 것이라는 것을 假定합니다. 卽, 이들은 같은 對象에 矛盾 없이 適用되거나 結合될 수 없습니다. […] 이에 對하여 나는 異議를 提起합니다. 日常的인 接續詞의 用例에서는 서로 排他的이지 않은 項들을 結合시킬 수 있습니다. […] 例를 들어, "貴族은 工作 이거나 侯爵 이거나 伯爵 이거나 自作 이거나 男爵 이다."라는 命題를 불 敎授의 記號로 나타낸다면, 貴族이 工作이자 同時에 侯爵, 또는 侯爵이자 同時에 伯爵이 될 수 없습니다. 그러나 實際로는 많은 貴族들은 두 個 以上의 作爲들을 所有합니다. 例를 들어, 웨일스 공 은 콘월 工作 利子 체스터 伯爵 利子 렌프루 男爵 입니다. Professor Boole uses the symbol + to join terms together, on the understanding that they are logical contraries, which cannot be predicated of the same thing or combined together without contradiction. […] This I altogether dispute. In the ordinary use of these conjunctions, we do not necessarily join logical contraries only; […] Take, for instance, the proposition?‘A peer is either a duke, or a marquis, or an earl, or a viscount, or a baron.’ If expressed in Professor Boole’s symbols, it would be implied that a peer cannot be at once a duke and marquis, or marquis and earl. Yet many peers do possess two or more titles, and the Prince of Wales is Duke of Cornwall, Earl of Chester, Baron Renfrew, &c.	”
	— [11] :76, §177?179

1913年 論文에서 美國의 헨리 모리스 셰퍼( 英語 : Henry Maurice Sheffer , 1882~1964)가 "불 臺數"( 英語 : Boolean algebra 不利言 앨지브라 ^{[ * ]} )라는 用語를 最初로 使用하였다. ^{[12] [13] :278, 主席} 이 論文에서 셰퍼는 불 臺數의 모든 演算을 否定論理곱 으로서 定義할 수 있음을 보였다.

스톤 表現 整理는 마셜 하비 스톤 이 1936年에 證明하였다. ^[5]

같이 보기 [ 編輯 ]

• 부울 도메인
• 불 函數
• 完備 불 臺數
• 드 모르간의 法則
• 强制法
• 헤이팅 臺數
• 카노 맵
• 論理 回路
• 李瑱 行列
• 콰인-매클러스키 알고리즘
• 벤 다이어그램

各州 [ 編輯 ]

• Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). 《Introduction to Boolean algebras》. Undergraduate Texts in Mathematics (英語). doi : 10.1007/978-0-387-68436-9 . ISBN   978-0-387-40293-2 . ISSN   0172-6056 . Zbl   1168.06001 .  
• Halmos, Paul ; Givant, Steven (1998). 《Logic as Algebra》. Dolciani Mathematical Expositions (英語) 21 . The Mathematical Association of America.  
• Davey, B.A.; H. A. Priestley (2002). 《Introduction to lattices and order》 (英語) 2板. Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511809088 . ISBN   978-0-521-78451-1 . Zbl   1002.06001 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 ) CS1 管理 - 追加 文句 ( 링크 )
• Goncharov, Sergey (1997). 《Countable Boolean algebras and decidability》 (英語). Springer. ISBN   978-0-306-11061-0 . Zbl   0912.03019 .  
• Vladimirov, D. A. (2002). 《Boolean algebras in analysis》 (PDF) . Mathematics and its Applications (英語) 540 . Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-94-017-0936-1 . ISBN   978-1-4020-0480-3 .  
• Sikorski, Roman (1969). 《Boolean algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (英語) 25 2板. Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-85820-8 . ISBN   978-3-642-85822-2 . MR   126393 . Zbl   0087.02503 .  

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Boolean algebra” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Boolean ring” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• “Stone space” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Boolean algebra” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Boolean ring” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stone space” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Boolean algebra” . 《nLab》 (英語).  
• “Boolean ring” . 《nLab》 (英語).  
• “Stone space” . 《nLab》 (英語).  
• “Profinite space” . 《nLab》 (英語).  
• “Definition: Boolean algebra” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Definition: Boolean ring” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Equivalence of definitions of Boolean algebra” . 《ProofWiki》 (英語).  
• “Duality principle (Boolean algebra)” . 《ProofWiki》 (英語).  
• Tao, Terrence (2009年 1月 12日). “245B notes 4: The Stone and Loomis-Sikorski representation theorems (optional)” . 《What’s New》 (英語).  
• Yuan, Qiaochu (2010年 11月 22日). “Boolean rings, ultrafilters, and Stone’s representation theorem” . 《Annoying Precision》 (英語).  
• Pratt, Vaughan. “Boolean algebras” (英語). Stanford University.  
• Monk, J. Donald (2014年 6月 14日). “The Mathematics of Boolean Algebra” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).