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數學 中， 逆元素 （英語： inverse element ）又? 逆元 ，可推廣 加法 中的 反? 和 乘法 中的 倒數 。

定義 [ ?? ]

設 S ?一有 二元運算 * 的 集合 。若 e ?( S ,*)的 單位元 且 a * b = e ，則 a 稱? b 的 左逆元素 且 b 稱? a 的 右逆元素 。若一元素 x 同時是 y 的左逆元素和右逆元素時， x 稱? y 的 兩面逆元素 或簡稱? 逆元素 。 S 內的一有兩面逆元素的元素被稱?在 S 內? 可逆的 。

正如 (S,*) 可以有數個左單位元或右單位元一般，一元素同時有數個左逆元素或右逆元素也是有可能的。甚至有可能有數個左逆元素 和 右逆元素。

若其運算 * 具有 結合律 ，則當一元素有一左逆元素和一右逆元素時，這兩個會是相同且唯一的。在這一情形之下，可逆元素的集合會是個 群 ，稱? S 的 可逆元群 ，且標記? U ( S )或 ${\displaystyle S^{*}}$。

例子 [ ?? ]

每一 實數 x 都會有一 加法逆元 （? 加法 上的逆元素）- x 。每一非零實數 x 都會有一 倒數 （? 乘法 上的逆元素） ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$。此外，零沒有倒數。

一元素在一 體 K 內的 方陣 M ?可逆的（在所有相同大小方陣的集合內，於 矩陣乘法 下） 若且唯若 其 行列式 不等於零。若 M 的行列式?零，?便不可能會有一單面逆元素，因此一單面逆元素必?兩面逆元素。更多詳情請參見 逆矩陣 。

更一般地，一元素在一 可交換環 R 內的方陣是可逆的若且唯若其行列式在 R 是可逆的。

一函數 g 是一函數 f 的左（右）逆元素（在 複合函數 之下），若且唯若當 ${\displaystyle g\circ f}$（ ${\displaystyle f\circ g}$）? f 定義域 （ 陪域 ）上的 ?等函數 。在這一例子裡，一函數有右逆元素而無左逆元素，或許相反，是?常見的。

?見 [ ?? ]

• 加法逆元
• 倒數
• 群
• 擬群
• 除環
• 可逆元