合成곱 (合成-), 또는 콘벌루션 (convolution)은 하나의 函數 와 또 다른 函數를 反轉 이동한 값을 곱한 다음, 區間에 對해 積分 하여 새로운 函數를 求하는 數學 演算子이다.

正義 [ 編輯 ]

두 個의 函數 ${\displaystyle f\,}$와 ${\displaystyle g\,}$가 있을 때, 두 函數의 合成곱을 數學 記號로는 ${\displaystyle f*g\,}$와 같이 標示한다.

合成곱 연산은 두 函數 f, g 가운데 하나의 函數를 反轉(reverse), 轉移(shift)시킨 다음, 다른 하나의 函數와 곱한 結果를 積分하는 것을 意味한다. 이를 數學 記號로 標示하면 다음과 같다.

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$

또한 g 函數 代身에 f 函數를 反轉, 前이 시키는 境遇 다음과 같이 標示할 수도 있다. 이 두 演算은 形態는 다르지만 같은 結果값을 갖는다.

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau }$

위의 積分에서 積分 區間은 函數 f와 g가 定義된 範圍에 따라서 달라진다.

또한 두 確率 變數 X 와 Y 가 있을 때 各各의 確率 密度 函數 를 f 와 g 라고 하면, X와 Y가 서로 獨立이라는 假定 下에, X + Y 의 確率 密度 函數는 ${\displaystyle f*g\,}$로 標示할 수 있다.

離散 合成곱 [ 編輯 ]

離散 函數의 境遇, 合成곱을 다음과 같이 鄭의 한다.

${\displaystyle (f*g)(m)=\sum _{n}{f(n)g(m-n)}\,}$

두個의 多項式을 곱한 結果式의 係數는 元來 多項式의 係數들의 合成곱으로 나타낼 수 있다.

特性 [ 編輯 ]

合成곱은 다음과 같은 性質들을 만족시킨다.

交換 法則 [ 編輯 ]

${\displaystyle f*g=g*f}$

結合 法則 [ 編輯 ]

${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$

分配 法則 [ 編輯 ]

${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$

스칼라 곱의 結合 法則 [ 編輯 ]

失手 或은 複素數 값 a 에 對해서

${\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)}$

微分 法則 [ 編輯 ]

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}f}$는 函數 f 의 微分 값을 나타낸다. 또는 離散 函數에서 微分 演算子 ${\displaystyle {\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)}$를 나타낸다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 合成곱 神經網