Tolfræði er undirgrein stærðfræðinnar sem fjallar um sofnun, greiningu, tulkun, framsetningu og urvinnslu a gognum . Tolfræði er þverfaglegt hjalpartæki i rannsoknum i visindagreinum sem byggja a megindlegum aðferðum hvort sem um er að ræða raunvisindi , hugvisindi eða felagsvisindi .

Hægt er að skipta tolfræði mjog groflega i tvennt: lysandi tolfræði og alyktunartolfræði. Lysandi tolfræði er notuð til að lysa eiginleikum tolulegra gagna, svo sem miðsækni og dreifingu þeirra. Alyktunartolfræði er hins vegar notuð til að draga alyktanir um tiltekin gogn, svo sem varðar akveðna eiginleika sem þyði hefur, ut fra upplysingum sem fengust i urtakinu . Þær breytur sem mældar eru skiptast i nafnkvarða , raðkvarða , jafnbilakvarða eða hlutfallskvarða .

Saga tolfræði [ breyta | breyta frumkoða ]

Eitt af fyrstu dæmum þess að tolfræði hafi verið beitt er að finna i verkinu Observations on the Bills of Mortality eftir einn að brautryðjendum lyðfræðinnar , Bretanum John Graunt , sem kom ut arið 1662 . Ein helst astæða þrounar i tolfræði var nauðsyn rikisins a areiðanlegum gognum til þess að geta gert aætlanir fram i timann. ^[1] Hvað mestur framgangur varð i notkun tolfræði a 19. old og jokst hun jafnt og þett i framhaldinu.

Hefð er fyrir þvi að tolfræði se talinn aðskilin grein hagnytrar stærðfræði frekar en undirgrein stærðfræði. Grundvollur tolfræðinnar var lagður þegar Blaise Pascal og Pierre de Fermat settu fram kenningar sinar um likindafræði a 17. old. Carl Friedrich Gauss bætti svo við þekkingu undir lok 18. aldar. Tilkoma nutimalegra tolva með meiri reiknigetu en aður hefur orðið til þess að flokinn tolfræðilegur utreikningur er mun auðveldari en aður.

Dreifð [ breyta | breyta frumkoða ]

Framsetning a gognum getur verið margskonar. Se um einfold toluleg gogn að ræða er hægt að bua til tiðnitoflu sem synir tiðni breytanna . I þessu dæmi einkunna sem nemendur hafa hlotið eru einkunnirnar raðaðar eftir stiganda, þ.e.a.s. þær fara hækkandi. I fljotu bragði ma sja að fjorir nemendur hafa hlotið einkunnina 6. Hægt er að sja fjolda nemenda með þvi að leggja tolurnar saman ${\displaystyle 0+0+0+3+5+4+8+2+3+0=25}$.

Samanlogð tiðni er mæld i prosentum og venjulega sett i ser dalk við hliðinni a hlutfallstiðninni. Hun virkar þannig að hlutfallstiðnin i prosentum er logð saman við samanlogðu tiðinni i færslunni fyrir ofan. Hun hækkar þvi neðar a toflunna er litið og er avallt 100% undir lokin.

Bilskipt tafla er framsett með þeim hætti að flokkar eru sameinaðir, sem getur verið þægilegt ef fjoldi mismunandi atriða er mikill eða oskað er eftir gognum yfir eitthvað sem spannar stort bil. Dæmi um þetta eru t.d. einkunnir tugi nemenda sem toku akveðið prof og siðan raðað eftir einkunnum. Þegar bil eru akvorðuð er skyrast að hafa þau jafn long en lengdin sem það spannar er kolluð billengd . I billengd er tekið til greina alla lengdina sem tolubilið spannar, einnig þegar namundun er notuð. Sem dæmi ma nefna bilin 0-4, 5-9 og 10-14 en billengdin i þessu tilviki er 5. Fyrstgreinda bilið spannar tolurnar -0,5 til 4,5, það næsta er 4,5 til 9,5 og það siðastgreinda 9,5 til 14,5. I dæminu her til hliðar eru fimm 2 billengdar bil.

Miðsækni [ breyta | breyta frumkoða ]

Miðsækni , meðaltal , miðgildi og tiðasta gildi , i lysandi tolfræði veitir upplysingar um dreifingu gagna.

Miðgildi er gildi þess staks sem er i miðjunni. Til að reikna ut miðgildi skal raða tolunum i beina linu i vaxandi roð, talan sem er i miðjunni er siðan miðgildið eða ef það eru tvær tolur i miðjunni, þa skal taka meðaltal af þeim. Her til hliðar, i sama dæmi og að ofan, eru 25 tolur og þvi er tekið meðaltalið af tolftu og þrettandu tolunni. ${\displaystyle (6+7)/2=6,5}$

Til þess að fa meðaltal eru oll stokin logð saman og siðan deilt með fjolda þeirra. Vandinn við þetta er að ekki er gert rað fyrir s.k. utlaga , gildi sem eru oregluleg eða ovenjuleg. Þau gildi geta skekkt upplysingar tokum dæmi af teningi sem er kastað þrisvar sinnum, upp koma tolurnar:

1. 3, 3 og 3. Sem er oliklegt en gefur meðaltalið 3. ${\displaystyle (3+3+3)/3}$
2. 1, 3, og 5. Sem gefur einnig meðaltalið 3. ${\displaystyle (1+3+5)/3}$

I dæminu sem við notumst við ma gjorla komast að þvi að meðaltalið er: ${\displaystyle 160/25=6,4}$

Tiðasta gildi er, eins og nafnið gefur til kynna, su breyta sem birtist oftast. Vert er að athuga að tiðasta gildið getur verið fleiri en eitt. I dæminu her að ofan er það 7 sem kemur 8 sinnum fyrir.

Dreifing [ breyta | breyta frumkoða ]

Til þess að ryna betur i það mengi sem verið er vinna með er hægt að skoða dreifinguna . Sponnin er fundin ut með þvi að draga lægstu toluna fra þeirri efstu. I dæminu her að ofan er sponnin ${\displaystyle 9-5=4}$.

Meðalfravik er mælikvarði a meðalfjarlægðinni fra meðaltalinu. Til að fa ut meðalfravik er fyrst fundið ut meðaltalið, það dregið fra serhverri tolu til að fa fravik hverrar tolu fra meðaltalinu, fravikin eru oll logð saman an tillits til formerkja (minus breytist i plus) til að fa heildarfravik og a endanum er heildarfravikið deilt með fjolda talna. ${\displaystyle (2,4+2,4+2,4+...1,6+2,6+2,6+2,6)/25=31/25=1,24}$

Formula staðalfraviks

${\displaystyle {\sqrt {\frac {N\sum x^{2}-(\sum x)^{2}}{N(N-1)}}}}$

Þar sem: ${\displaystyle N}$ = samanlagður fjoldi talna. ${\displaystyle \sum x^{2}}$ = Tolur settar i annað veldi, siðan lagðar saman. ${\displaystyle (\sum x)^{2}}$ = Allar tolurnar lagðar saman og utkoman sett i annað veldi.

Staðalfravik er onnur aðferð til að finna ut dreifingu talna i likindadreifingu , handahofskenndri breytu, þyði eða gagnasafni. Lastafur griska bokstafsins sigma σ er oftast notaður til þess að takna staðalfravik (eða s i latneska stafrofinu). Staðalfravik slembibreyti, þyðis, gagnasetts eða dreifingar er skilgreint sem kvaðratrotin af dreifni þess.

Fravikshlutfall [ breyta | breyta frumkoða ]

Fravikshlutfall er formula sem er notuð til að bera staðalfravik mismunandi talnahopa saman. Formulan reiknar ut hlutfall staðalfraviksins af meðaltalinu.

Formulan er eftirfarandi:

Fravikshlutfall = ${\displaystyle {\frac {s}{x}}*100}$

${\displaystyle s}$ = Staðalfravik

${\displaystyle x}$ = Meðaltal allra talnanna

Tengt efni [ breyta | breyta frumkoða ]

Tilvisanir [ breyta | breyta frumkoða ]

Tenglar [ breyta | breyta frumkoða ]

 

Wikibækur eru með efni sem tengist

Tolfræði

• Tolfræðivefur Amaliu Bjornsdottur Geymt 28 april 2007 i Wayback Machine
• Heimasiða Guðmundar Bjarna Arnkelssonar, dosents i felagsvisindadeild