本?目中， 向量 與 ?量 分別用 粗體 與 斜體 顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。 四維矢量用加有標號的 斜體 顯示。例如， ${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或 ${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。?了避免?意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， ${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示 ${\displaystyle x\,\!}$平方；而 ${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是 ${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二個分量。

在 電磁學 裏， 平面電磁波 的 四維頻率 ${\displaystyle f^{\mu }}$ 以公式定義?

${\displaystyle f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)}$ ；

其中， ${\displaystyle f}$ 是電磁波的 頻率 ， ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是朝著電磁波傳播方向的 單位矢量 。

四維頻率與自己的 內積 永遠等於零：

${\displaystyle {f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$ 。

類似地， 四維角頻率 ${\displaystyle \omega ^{\mu }}$ 以公式定義?

${\displaystyle \omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)}$ ；

其中， ${\displaystyle \omega }$ 是電磁波的 角頻率 。

顯然地，

${\displaystyle \omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }}$ 。

四維波向量 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 與四維角頻率有密切的關係，定義?

${\displaystyle {k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)}$ ；

其中， ${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是電磁波的 波向量 。

在本篇文章裏， 閔可夫斯基度規 的形式被規定? ${\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)}$ ，這是?考了 約翰·傑克森 （ John D. Jackson ）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；?且使用了經典的 張量代? 以及 愛因斯坦求和約定 。

勞侖?變換 [ ?? ]

給予兩個慣性參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 、 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ；相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 移動。對於這兩個參考系，相關的 勞侖?變換矩陣 ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ 是 ^[1]

${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}}$ ；

其中， ${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是 勞侖?因子 ， ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ 是 貝他因子 ， ${\displaystyle \beta _{x}}$ 、 ${\displaystyle \beta _{y}}$ 、 ${\displaystyle \beta _{z}}$ 分別是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 ${\displaystyle v_{x}}$ 、 ${\displaystyle v_{y}}$ 、 ${\displaystyle v_{z}}$ 的貝他因子。

設定一個朝著 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ 方向傳播於 ?空 的平面電磁波，對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ，這平面電磁波以公式表達?

${\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ ；

其中， ${\displaystyle \mathbf {E} }$ 、 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ 分別是電磁波的 電場 、 磁場 ， ${\displaystyle E_{0}}$ 、 ${\displaystyle B_{0}}$ 分別是其 波幅 ， ${\displaystyle k^{\mu }}$ 是四維波向量， ${\displaystyle x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )}$ 是 四維位置 ， ${\displaystyle \mathbf {x} }$ 是位置， ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 分別垂直於 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$ ，而且 ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 。

那?，對於參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ，這平面電磁波以公式表達?

${\displaystyle {\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}}$ 、

${\displaystyle {\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}}$ 。

四維波向量 ${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }}$ 與 ${\displaystyle {k}^{\mu }}$ 之間的關係?

${\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }}$ 。

經過一番運算，可以求得

${\displaystyle {\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c}$ ；

其中， ${\displaystyle v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )}$ 是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的 四維速度 ， ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 相對於參考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 的速度。

在?空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係?

${\displaystyle f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi }$ 。

所以，

${\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c}$ 。

這也是參考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ 的觀察者所觀察到的頻率。

參閱 [ ?? ]

• 四維向量
• 電磁張量

參考文獻 [ ?? ]

• Woodhouse, N.M.J. Special Relativity . London: Springer-Verlag. 2003: 84 -90. ISBN  1852334266 .  
• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477?543. ISBN  0-13-805326-X .   引文格式1??：冗余文本 ( link )