체르멜로-프렝켈 集合論

數學 에서, 選擇公理를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 (選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, 英語 : Zermelo?Fraenkel set theory with the axiom of choice , 弱者 ZFC)은 功利的集合論 의 하나이다. 現代數學의 標準的인 數學基礎論 으로 使用된다.

正義 [ 編輯 ]

選擇公理를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 은 1次論理 를 基盤으로 하는 1次集合論 이며, 等號 밖에 하나의 이항 關係 $\in$ 만을 가진다. 論議領域 은 集合 들이다 (集合은 公理를 통해 描寫되기만 할 뿐 直接的으로 正義되지는 않는다). 이항 關係 $a\in b$ 는 " $a$ 가 $b$ 의 元素 "라고 읽는다.

\forall x\in y\colon \phi

\exists x\in y\colon \phi

는 各各

\forall x\colon x\in y\implies \phi

\exists x\colon x\in y\land \phi

를 줄여 쓴 것이다.

選擇公理를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論의 公理系는 다음과 같은 公理 7個 및 公理꼴 2個로 定義된다. 이들은 通常的인 1次述語論理公理들에 追加로 假定한 것이다.

체르멜로-프렝켈 公理系 (ZF)는 ZFC에서 選擇公理 를 除外한 것이며, 체르멜로 公理系 (Z)는 ZFC에서 選擇 · 正則性 · 置換公理(꼴)를 除外한 것이다.

集合의 基本性質 [ 編輯 ]

擴張公理와 正則性 공리는 ZFC에서 쓰이는, 集合의 基本的인 性質들을 나타낸다. 卽, 集合은 順序 및 다른 追加性質을 갖지 않는 構造이며 (擴張性), 스스로를 包含하거나 其他再歸的인 包含關係를 가지지 못한다 (正則性).

擴張公理 ( 英語 : axiom of extensionality ) 或은 外延公理 : 包含하는 元素가 全部 같은 두 集合은 서로 同一하다. 卽, 이는 事實上集合의 同一함이 무엇인지를 定義한다. 擴張 공리의 驛은 서로 같은 集合이 包含하는 元素가 같다는 命題이며, 이는 이미 1次論理의 공리이다.
$\forall x\forall y\colon (\forall z\colon z\in x\iff z\in y)\implies x=y$
正則性公理 ( 英語 : axiom of regularity ) 或은 基礎公理 ( 英語 : axiom of foundation ): 空集合 이 아닌 모든 集合은 自身과 서로素人元素를 包含한다. 이에 따라, 스스로를 元素로 包含하는 集合이나, 스스로를 元素의 元素로 包含하는 集合等은 存在할 수 없다. 事實, 正則性公理를 假定하면 이는 모든 모임 위에서도 成立하게 된다 ( 正初關係#正初 모임 參考).
$\forall x\colon (\exists y\colon y\in x)\implies (\exists y\in x\lnot \exists z\colon z\in x\land z\in y)$

集合의 構成 [ 編輯 ]

分類·置換公理꼴과 짝·合集合·冪集合公理들은 주어진 集合으로부터 새로운 集合을 構成하는 方法들을 定義한다. 卽, 이미 構成된 集合들로부터, 이들의 順序雙 · 合集合 · 冪集合 을 定義할 수 있으며, 또한 이미 構成된 集合에 주어진 性質을 만족시키는 部分集合을 取하거나 (分類公理꼴), 函數 에 對한 上 을 取할 수 있다 (置換公理꼴).

分類公理꼴 ( 英語 : axiom schema of specification ): $z$ 가 集合이고 $\phi$ 가 그 元素들이 滿足할 수 있는 性質일 때, 이를 滿足하는 것들로 이루어진 $z$ 의 部分集合이 存在한다. 여기에서 元素의 範圍를 集合 $z$ 로 制限하는 것은 러셀의 逆說等逆說을 避하기 위함이다. 1次論理에서는 性質에 限定記號를 加할 수 없으므로, 이는 낱個의 公理로 나타낼 수 없으며, 各性質들에 對應하는 "無限個"의 公理들로 構成된다. $x,w_{1},\ldots ,w_{n}$ 또는 $x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}$ 을 自由變數로 가지는 (特히 $y$ 를 自由變數로 갖지 않는) 論理式 $\phi$ 에 對하여,
$\forall z\forall w_{1}\cdots \forall w_{n}\exists y\forall x\colon x\in y\iff x\in z\land \phi$
置換公理꼴 ( 英語 : axiom schema of replacement ): 集合을 定義域으로 갖는, 形式的으로 定義된 函數가 있을 때, 그 値域을 包含하는 集合이 存在한다. 보다 嚴密하게 敍述하면, $x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}$ 또는 $x,y,A,w_{1},\ldots ,w_{n}$ 을 自由變數로 가지는 (特히 $B$ 를 自由變數로 갖지 않는) 論理式 $\phi$ 에 對하여,
$\forall A\forall w_{1}\cdots \forall w_{n}\colon (\forall x\in A\exists !y\colon \phi )\implies (\exists B\forall x\in A\exists y\in B\colon \phi )$
여기에서 限定記號 $\exists !y\colon \psi$ 는 $\exists y\colon \psi \land (\forall y'\colon \psi [y'/y]\implies y=y')$ 을 줄여 쓴 것이다. 卽, 性質 $\psi$ 를 滿足하는 $y$ 가 唯一하게 存在함을 말한다.
짝 公理 ( 英語 : axiom of pairing ): 任意의 두 集合에 對해, 둘 모두를 元素로서 包含하는 集合이 存在한다.
$\forall x\forall y\exists z\colon x\in z\land y\in z$
合集合公理 ( 英語 : axiom of union ): 任意의 集合에 對해, 거기에 包含되는 元素들에 包含되는 元素들을 全部包含하는 集合이 存在한다.
$\forall {\mathcal {F}}\exists A\forall Y\forall x\colon x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}}\implies x\in A$
冪集合公理 : 任意의 集合 x에 對해, x의 모든 部分集合을 元素로 갖는 集合 y가 存在한다.
$\forall x\exists y\forall z\colon z\subseteq x\implies z\in y$
여기에서 $z\subseteq x$ 는 $\forall q\in z\colon q\in x$ 를 줄여 쓴 것이다.

無限公理와 選擇公理 [ 編輯 ]

無限公理와 選擇 공리는 ZFC 公理系에서 比較的 더 論難이 되는 公理들이다. 無限 공리는 加算無限集合 의 存在를 假定하며, 여기에 冪集合 을 取하여 더 큰 無限期數 와 順序數 들을 定義할 수 있다. 選擇公理 에 따르면, 無限한 數의 集合들에서 各各 하나의 元素를 無作爲로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 方法은 明示되지 않으며, 一部境遇明示할 수 없음을 보일 수 있다.

無限 공리 : 空集合 을 元素로 가지며, 萬若 $y$ 를 元素로 가진다면 언제나 $S(y)$ 도 元素로 가지는 集合 $X$ 가 存在한다.
$\exists X\colon \varnothing \in X\land (\forall y\in X\colon S(y)\in X)$
여기서 $S(x)=x\cup \{x\}$ 이며, 公理 1부터 6까지를 利用해 任意의 集合 $x$ 에 對해 $S(x)$ 가 唯一하게 存在함을 證明할 수 있다. $\varnothing$ 은 空集合 으로, 위의 公理들을 利用해 萬若集合이 하나라도 存在한다면 空集合이 唯一하게 存在함을 證明할 수 있다. 正則性公理에 따라 恒常 $S(x)\neq x$ 이므로, 이는
$X\supseteq \left\{\varnothing ,S(\varnothing ),S(S(\varnothing ),\dots \right\}$
를 의미한다. 이들은 各各自然水路定義할 수 있다.
$\varnothing =0$

$S(x)=x+1$
그렇다면, 이 공리는 自然數의 集合 $\mathbb {N}$ 의 存在를 의미한다. (萬若自然水를 다른 方法으로 定義하고 싶으면, 置換公理꼴을 使用하여 이를 다른 定義로 飜譯할 수 있다.)
選擇公理 : 空集合이 아닌 集合들의 集合 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 各元素로부터 하나씩의 元素를 고르는 函數 $f$ 가 存在한다. 卽, 모든 $A\in X$ 에 對하여, $f$ 는 $A$ 의 元素 $f(A)\in A$ 를 골라낸다.
$\forall X\colon \varnothing \not \in X\implies \left(\exists f\colon X\to \bigcup X\forall A\in X\colon f(A)\in A\right)$
여기서 $\bigcup X=\bigcup _{A\in X}A$ 는 $X$ 의 모든 元素들의 合集合 이며, 合集合公理에 따라 存在한다.

性質 [ 編輯 ]

ZFC의 論議領域은 集合灣을 包含하며, 固有 모임 을 包含하지 않는다. 모임 을 直接的으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 集合論 이나 모스-켈리 集合論 을 使用하여야 한다.

ZFC의 모든 集合은 集合으로 構成되어 있으며, 原子( 英語 : atom , urelement )를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 集合은 正則的이다. 卽, 正則性公理에 依하여

A=\{A\}=\{\{A\}\}=\cdots

또는

B=\{C\}=\{\{B\}\}=\{\{\{C\}\}\}=\cdots

와 같은, 無限히 再歸的인 集合이 存在할 수 없다.

체르멜로-프렝켈 集合論의 一部公理들은 서로 獨立的이지 않다. 例를 들어, 나머지 公理들로부터 짝 公理를 誘導할 수 있다.

證明:

冪集合公理에 따라, 集合 ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,{\mathcal {P}}(\varnothing )\}$ 이 存在한다. 任意의 集合 $a,b$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 論理式 $\phi$ 를 생각하자.

(x=\varnothing \land y=a)\lor (x={\mathcal {P}}(\varnothing )\land y=b)

(이는 集合論의 言語以外의 記號를 使用하지만, 集合論의 言語의 記號만을 使用하도록 飜譯할 수 있다.) $\phi$ 는 $x,y$ 를 自由變數로 가지며, ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ 의 元素에 對하여 唯一한 集合을 對應시킨다. 置換公理꼴에 따라, $\varnothing$ 와 ${\mathcal {P}}(\varnothing )$ 의 賞을 元素로 包含하는 集合이 存在한다. $\varnothing$ 의 賞은 $a$ 이며, ${\mathcal {P}}(\varnothing )$ 의 賞은 $b$ 이다.

相對的無矛盾性 [ 編輯 ]

ZF(C)와 같은 無矛盾性을 갖는 理論 [ 編輯 ]

다음 理論들은 서로 等無矛盾的 이다. ^[1]

${\mathsf {ZF}}^{-}$ . 이는 ${\mathsf {ZF}}$ 에서 正則性公理를 省略한 公理系이다. ^[1]^{:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}
${\mathsf {ZF}}$ ^[1]^{:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14}
${\mathsf {ZFC}}$
${\mathsf {ZFC}}$ + 到達不可能한 期數 가 存在하지 않는다. ^[1]^{:148, Exercise IV.19}
${\mathsf {ZFC}}$ + 一般化連續體假說 ^[1]^{:175, Corollary VI.4.9}
${\mathsf {ZFC}}$ + 一般化連續體假說 + 到達不可能한 期數 가 存在하지 않는다. ^[1]^{:177, Corollary VI.4.13}
${\mathsf {ZFC}}+V=L$ ^[1]^{:170, Corollary VI.3.4}
${\mathsf {ZFC}}+V=\operatorname {HOD}$ ^[1]^{:172, Corollary VI.3.11}
${\mathsf {ZFC}}+V\neq L+{\mathsf {GCH}}$ ^[1]^{:211, VII.5.17}
${\mathsf {ZFC}}+2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}$ ^[1]^{:209, Corollary VII.5.15}
${\mathsf {ZF}}+\lnot {\mathsf {AC}}$ ^[1]^{:245, Exercise VII.E4}
${\mathsf {ZFC}}^{-}+\exists x\colon x=\{x\}$ ^[1]^{:148, Exercise IV.19}
${\mathsf {NBG}}$ ( 폰 노이만-베르나이스-괴델 集合論 ). 이는 ${\mathsf {ZFC}}$ 의 保存的擴張 이다. 卽, 純粹하게 集合에 對한 命題에 對하여, ZFC에서의 證明可能性과 NBG에서의 證明可能性이 서로 동치다.

ZF(C)보다 弱한 理論 [ 編輯 ]

다음과 같은 理論들은 ${\mathsf {ZF(C)}}$ 에 對하여 相對的으로 無矛盾的 이지만 그 驛은 成立하지 않는다.

{\mathsf {ZF}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {PA}})

이며,

\operatorname {Con} ({\mathsf {ZF-I}})\iff \operatorname {Con} ({\mathsf {PA}})

이다. ^[1]^{:149, IV.30}^[2] 여기서 ${\mathsf {PA}}$ 는 페아노 公理系 이며, ${\mathsf {ZF-I}}$ 는 체르멜로-프렝켈 集合論에서 無限公理를 省略한 것이다. 따라서, (萬若 ${\mathsf {ZF(C)}}$ 가 無矛盾的이라면) ${\mathsf {ZF(C)}}$ 는 ${\mathsf {ZF-I}}$ 보다 無矛盾性에 따르면 더 强力하다. 勿論, $\mathbb {N} \models {\mathsf {PA}}$ 이다.

마찬가지로, 다음이 成立한다. ^[1]^{:132, Theorem IV.6.5}

{\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} \left({\mathsf {ZFC-P}}\right)

여기서 ${\mathsf {ZFC-P}}$ 는 ${\mathsf {ZFC}}$ 에서 冪集合公理를 除去하고, 代身 "모든 集合이 可算集合 이다"를 追加한 것이다. 事實, $H_{\aleph _{1}}\models {\mathsf {ZFC-P}}$ 이다. 여기서 $H_{\aleph _{1}}$ 은 遺傳的可算集合들의 集合이다.

마찬가지로, 다음이 成立한다. ^[1]^{:123, Theorem IV.3.13}

{\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}})

여기서 ${\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}$ 는 ${\mathsf {ZFC}}$ 에서 無限公理를 除去하고, 代身 그 不正을 追加한 것이다. 事實, $V_{\omega }\models {\mathsf {ZFC-I}}+\lnot {\mathsf {I}}$ 이다. ^[3]^[4] 여기서 $V_{\omega }$ 는 遺傳的有限集合들의 集合(卽, 폰 노이만 全體 의 $\omega$ 番째 段階)이다.

마찬가지로, 다음이 成立한다. ^[5]^{:110, Theorem II.2.2}

{\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+\lnot {\mathsf {R}})

여기서 ${\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+\lnot {\mathsf {R}}$ 는 ${\mathsf {ZFC}}$ 에서 置換公理꼴을 그 不正으로 代替한 것이다. 事實, $V_{\omega +\omega }\models {\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+\lnot {\mathsf {R}}$ 이다. ^[6]

ZFC보다 剛한 理論 [ 編輯 ]

모스-켈리 集合論 ( 英語 : Morse?Kelley set theory ) MK는 ZFC의 無矛盾性을 證明할 수 있어 ZFC보다 더 剛한 理論이다. ^[5]^{:152, Exercise II.10.2} 事實, MK의 有限한 數의 定理들을 公理들로 하는 理論 $T\subset {\mathsf {MK}}$ 에 對하여,

{\mathsf {MK}}\vdash \operatorname {Con} (T)

이며, 特히 $T={\mathsf {NBG}}$ 인 境遇

{\mathsf {MK}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {NBG}})

\operatorname {Con} ({\mathsf {NBG}})\iff \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}})

이다.

萬若 ZFC가 無矛盾的이라면, ZFC는 到達不可能한 期數 (및 其他 큰 期數 )의 存在를 證明할 수 없다. 이는 ZFC+到達不可能한 騎手의 存在로부터 ZFC의 無矛盾性을 證明할 수 있기 때문이다. 事實,

{\mathsf {ZFC}}+\operatorname {Inacc} \neq \varnothing \vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {MK}})

인데, 이는 到達不可能한 期數 $\kappa$ 에 對하여 $V_{\kappa +1}\models {\mathsf {MK}}$ 利器 때문이다.

마찬가지로, ZF+ 弱하게 到達不可能한 期數 의 存在는 ZFC의 無矛盾性을 보일 수 있다.

有限公理化의 不可能性 [ 編輯 ]

ZFC는 公理꼴( 英語 : axiom schema )을 包含하고 있으므로, 實際로는 無限 히 많은 數의 公理들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규 는 1961年에 ZFC도 ZF도 (萬若無矛盾的이라면) 有限個의 公理로는 代替될 수 없음을 證明했다. 事實, ZFC의 有限한 數의 定理들을 公理系로 하는 理論 $T\subset {\mathsf {ZFC}}$ 에 對하여, 恒常

{\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}-{\mathsf {R}}+T)

이다. ^[5]^{:131, Corollary II.5.4} 反面, 폰 노이만-베르나이스-괴델 集合論 (NBG)은 有限個의 公理로 公理化할 수 있다.

歷史 [ 編輯 ]

1890年代의 칸토어 逆說 의 發見과 1901年의 러셀의 逆說 의 發見으로, 嚴密한 數學基礎論의 必要性이 擡頭되었다.

1904年에 에른스트 체르멜로 는 整列整理 를 證明하기 위하여 選擇公理 를 導入하였다. 1908年, 에른스트 체르멜로 는 最初의 功利的集合論人 체르멜로 集合論을 發表했다. ^[7] 그러나 체르멜로 集合論은 順序數 를 構成하기에 不足하였다. 具體的으로, 체르멜로 集合論에서는 알레프 수 $\aleph _{\omega }$ 를 定義할 수 없다. 또한, 체르멜로의 分類公理꼴( 獨逸語 : Axiom der Aussonderung )에는 "明確한"( 獨逸語 : definit ) 性質이라는 表現이 包含되어 있었는데, 이 槪念은 嚴密하게 定義되지 않았다.

1907年에 러시아의 數學者 드미트리 미리마노프 ( 러시아語 : Дми?трий Семёнович Мирима?нов )는 集合의 正則性의 槪念을 定義하였고, 이 性質이 체르멜로의 公理系로부터 誘導되지 않는다는 事實을 指摘하였다.

1910年에 헤르만 바일 은 "明確한" 性質을 1次論理 로 定義할 수 있는 性質로 定義하였다. ^[8] 1922年에 土랄프 스콜렘 또한 같은 提案을 하였다. ^[9]

또한, 1922年에 아브라함 프렝켈 ^[10]과 스콜렘 ^[9] 은 체르멜로의 公理系에 置換公理꼴( 獨逸語 : Ersetzungsaxiom )을 追加하였다. 존 폰 노이만 은 여기에 集合의 正則性을 表現하는 正則的公理를 追加하여 ZFC를 完成하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

各州 [ 編輯 ]

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^社 ^아 ^者 ^次 ^카 ^타 ^파 ^下 ^거 Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (英語) 102 . North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8 . MR 597342 . Zbl 0534.03026 . 2016年 9月 11日에 原本文書 에서 保存된 文書 . 2016年 8月 8日에 確認함 .
↑ Kaye, Richard; Wong, Tin Lok (2007). “On interpretations of arithmetic and set theory”. 《Notre Dame Journal of Formal Logic》 (英語) 48 (4): 497?510. doi : 10.1305/ndjfl/1193667707 . ISSN 0029-4527 . MR 2357524 . Zbl 1137.03019 .
↑ Roitman 2011 , 136쪽
↑ Cohen 2008 , 54쪽, states: "The first really interesting axiom [of ZF set theory] is the Axiom of Infinity. If we drop it, then we can take as a model for ZF the set M of all finite sets which can be built up from ?. [...] It is clear that M will be a model for the other axioms, since none of these lead out of the class of finite sets."
↑ ^가 ^나 ^다 Kunen, Kenneth (2011). 《Set theory》. Studies in Logic (London) (英語) 34 . London: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9 . MR 2905394 . Zbl 1262.03001 .
↑ Smullyan & Fitting 2010 , 96쪽
↑ Zermelo, Ernst (1908). “Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I” . 《Mathematische Annalen》 (獨逸語) 65 : 261?281. doi : 10.1007/BF01449999 . JFM 39.0097.03 .
↑ Weyl, H. (1910). “Uber die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe”. 《Mathematisch-naturwissenschaftliche Blatter》 (獨逸語) 7 : 93?95, 109?113. JFM 41.0089.03 .
↑ ^가 ^나 Skolem, T. (1923). 〈Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung der Mengenlehre〉. 《Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4?7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogorelse》 (獨逸語). 217?232쪽. JFM 49.0138.02 .
↑ Fraenkel, A. A. (1922). “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre” . 《Mathematische Annalen》 (獨逸語) 86 : 230?237. doi : 10.1007/BF01457986 . JFM 48.0199.04 .

外部 링크 [ 編輯 ]

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Weisstein, Eric Wolfgang. “Zermelo-Fraenkel set thoery” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.
“ZFC” . 《nLab》 (英語).
Bagaria, Joan (2014年 10月 8日). “Set theory” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).
Ferreiros, Jose (2011年 7月 6日). “The early development of set theory” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).
Hallett, Michael (2013年 7月 2日). “Zermelo’s axiomatization of set theory” . 《Stanford Encyclopedia of Philosophy》 (英語).
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Hinman, Peter (2005). 《Fundamentals of Mathematical Logic》 (英語). A K Peters. ISBN 978-1-56881-262-5 .
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Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. 《Set Theory and the Continuum Problem》. Dover. ISBN 978-0-486-47484-7 .

[Kunen-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^社 ^아 ^者 ^次 ^카 ^타 ^파 ^下 ^거 Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》 . Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (英語) 102 . North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8 . MR 597342 . Zbl 0534.03026 . 2016年 9月 11日에 原本文書 에서 保存된 文書 . 2016年 8月 8日에 確認함 .

[2] Kaye, Richard; Wong, Tin Lok (2007). “On interpretations of arithmetic and set theory”. 《Notre Dame Journal of Formal Logic》 (英語) 48 (4): 497?510. doi : 10.1305/ndjfl/1193667707 . ISSN 0029-4527 . MR 2357524 . Zbl 1137.03019 .

[3] Roitman 2011 , 136쪽

[4] Cohen 2008 , 54쪽, states: "The first really interesting axiom [of ZF set theory] is the Axiom of Infinity. If we drop it, then we can take as a model for ZF the set M of all finite sets which can be built up from ?. [...] It is clear that M will be a model for the other axioms, since none of these lead out of the class of finite sets."

[Kunen2011-5] 가 ^나 ^다 Kunen, Kenneth (2011). 《Set theory》. Studies in Logic (London) (英語) 34 . London: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9 . MR 2905394 . Zbl 1262.03001 .

[6] Smullyan & Fitting 2010 , 96쪽

[7] Zermelo, Ernst (1908). “Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre I” . 《Mathematische Annalen》 (獨逸語) 65 : 261?281. doi : 10.1007/BF01449999 . JFM 39.0097.03 .

[8] Weyl, H. (1910). “Uber die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe”. 《Mathematisch-naturwissenschaftliche Blatter》 (獨逸語) 7 : 93?95, 109?113. JFM 41.0089.03 .

[Skolem1923-9] 가 ^나 Skolem, T. (1923). 〈Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung der Mengenlehre〉. 《Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4?7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogorelse》 (獨逸語). 217?232쪽. JFM 49.0138.02 .

[10] Fraenkel, A. A. (1922). “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre” . 《Mathematische Annalen》 (獨逸語) 86 : 230?237. doi : 10.1007/BF01457986 . JFM 48.0199.04 .

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v t e 集合論
集合	元素空集合 한元素集合部分集合交集合合集合餘集合對稱車冪集合冪集合公理 곱集合順序雙有限集合無限集合無限 공리 可算集合 드 모르간의 法則
函數	定義域工役値域上戰死函數丹沙函數全單射函數 다가 函數逆函數缸燈函數常數函數指示函數函數의 合成
期數	集合의 크기 칸토어의 整理對角線論法 알레프 수 베트 수 極限期數氣멜 函數可能 공종도
順序數	整列順序初寒歸納法 공종도 쾨니그의 定理下르톡스 수 正規函數
逆說의 解消	素朴한 集合論 러셀의 逆說 칸토어 逆說 부랄里포르티 逆說 모임 類型理論《數學原理》 체르멜로-프렝켈 集合論 새 基礎 폰 노이만-베르나이스-괴델 集合論 모스-켈리 集合論
選擇公理	加算選擇公理依存的選擇公理超른 補助定理 슈필라인 擴張整理 바나흐-타르스키 逆說 티호노프 整理
集合論의 模型	構成可能全體秋移籍集合秋移籍模型順序數正義可能集合强制法
큰 期數	到達不可能한 期數 가측 期數約콤팩트 期數江콤팩트 期數超콤팩트 期數
ZF 와 獨立된 命題	連續體假說特異期數假說 수瑟린 假說 화이트헤드 問題決定公理 마틴 公理 다이아몬드 原理