一般化 座標 ( generalized coordinates )는 物理的 界 를 더 쉽게 分析하기 위해 使用되는 媒介變數 의 集合을 말한다. 데카르트 座標系 가 標準이던 時節에 붙여진 이름이다.

數學的 正義 [ 編輯 ]

N個의 粒子를 가진 界 와 이 系의 座標 들間의 制約을 주는 k個의 홀로盧믹 拘束

${\displaystyle f_{i}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\cdots ,\;x_{n},\;t)\quad i=1,\;2,\;\cdots ,\;k}$

이 있다 하자. 이 때, 이 系의 自由도 는 回戰 과 같은 自由度를 無視하고 丙辰 에 依한 自由度만을 考慮하면 3N-k個의 自由度를 가지게 된다. 그리고 이 때, 이 契를 記述하는 3N-k個의 서로 獨立 人 座標의 集合 {q ₁ , q ₂ , …, q _3N-k }를 一般化 座標 라 한다. 이 座標는 말 그대로 一般化된 座標로 慣性系 日 必要도 없고, 뉴턴 力學에서 자주 쓰는 데카르트 座標系 日 必要도 없다. 甚至於, 길이의 次元을 가지지 않는 各 또한 一般化 座標가 될 수 있다. 任意의 3N-k個의 媒介變數가 契의 狀態를 完璧히 表現할 수 있다면, 이 媒介變數들은 一般化座標가 될 수 있다. 이를 通해, 旣存의 座標系들과 달리 運動을 分析할 수 있는 柔軟性을 提供해준다.

예 [ 編輯 ]

平面 위에서 運動하는 이중진子 는 데카르트 座標系 를 使用하면, 다음과 같이 {x ₁ , y ₁ x ₂ , y ₂ } 네 個의 座標를 使用하면 運動을 記述할 수 있다. 하지만 이 運動의 自由度는 2이기 때문에, 데카르트 座標系 보다 一般化 座標를 使用하면 더 便利하게 運動을 記述할 수 있다. 普通 이 問題를 記述하기 위해서 왼쪽 그림과 같이 各 θ ₁ , θ ₂ 를 一般化 座標로 使用한다. 그에 관계된 變換 式은 다음과 같다.

${\displaystyle \lbrace x_{1},y_{1}\rbrace =\lbrace L_{1}\sin \theta _{1},L_{1}\cos \theta _{1}\rbrace }$

${\displaystyle \lbrace x_{2},y_{2}\rbrace =\lbrace L_{1}\sin \theta _{1}+L_{2}\sin \theta _{2},L_{1}\cos \theta _{1}+L_{2}\cos \theta _{2}\rbrace }$

끈 위에서 움직이는 구슬 의 境遇 自由度가 1이므로 一般化 座標를 使用하면 매우 쉽게 運動을 記述할 수 있다. 끈위의 어느 基準點으로부터 구슬까지의 끈을 따라서 잰 距離 l을 一般化 座標로 使用하면 元來는 3次元 座標를 써서 複雜하게 풀어야 할 問題가 1次元 問題로 쉬워지는걸 確認할 수 있다.

任意의 面 床에서 움직이는 物體 의 運動은 3次元 上에서 이루어지지만 2個의 自由度를 가지고 있다. 區 위에서 움직이는 物體를 생각해보면, 球面 座標界 의 各 座標, θ, φ를 變數로 使用하는 것이 좋다. 나머지 座標 r은 系의 홀로盧믹 拘束 에 依해 쉽게 없어짐을 볼 수 있다.

一般化 速度 [ 編輯 ]

어떤 瞬間의 契의 狀態를 記述하기 위해선 座標만으로도 充分하다. 하지만 그 系의 動力學的 狀態를 알기 위해선 粒子들의 位置만을 알아서는 不足하다. 粒子들의 運動 狀態에 對한 情報도 함께 알아야 한다. 이를 記述하기 위해 各 一般化 座標의 時間에 對한 微分, 一般化 速度 ( generalized velocity )란 槪念을 導入한다.

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}\equiv {dq_{i} \over dt}}$

이 값을 알면 以後의 係의 狀態를 追跡할 수 있다. 여기에 一般化 速度의 力學的 重要性이 있다.

運動에너지 [ 編輯 ]

라그랑주 力學에서는 一般化 座標로 記述되는 運動에너지 T를 자주 求하게 된다. 하지만 이는 一般的으로 다음과 같은 一般化 速度의 二次 形式 으로 나타나지 않음에 注意하자.

${\displaystyle T\neq \sum _{i}c_{i}{\dot {q}}_{i}^{2}}$

一般的으로 이를 求하기 위해서는 아래와 같이

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}{\frac {m_{i}}{2}}\left({\dot {x}}_{i}^{2}+{\dot {y}}_{i}^{2}+{\dot {z}}_{i}^{2}\right)}$

데카르트 座標系 를 통해 먼저 運動 에너지를 求하고, 이를 一般化 座標로 變換시켜 使用하게 된다.

${\displaystyle x_{i}=x_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)}$

${\displaystyle y_{i}=y_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)}$

${\displaystyle z_{i}=z_{i}\left(q_{1},q_{2},...,q_{n},t\right)}$

여기서, 運動에너지를 求하기 위한 데카르트 座標系 는 恒常 慣性系 이어야 함에 注意하자. 하지만 變換 後의 一般化 座標는 慣性系 日 必要는 없다. 이 座標 選擇의 自由度가 一般化 座標의 長點이다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 라그랑주 力學
• 自由도
• 假想 日