指數族 (exponential family)은 指數函數 와 聯關되어 있는 特定 確率分布 種類를 가리키는 말로, 正規 分布 나 감마 分布 , 多項 分布 等 一般的으로 널리 使用되는 分布들이 多數 包含되어 있다.

正義 [ 編輯 ]

一般的으로, 確率分布가 다음의 形態로 나타나는 境遇 指數族이라고 부른다.

${\displaystyle f(x;\theta )=h(x)\ \exp[\ \eta (\theta )\cdot T(x)\ -\ A(\theta )\ ]}$

여기에서 ${\displaystyle \theta }$는 函數의 媒介變數 이며, ${\displaystyle h(x)}$, ${\displaystyle T(x)}$, ${\displaystyle \eta (\theta )}$, ${\displaystyle A(\theta )}$는 알려져 있는 函數이다. 여기에서 ${\displaystyle T(x)}$는 充分統計量 의 役割을 한다.

위의 形態는 다음과 같은 形態로 나타내기도 한다.

${\displaystyle f(x;\theta )=h(x)\ g(\theta )\exp[\ \eta (\theta )\cdot T(x)\ ]}$

${\displaystyle f(x;\theta )=\exp[\ \eta (\theta )\cdot T(x)-A(\theta )+B(x)\ ]}$

萬若 分布가 여러 個의 媒介變數를 받는 境遇, 다음의 形態로 擴張할 수 있다. 媒介變數 ${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=(\theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{d})^{T}}$에 對해, 對應하는 指數族은 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;{\boldsymbol {\theta }})=h(x)\exp \left(\sum _{i=1}^{s}\eta _{i}({\boldsymbol {\theta }})T_{i}(x)-A({\boldsymbol {\theta }})\right)}$

예제 [ 編輯 ]

지手足에 屬하는 分布에는 다음의 例가 있다.

• 正規 分布
• 指數 分布
• 감마 分布
• 카이제곱 分布
• 베타 分布
• 디리클레 分布
• 와이블 分布
• 베르누이 分布 , 이항 分布
• 多項 分布
• 푸아송 分布
• 幾何 分布

하지만, 一般的으로 指數族의 混合 모델 (mixture model)은 지手足에 屬하지 않는다.

어떤 分布가 지手足에 屬하는지를 判斷할 때에는 特定 하나의 分布가 아니라 모든 媒介變數에 對한 分布 模樣에 對해 判斷해야 한다. 또한 媒介變數의 設定에 따라서는 같은 이름이지만 지手足에 屬하거나 屬하지 않는 境遇도 存在한다. 例를 들어, 이항 分布 는 施行 回數가 固定된 境遇 지手足에 屬하지만, 施行 回數가 媒介變數로 들어가는 境遇 지手足에 屬하지 않는다.

性質 [ 編輯 ]

Pitman?Koopman?Darmois 整理에 따르면, 指數族 分布에는 標本의 數字와 無關하게 固定된 次元을 가지는 充分統計量 이 存在한다. 卽, 서로 獨立이고 같은 分布를 따르는(i.i.d.) 標本 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$가 있을 때, 充分統計量 ${\displaystyle T(X_{1},\cdots ,X_{n})}$이 存在하여 이 函數값의 次元이 ${\displaystyle n}$과 關係없는 固定된 값을 가진다.

外部 링크 [ 編輯 ]

• 지手足과 完全統計量
• exponential family