Wiskunde
(minder gebruikelijk:
mathematiek
,
mathematica
of
mathesis
) is een
formele wetenschap
die onder andere
getallen
,
patronen
en
abstracte structuren
bestudeert. De wiskunde komt voort uit het
rekenen
en de
meetkunde
, maar omvat veel meer dan dat.
Wiskundige structuren worden met strikte
logische
redeneringen opgebouwd. Wiskundige
beweringen
waarvan de juistheid is aangetoond heten
stellingen
; zij doen uitspraken over
gedefinieerde
objecten
en formuleren verbanden daartussen. De formele redenering die aantoont dat een stelling waar is, noemt men een
wiskundig bewijs
. Bij het opstellen van een bewijs wordt uitgegaan van een (klein) aantal uitgangspunten (
axioma
's) en van
definities
.
Wiskunde wordt niet alleen zelfstandig bestudeerd, de opgedane kennis wordt toegepast in allerlei dagelijkse situaties en in andere wetenschappen. Men spreekt dan van
toegepaste wiskunde
tegenover
zuivere wiskunde
. De scheidslijn is echter niet heel duidelijk en wat begon als
zuivere wiskunde
blijkt later toch regelmatig een toepassing te vinden.
In toepassingen wordt
gerekend
op basis van reeds bewezen stellingen. Dat kan eenvoudig zijn, bijvoorbeeld de
stelling van Pythagoras
in de
meetkunde
om een afstand te bepalen. Maar soms is het probleem in het dagelijks leven zo uitgebreid, dat er een (super)
computer
voor nodig is om binnen een redelijke tijd een oplossing te vinden. Een voorbeeld daarvan is de weersverwachting in de
meteorologie
: de atmosfeer wordt toegepast wiskundig gemodelleerd met behulp van
differentiaalvergelijkingen
. Meetwaarden, afkomstig van meetpunten liefst over de hele aardbol op verschillende hoogten, bepalen na bewerking een begintoestand vanwaaruit de toekomstige
druk
,
wind
en
luchtvochtigheid
wordt berekend. Het doorrekenen van de differentiaalvergelijkingen die uit deze meetgegevens volgen, kost enorm veel computertijd.
In de meeste talen is het woord voor wiskunde afgeleid van het
Griekse
woord μ?θημα (
mathema
), dat wetenschap, kennis of leren betekent. Voorbeelden:
Engels
:
mathematics
,
Duits
:
Mathematik
,
Frans
:
mathematiques
. Het
Nederlandse
woord
wiskunde
is door
Simon Stevin
in de
17e eeuw
als
wisconst
(kunst van het gewisse of zekere) aan deze wetenschap verbonden.
[1]
Veel onderwerpen van studie in de wiskunde vinden hun oorsprong in andere exacte wetenschappen zoals de
natuurkunde
en de
astronomie
. Dit wordt de
toegepaste wiskunde
genoemd. De wiskunde wordt gebruikt als instrument in deze wetenschappen. Een belangrijk deel van de toegepaste wiskunde betreft de wijze waarop
computerberekeningen
kunnen worden gedaan. Het deelgebied
numerieke wiskunde
bijvoorbeeld houdt zich volledig bezig met het onderzoeken van berekeningen.
Hiernaast doen wiskundigen ook fundamenteel onderzoek naar de opbouw en aard van getallen en andere mathematische structuren, zoals
ruimtes
,
functies
en
groepen
. Dit onderzoek kan een puur theoretische invalshoek hebben, of gericht zijn op een algemene oplossing voor vraagstukken op diverse gebieden. De wiskunde die puur gericht is op het onderzoek naar de theorie van mathematische structuren en samenhangen, wordt de
zuivere wiskunde
genoemd. Desalniettemin kunnen resultaten uit de zuivere wiskunde ook toepassing vinden buiten de wiskunde. De scheidslijn tussen
zuivere
en
toegepaste
wiskunde is dan ook niet geheel strikt.
Aristoteles
definieerde wiskunde als "de wetenschap van de hoeveelheid" en deze definitie werd gebruikt tot de 18e eeuw. Beginnende in de 19e eeuw, toen de studie van de wiskunde in toenemende mate strikter werd en ook begon met meer abstracte onderwerpen aan te pakken, zoals de
groepentheorie
en
projectieve meetkunde
, die geen duidelijke relatie meer hadden met hoeveelheid en metingen, begonnen wiskundigen en filosofen een verscheidenheid van nieuwe definities voor te stellen. Sommige van deze definities benadrukken het deductieve karakter van een groot deel van de wiskunde, andere benadrukken haar abstractheid en weer andere benadrukken bepaalde onderwerpen binnen de wiskunde. Vandaag de dag is er nog steeds geen consensus over de definitie van de wiskunde, zelfs niet bij professionals. Er is zelfs geen consensus over de vraag of de wiskunde een kunst is of een wetenschap. Een groot aantal professionele wiskundigen is niet geinteresseerd in een definitie van de wiskunde, of zij beschouwen het als ondefinieerbaar. Sommigen zeggen gewoon "Wiskunde is wat wiskundigen doen".
[2]
De wiskunde, zoals ontstaan uit de
rekenkunde
, is reeds bekend in de vroegste culturen. Zo is uit
Egypte
de
Rhind-papyrus
bekend. De
Babyloniers
ontwikkelden een geavanceerd getallensysteem gebaseerd op het getal 60. Ook gebruikten zij
algebraische
formules als
ab = ((a + b)
2
- (a - b)
2
)/4
en tafels met
machten
om berekeningen sneller te kunnen uitvoeren. Bovendien kenden zij reeds de
stelling van Pythagoras
.
De wiskunde als abstracte wetenschap werd het eerst beoefend in het klassieke
Griekenland
, waar bijvoorbeeld
Euclides
zijn 5
axioma
's formuleerde die meer dan twintig
eeuwen
stand hielden. Vanuit deze axioma's bouwden hij en zijn volgelingen de
meetkunde
als zelfstandige tak van de wiskunde op.
Met de ondergang van de Griekse cultuur kwam de ontwikkeling van de wiskunde in het Westen tijdelijk tot stilstand.
Pas in de
middeleeuwen
pakten
Arabische wiskundigen
de draad weer op. Via hen werd bijvoorbeeld het
cijfer
0
vanuit
India
in
Europa
geintroduceerd. Een bloeiperiode begon met het werk van
al-Chwarizmi
rond 820 en de vertaling van
Griekse
teksten. Aan al-Chwarizmi wordt het ontstaan van de
algebra
toegeschreven. Het woord algoritme is van zijn naam afgeleid. Het duurde tot na de middeleeuwen voor Europa de leidende rol van de Arabische cultuur kon overnemen. Omdat wiskunde een verplicht onderdeel was op de Europese universiteiten, werd al in de middeleeuwen een groot deel van de achterstand op de Arabieren ingelopen.
De westerse wiskunde nam een hoge vlucht vanaf de herontdekking van klassieke en Arabische bronnen in de
renaissance
en de ontwikkeling van de
boekdrukkunst
. In de 16de eeuw kwam de algemene oplossing van
derde
- en
vierdegraadsvergelijkingen
en de ingebruikname van de decimale schrijfwijze. In de 17de eeuw ontstond de
differentiaal
- en
integraalrekening
als hulpmiddel bij berekeningen in de
hemelmechanica
. Vanaf de 18de eeuw verschenen de
complexe getallen
.
In de 19de eeuw kreeg de wiskunde haar huidige vorm met strenge eisen aan de logische geldigheid van de bewijsvoering, met name ook in de tot dan toe eerder "intuitieve" differentiaalrekening. De eis dat wiskundige begrippen hun definitie niet ontlenen aan waarneming of intuitie, gaf in die periode ook aanleiding tot de ontwikkeling van de
niet-euclidische meetkunde
. In 1826 stichtte
Crelle
het eerste gespecialiseerde wiskundige tijdschrift,
Journal fur die reine und angewandte Mathematik
. Vanaf de tweede helft van de 19de eeuw verschenen de (nationale) wiskundige genootschappen. De
axiomatische verzamelingenleer
leidde tot een logische eenmaking van voorheen afzonderlijke "takken" van de wiskunde zoals algebra, meetkunde en differentiaalrekening. Pioniers zoals
Francis Galton
en
Adolphe Quetelet
pasten wiskundige technieken toe in de
sociale wetenschappen
.
Vanaf de 20ste eeuw werd de wiskunde meegesleurd in de stroomversnelling van de ontwikkeling van de natuurwetenschappen en de technologie. Na de
Tweede Wereldoorlog
leidde de beschikbaarheid van elektronische computers tot nieuwe inzichten in bestaande problemen, maar ook tot het nieuwe onderzoeksgebied van de theoretische informatica.
Wiskunde neemt in de
wetenschap
een speciale positie in door de wijze waarop kennis verkregen wordt. Waar bijvoorbeeld
natuurwetenschappen
gebaseerd zijn op kennis op basis van het ontbreken van een
falsificatie
, bouwt wiskunde haar kennis op uit zuivere afleiding uit haar uitgangspunten. Wiskundige kennis is derhalve niet toetsbaar met experimenten. Waar natuurwetenschappelijke kennis
per definitie
voorlopig is, is wiskundige kennis pas kennis als ze bewezen en definitief is, maar dan is die kennis ook
per definitie
eeuwig geldend.
De vraag is dan ook bij welk soort wetenschappen wiskunde gerekend moet worden. Doordat de wiskunde veelal door problemen uit de natuurwetenschappen is geinspireerd en ook vooral haar toepassingen vindt in die wetenschappen, wordt de wiskunde veelal bij de natuurwetenschappen ingedeeld of in bredere zin bij de
betawetenschappen
. Dit ondanks het verschil in wijze van verkrijgen van kennis. In een moderne kijk op de
filosofie van de wiskunde
wordt er echter, in navolging van
Imre Lakatos
, op gewezen dat ook wiskunde in wezen haar eigen kennis vermeerdert door een empirische kijk. Er wordt, vaak na aanwijzingen in rekenwerk, een vermoeden geuit waarvoor bevestiging wordt gezocht middels een
wiskundig bewijs
.
Door haar strikte redeneerwerk en methodologie heeft wiskunde ook veel gemeen met
filosofie
. Met name de
logica
en
grondslagen van de wiskunde
zijn duidelijke overlapgebieden. Met dat in het achterhoofd zou men wiskunde ook bij de
alfawetenschappen
in kunnen delen. Wiskunde houdt zich bezig met producten van de menselijke geest.
Ten slotte wordt wiskunde, samen met bijvoorbeeld
informatica
, vaak ingedeeld als
formele wetenschap
.
In de praktijk blijkt echter dat wiskunde aan
universiteiten
ingedeeld is bij een
faculteit
voor natuurwetenschappen, al is een combinatie wiskunde-informatica of een aparte wiskundefaculteit ook niet ongebruikelijk.
De fundamentele wiskundige activiteit is het leveren van een
wiskundig bewijs
, het is
de
manier waarop wiskundige kennis wordt verkregen. Het leveren van wiskundig bewijs gaat terug op de oude Grieken. Uit oudere beschavingen zijn geen bewijzen bekend, de wiskunde bestond voor de Grieken uit het oplossen van concrete problemen. Een belangrijke bron vormen de
Elementen van Euclides
, waarin naast een axiomatische opbouw en definities ook ruim 400 stellingen staan met bewijzen.
Voor het verkrijgen van het bewijs gebruikt men de regels van de
logica
. Meer in het bijzonder worden
deductieve
methodes gebruikt, en geen
inductieve
(met uitzondering van "volledige inductie") of
empirische
. Men moet zich baseren op
axioma's
,
definities
en eerder bewezen
stellingen
. Het vakgebied dat zich met het bewijzen bezighoudt is de
bewijstheorie
.
Vroeger bestond het werk van een wiskundige dan ook vooral uit het schrijven van bewijzen. Zijn gereedschappen waren potlood en papier, soms passer en liniaal en nog zeldzamer een rekenmachine. Dat veranderde echter met de opkomst van de computer. Hierdoor is het veel eenvoudiger om wiskundig te experimenteren. Er is bovendien zowel software voor het helpen bij
algebra
en
analyse
, de
computeralgebrasystemen
, als bij het onderzoeken van
meetkunde
, de dynamische meetkunde software.
Chaostheorie
en
fractals
zijn voorbeelden van wiskunde die meer uit experimenten is voortgekomen. De werkelijke kennis is echter uiteindelijk in het klassieke raamwerk van het wiskundig bewijs geplaatst.
De wiskundige notatie die nu gebruikt wordt, was onbekend voor de
16e eeuw
. Voor die tijd werd alles volledig uitgeschreven, en waar nu
x
in een formule gebruikt wordt, werd toen nog gesproken van
een onbekende grootheid
. De
Zwitserse
wiskundige
Leonhard Euler
(1707-1783) is verantwoordelijk voor veel wiskundige notatie zoals die nu gebruikt wordt. Voordeel is dat een wiskundige bewering met de notatie overzichtelijker is. Moderne wiskundige notatie is meestal bijzonder compact; een paar eenvoudige symbolen kunnen zeer veel informatie bevatten, wat voor professionele wiskundigen een duidelijk voordeel is, maar voor beginners erg lastig kan zijn.
Ook kent wiskunde een gedeeltelijk eigen taal, die voor de leek niet altijd te ontdekken is. Zo kunnen alledaagse termen zoals "of", "als...dan.." of "
compact
" een andere betekenis hebben dan in het dagelijks taalgebruik. Vaak zitten er definities achter die heel nauwkeurig beschrijven wat er bedoeld wordt. Deze nauwkeurigheid is in de wiskunde van groot belang ? iemand die een bewijs van een ander naleest moet natuurlijk precies weten wat er bedoeld wordt.
Verwarrend is het soms dat niet overal ter wereld exact dezelfde notatie en dezelfde definities worden gebruikt. Er is geen instituut dat definities of notaties precies vastlegt. Zo zijn er verschillende definities voor de
natuurlijke getallen
, met of zonder nul. Ook over een eenvoudig begrip als een
rechthoek
bestaat weleens onenigheid of er een
inclusieve
(dan is een vierkant ook een rechthoek) of een
exclusieve definitie
(dan is een vierkant geen rechthoek) moet worden gebruikt. Auteurs zullen echter meestal duidelijk maken welke definitie zij hanteren.
Wiskunde maakt een vast onderdeel uit van de vakken die men in het
basis-
en
voortgezet onderwijs
aangeboden krijgt. In het basisonderwijs bestaat het vooral uit tellen, rekenen en eenvoudige meetkunde. In het voortgezet onderwijs is er veelal aandacht voor meer meetkunde, analyse, eenvoudige algebra, kansrekening en statistiek. Afhankelijk van het niveau en van het land kunnen echter ook allerlei andere onderwerpen aan bod komen. In het algemeen blijft het wiskundeonderwijs echter beperkt tot het inzetten van toepassingen. Het geven van bewijzen is in het algemeen voorbehouden aan het hoogste onderwijsniveau. Er zijn echter flinke internationale verschillen. Op universiteitsniveau komt wat soms ook wel aangeduid wordt met de populaire term '
hogere wiskunde
' aan bod. Hier wordt dieper ingegaan op de wiskunde die ook op middelbare scholen wordt onderwezen, maar er komen ook geheel nieuwe gebieden en onderwerpen aan bod.
Ook heel verschillend is de gebruikte didactiek. Van oudsher werd de wiskunde heel
kaal
aan kinderen aangeboden. In de tweede helft van de twintigste eeuw werd echter steeds meer nadruk gelegd op het belang van
context
in de wiskunde, dat wil zeggen dat er een verband werd gelegd met een vraagstuk in de echte wereld. Een van de motoren achter het verbeteren van wiskundeonderwijs door onder andere het gebruik van context is de
Nederlands
-
Duitse
wiskundige
Hans Freudenthal
.
Er is geen
Nobelprijs
voor de wiskunde, al zijn er wel Nobelprijzen uitgereikt aan wiskundigen, met name in de
natuurkunde
en
economie
. De meest prestigieuze wiskundige onderscheiding is de
Fieldsmedaille
, die elke vier jaar wordt uitgereikt aan twee tot vier wiskundigen van onder de 40 jaar. De meest prestigieuze jaarlijkse oeuvreprijs is
Abelprijs
, alhoewel ook de
Wolfprijs
veel aanzien geniet.
De hoofdgebieden van de wiskunde ontstonden oorspronkelijk uit de noodzaak zakelijke berekeningen te kunnen maken, de relaties tussen getallen te begrijpen, land te kunnen opmeten en
astronomische
gebeurtenissen te kunnen voorspellen. Deze vier noden kunnen ruwweg verbonden worden aan de brede onderverdeling van de wiskunde in de studie van
Daarnaast zijn er nog andere deelgebieden die te maken hebben met de verbanden tussen de kern van de wiskunde en andere domeinen, zoals de
logica
, de
verzamelingenleer
, en de
toegepaste wiskunde
.
De leer van hoeveelheden begint met
getallen
. Eerst komen de door iedereen gekende
natuurlijke getallen
en
gehele getallen
en de bewerkingen, samengebracht in de
rekenkunde
. Meer gevorderde eigenschappen worden bestudeerd in de
getaltheorie
, met populaire resultaten zoals de
laatste stelling van Fermat
. In de getaltheorie bestaan veel onopgeloste problemen. Drie van de bekendere onopgeloste problemen, die bovendien eenvoudig te formuleren zijn, zijn het
priemtweelingvermoeden
, het
vermoeden van Goldbach
en het
vermoeden van Collatz
.
Bij uitbreiding van het getalsysteem vindt men dat de gehele getallen een
deelverzameling
vormen van de
rationale getallen
(
breuken
). Deze zijn op hun beurt een deel van de
reele getallen
. Dit kan weer uitgebreid worden naar de
complexe getallen
. Verder leidt deze studie naar de
transfiniete getallen
, waarmee het concept
oneindigheid
formeel behandeld wordt. Een ander domein is de studie van de grootte van een verzameling, leidend tot de
kardinaalgetallen
en
ordinaalgetallen
en zo naar een ander begrip van oneindigheid: de
alefgetallen
.
Natuurlijke getallen
|
Gehele getallen
|
Rationale getallen
|
Reele getallen
|
Complexe getallen
|
Veel
wiskundige objecten
, zoals
verzamelingen
van bijvoorbeeld getallen en
functies
, hebben een inwendige structuur door bewerkingen die er op gedefinieerd zijn. Wiskunde bestudeert eigenschappen van deze verzamelingen als uitvloeisel van deze structuren. De
getaltheorie
bijvoorbeeld bestudeert eigenschappen van de verzameling
gehele getallen
uitgedrukt in de
operatoren
, die bij
rekenen
worden gebruikt, dus optellen en vermenigvuldigen en daarvan afgeleide operatoren.
Het blijkt dat verschillende verzamelingen met hun bewerkingen een vergelijkbare structuur hebben. Dat nodigt uit tot het abstraheren van deze structuur. Zo ontstaan bijvoorbeeld de studie van
groepen
met een soort bewerking en
ringen
en
lichamen (Nederlands-Nederlands) of velden (Belgisch-Nederlands)
met twee soorten bewerkingen. Deze gebieden vormen een onderdeel van de
abstracte algebra
. De abstracte algebra kan soms worden gebruikt in op het eerste gezicht geheel losstaande takken van wiskunde. De
galoistheorie
bracht bijvoorbeeld een oplossing voor de drie klassieke problemen bij het vinden van een
constructie met passer en liniaal
. Deze constructies bleken in termen van groepen te kunnen worden beschreven.
Een ander voorbeeld van een algebraische structuur is de
vectorruimte
, waarin punten worden verbonden door
vectoren
die zowel een grootte als een richting hebben. Deze vectorruimtes worden bestudeerd in de
lineaire algebra
. Dit is een van de voorbeelden die laten zien dat de oorspronkelijk van elkaar losstaande algebra en meetkunde in de moderne wiskunde nauw verweven zijn. De
algebraische meetkunde
neemt dan ook een centrale plaats in de moderne wiskunde in.
De studie van de ruimte begint met de
meetkunde
, in het bijzonder de
euclidische meetkunde
. Deze euclidische meetkunde gaat over het platte vlak en de
ruimte
en bevat de alombekende
stelling van Pythagoras
. Al bij de oude Grieken ging meetkunde echter ook om getallen, voorgesteld als verhouding tussen
lijnstukken
. De introductie van
cartesische coordinaten
maakten duidelijk dat onder meetkunde ook getallen zitten. Door het definieren van allerlei soorten
metriek
spelen hoeveelheid en ruimte zo allebei een rol in de
analytische meetkunde
, de
differentiaalmeetkunde
en de
algebraische meetkunde
.
De moderne studie van de ruimte is voorts uitgebreid naar meetkunde met meerdere dimensies, de
affiene
,
projectieve
en andere
niet-euclidische meetkunde
. Deze corresponderen veelal met andere metrieken, vaak niet meer gebaseerd op de
reele getallen
. Daarnaast bestaat er nog
beschrijvende meetkunde
of
wetenschappelijk tekenen
.
De
topologie
is een ander uitvloeisel van de klassieke meetkunde. Men houdt zich in de topologie bezig met eigenschappen van de ruimte die bij continue vervorming behouden blijven. Anders dan bij de zojuist genoemde onderdelen speelt metriek hierbij geen enkele rol.
Het begrijpen en beschrijven van verandering is een terugkerend thema in de
natuurwetenschappen
en de
differentiaalrekening
werd ontwikkeld om dit te onderzoeken. Dit leidt tot de studie van de
functies
en de
analyse
. Dit gaat niet alleen om functies van reele getallen, maar ook van
complexe getallen
in de
functietheorie
. De
functionaalanalyse
gaat nog een stap verder en onderzoekt ruimtes van functies of andere operatoren.
Veel problemen in de wetenschap leiden naar de relaties tussen een hoeveelheid en de mate van verandering, bestudeerd met
differentiaalvergelijkingen
. Ook
dynamische systemen
komen voort uit dergelijke problemen, met name in de natuur. De
chaostheorie
beschrijft op een exacte manier hoe de natuur zich weliswaar
deterministisch
, maar toch onvoorspelbaar gedraagt.
Om de
grondslagen van de wiskunde
vast te leggen werden de domeinen van de
wiskundige logica
en de
verzamelingenleer
ontwikkeld.
De wiskundige logica houdt zich bezig met het opzetten van een sterk
axiomatisch
raamwerk, het bestuderen van de gevolgtrekkingen daarvan, maar ook de formele logica en toepassingen daarvan in andere wiskundige vakgebieden. De
verzamelingenleer
bestudeert
verzamelingen
, collecties van wiskundige objecten. Relatief nieuw is de
categorietheorie
, die zich geheel abstract bezighoudt met
wiskundige structuren
en hun verbanden.
Als men spreekt over de
crisis in de fundamenten in de wiskunde
doelt men veelal op de periode van grofweg 1900 tot 1930. Men zocht in die tijd naar een rigide structuur en zo ontstonden allerhande controverses. Die leidden tot heftige discussies en soms tot andere soorten wiskunde, waarin bepaalde regels anders zijn dan in de gebruikelijke wiskunde, zoals het
intuitionisme
en andere soorten
constructivisme
.
De zoektocht naar een axiomatisch raamwerk waarvan de innerlijke
consistentie
kon worden bewezen werd onderuitgehaald door de
onvolledigheidsstellingen van Godel
. Deze stellingen uit 1931 tonen aan dat een voldoende sterk axiomatisch raamwerk automatisch onbewijsbare stellingen in zich heeft en dat de eigen consistentie daar een van is. Dit inzicht heeft het beeld van de grondslagen van de wiskunde enorm veranderd.
Moderne logica omvat de
recursietheorie
, de
modeltheorie
en de
bewijstheorie
, en is sterk verbonden met
informatica
.
De
discrete wiskunde
is de naam voor het onderdeel van de wiskunde dat vooral nuttig is in de
informatica
. Dit omvat de
berekenbaarheidsleer
en de
informatietheorie
, en leidt tot het model van de
turingmachine
. Informatietheorie houdt zich bezig met de hoeveelheid gegevens die kunnen bewaard worden op een bepaald medium en met begrippen zoals
compressie
en
entropie
.
|
|
|
|
|
Combinatoriek
|
Getaltheorie
|
Berekenbaarheidsleer
|
Cryptografie
|
Grafentheorie
|
De toegepaste wiskunde bestudeert het gebruik van abstracte wiskundige middelen voor het oplossen van concrete problemen in de natuurwetenschappen, techniek (vooral
meetkunde
, reele
analyse
,
complexe functietheorie
en
lineaire algebra
) en de
menswetenschappen
en zakenwereld (vooral
statistiek
en
kansrekening
). Statistiek en kansrekening spelen een fundamentele rol in het beoordelen van
risico's
, het interpreteren van
steekproefresultaten
en
enquetes
en het controleren van
processen
. Het doen van
statistische toetsen
, ondersteund door
software
als
SPSS
, geeft daarbij een gedegen basis voor de conclusies.
In de
speltheorie
bestudeert men het nemen van beslissingen in strategische interactie van verschillende partijen. Men gaat daarbij uit van
rationeel
handelen van de partijen. Een bekend voorbeeld uit de speltheorie is het
prisoner's dilemma
.
De wiskunde kent een flink aantal nog onopgeloste problemen. Vaak worden deze
vermoedens
genoemd. De oude Grieken hadden al dergelijke problemen. Die betroffen het vinden van een
constructie met passer en liniaal
voor de
verdubbeling van de kubus
, de
driedeling van de hoek
en de
kwadratuur van de cirkel
. Van deze problemen werd vele eeuwen later pas, met behulp van de
galoistheorie
, aangetoond dat ze geen oplossing hebben.
David Hilbert
presenteerde bij het internationale wiskundecongres in Parijs in 1900 een beroemd geworden lijst van
23 open problemen
voor de
twintigste eeuw
. Deze lijst werd beroemd onder wiskundigen en negen van de problemen zijn opgelost of hebben de status van
onbeslisbaar
. In 2000 werd een nieuwe lijst van zeven belangrijke problemen opgesteld, de
millenniumprijsproblemen
. Oplossing van een van deze problemen levert de oplosser $ 1 miljoen op. Er is maar een probleem dat op beide lijsten staat, de
Riemann-hypothese
.
Sommige open problemen spreken tot de verbeelding van een groter publiek (d.w.z., buiten de groep van mensen die beroepshalve met wiskunde bezig zijn) omdat ze kunnen worden geformuleerd met elementaire begrippen uit het lager of middelbaar onderwijs. Zo stelt het
Vermoeden van Goldbach
dat elk even getal groter dan 2 de som zou zijn van twee priemgetallen.
Naast serieuze wiskunde is er ook een minder serieuze 'recreatieve' wiskunde. Een goed voorbeeld daarvan zijn de grote hoeveelheid
wiskundige puzzels
die er bestaan. Sommige van die puzzels hebben een serieuze ondertoon, zoals een verband met
groepentheorie
bij
Rubiks kubus
en
magische vierkanten
die zorgen voor lastige
telproblemen
.
- Wiskunde in de Oudheid:
Thales van Milete
,
Pythagoras
,
Eudoxus
,
Euclides
,
Archimedes
- Wiskunde in de Europese middeleeuwen:
Boethius
,
Muhammad al-Khwarizmi
,
Leonardo Fibonacci
,
Richard Swineshead
- Ontwikkeling van de infinitesimaalrekening:
Rene Descartes
,
Pierre de Fermat
,
Isaac Newton
,
Gottfried Leibniz
- Statistiek: Pierre de Fermat,
Blaise Pascal
,
Christiaan Huygens
,
Jakob Bernoulli
,
Abraham de Moivre
,
Thomas Bayes
,
Pierre-Simon Laplace
,
Simeon Poisson
,
Adolphe Quetelet
,
Francis Galton
,
Karl Pearson
- Achttiende eeuw: Jakob Bernoulli,
Jean le Rond d'Alembert
,
Leonhard Euler
,
Joseph-Louis Lagrange
,
Adrien-Marie Legendre
- Grondslagen van de wiskunde:
Georg Cantor
,
Richard Dedekind
,
Gottlob Frege
,
Giuseppe Peano
,
Bertrand Russell
,
Kurt Godel
,
Paul Cohen
- Negentiende eeuw:
Niels Henrik Abel
,
Carl Friedrich Gauss
,
Evariste Galois
,
Augustin Louis Cauchy
,
Carl Jacobi
,
Johann Dirichlet
,
Bernhard Riemann
,
Ernst Kummer
,
Karl Weierstrass
,
Sophus Lie
,
Henri Poincare
,
Felix Klein
- Twintigste eeuw:
David Hilbert
,
Emmy Noether
,
Emile Borel
,
Hermann Weyl
,
Luitzen Brouwer
,
John von Neumann
,
Alan Turing
,
Carl Ludwig Siegel
, Kurt Godel,
Alexander Grothendieck
,
Donald Knuth
,
Andrew Wiles
- Eenentwintigste eeuw:
Grigori Perelman
Voetnoten
- ↑
Margriet van der Heijden.
Oerknal: dat is pas klare taal
.
NRC Handelsblad
, 15 mei 2021.
- ↑
Mura, Robert
(december 1993).
Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences
.
Educational Studies in Mathematics
25
(4):
375?385
.
|