數論 에서 完全數 (完全數)는 自己 自身을 除外한 羊의 藥水 (眞藥水)를 더했을 때 自己 自身이 되는 陽의 精髓 를 말한다. 또는 모든 量의 藥水를 더했을 때 自己 自身의 2倍가 되는 數를 말하기도 한다.

最初 7個의 完全數는 0 , 1 , 6 , 28 , 496 , 8128 , 33550336이다.

   0 = 0
   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

짝數 完全數 [ 編輯 ]

古代 그리스인들은 이들 네 個의 完全수밖에는 알지 못했다. 유클리드 는 이들을 ${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)}$ 에 알맞은 數를 代入해 求할 수 있다는 것을 發見했다.

n = 2 일 때:   2 ¹ · (2 ² ? 1) = 6

n = 3 日 때:   2 ² · (2 ³ ? 1) = 28

n = 5 日 때:   2 ⁴ · (2 ⁵ ? 1) = 496

n = 7 일 때:   2 ⁶ · (2 ⁷ ? 1) = 8128

이때 ${\displaystyle n}$은 언제나 少數 이지만 ${\displaystyle n}$이 少數라고 2 ⁿ  ? 1度 꼭 小數가 되지는 않는다. 2 ⁿ  ? 1이 少數일 때는 이를 메르센 少數 라고 부른다. 마랭 메르센 은 17世紀 에 整數論 과 完全數를 硏究한 修道僧이었다.

${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)={\frac {M_{n}(M_{n}+1)}{2}}}$ 卽, 짝數 完全數와 메르센 少數 사이에는 一對一 對應이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 짝數 完全數가 ${\displaystyle 2^{n-1}\cdot (2^{n}-1)}$ 꼴이므로, 모든 짝數 完全數는 連續된 自然數의 合으로 表現할 수 있다. 그러나 메르센 수 가 小數가 아닌 境遇에는 該當 數字는 過剩數 가 된다. 그와 同時에 모두 反完全數 이기도 하다. 그러한 例는 120, 2016, 32640, 130816 等이 있다. 15, 63, 255, 511 等은 모두 메르센 數들 中에서 少數 가 아닌 合成數 利器 때문이다.

   6 = 1 + 2 + 3
  28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + . . . + 30 + 31

메르센 少數의 數가 有限한지 無限한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝數 完全數의 數가 無限한지도 알려져 있지 않다.

홀數 完全數 [ 編輯 ]

數學의 未解決 問題 홀數 完全數는 存在하는가? (더 많은 數學의 未解決 問題 보기)

딱 1個밖에 밝혀지지 않았다.

萬若 홀數 完全數가 存在한다면 그 數는 다음 條件을 滿足한다.

• 2012年에 出版된 論文에 따르면 N > 10 ¹⁵⁰⁰ 이다. ^[1]
• N은 105로 나누어떨어지지 않는다.
• N은 N≡1(mod 12)또는 N ≡ 117 (mod 468)또는 N ≡ 81 (mod 324)의 形態를 띤다.
• N 은

${\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},}$

의 形態를 띠며,

• q ,  p ₁ , ...,  p _k 는 區別된 少數이다.(Euler).
• q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Euler).
• N의 가장 작은 素因數는(2 k  + 8) / 3보다 작다. ^[2]
• q ^α  > 10 ⁶² , 또는 어떤 j에 對해 p   _j ^{2 e _j}  > 10 ⁶² 이다. ^[1]
• N  < 2 ^{4 k +1} . ^[3]

• N 의 가장 큰 素因數는 10 ⁸ 보다 크다. ^[4]
• 두 番째로 큰 素因數는 10 ⁴ 보다, 세 番째로 큰 素因數는 100보다 크다. ^{[5] [6]}
• N 은 101個 以上의 素因數로 分解되며, 적어도 10個의 서로 다른 素因數를 갖는다. 3이 素因數가 아니라면 12個의 서로 다른 素因數를 갖는다. ^{[1] [7]}

같이 보기 [ 編輯 ]

• 超完全數
• 反完全數
• 準完全數
• 不足數
• 過剩數

各州 [ 編輯 ]