(命題의 構成法과 證明關係가 歸納的으로 잘 定義되어 있다는 假定 下에) ${\displaystyle G\vdash p}$인 境遇 p는 다음의 세 가지 境遇 中 하나이다: 論理的 공리이거나, 前提 G의 元素이거나, 公理와 前提에 推論規則들을 適用하여 나온 命題이거나.

1. p가 論理的 公理日 境遇 위의 補助定理와 妥當性의 定義에 依해 곧바로 ${\displaystyle G\vDash p}$ 을 얻는다.
2. p가 G의 元素인 境遇에도 곧바로 ${\displaystyle G\vDash p}$ 을 얻는다.
3. 公理나 G의 元素에 推論規則을 0番 使用하여 證明된 命題는 위의 2가지 境遇에 該當하여 意味論的으로 참이다. 이제 推論規則을 n番 適用하여 나온 命題들 ${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{i}}$가 意味論的으로도 歸結인 것이 보여졌다고 假定하고 그러한 命題들에 任意의 推論規則을 適用하여 나온 命題 q를 假定하면 補助定理에 依해 亢進性이 保存되므로 q, 卽 推論規則을 n+1番 適用하여 나온 任意의 命題도 恒常 意味論的으로 참이다.

그렇다면 歸納法에 依해 모든 證明되는 命題는 意味論的으로 참이다.