P陣解析學

數學 에서 $p$ 陳解析學 ( 英語 : p -adic analysis )은 $p$ 진수 函數에 對한 解析學 을 다루는 數論 의 한 分野이다.

$p$ 眞髓에 對한 複素函數理論은 局所 콤팩트 軍에 對한 理論의 一部이다. $p$ 陳解釋學에 對한 一般的인 意味는 對象空間에 對한 $p$ 陳 값 函數論이다.

$p$ 陳解釋學은 主로 整數論 과 關聯 있으며, 디오版틴 幾何學 과 디오版틴 近似 에서 重要한 役割을 한다. 一部應用에서는 $p$ 陳函數解析學 및 스펙트럼 理論의 開發이 必要했다. 여러 가지 面에서 $p$ 陳解釋學은 古典的解析學 보다 덜 微妙하다. 例를 들어 超거리 不等式 은 $p$ 陳囚衣無限級數 의 收斂이 훨씬 더 簡單하다는 것을 의미하기 때문이다. $p$ 진 체 위의 位相 벡터 空間 은 獨特한 特徵을 보여준다. 例를 들어 볼록性 과 한-바나흐 整理 와 關聯된 側面은 다르다.

重要한 結果 [ 編輯 ]

오스트롭스키 整理 [ 編輯 ]

알렉산더 오스트롭스키 (1916)가 證明한 오스트롭스키 整理는 有理數 체의 모든 自明하지 않은 絶對값 이 一般的인 絶對값 또는 $p$ 陳 절대값과 同一하다고 말한다. ^[1]

말러의 整理 [ 編輯 ]

쿠르트 말러 가 導入한 말러 整理 는 多項式으로 連續 $p$ 陳函數를 表現한다.

票數 가 0人 모든 체 에서 다음 結果가 나타난다:

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

를 차분 演算子 라고 하자. 그런 다음 다항 函數 $f$ 를 뉴턴 級數

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k}

로 表現 할 수 있다, 여기서

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

失手分野에서 $f$ 가 多項式이라는 家庭은 弱化될 수 있지만 單純한 連續性 까지 弱化될 수는 없다.

말러는 다음과 같은 結果를 證明했다.

말러 整理 : $f$ 가 $p$ 陳定數에 對한 連續 $p$ 陳 값 函數이면 同一한 恒等式이 維持된다.

헨젤 補助定理 [ 編輯 ]

쿠르트 헨젤 의 이름을 따서 命名된 헨젤의 올림 補助定理라고도 하는 헨젤의 補助定理는 모듈러 算術 의 結果로, 다항 方程式에 少數 $p$ 를 法으로 하는 單純斤이 있는 境遇 이 斤은 $p$ 의 더 높은 거듭제곱을 法으로 同一한 方程式의 唯一한 斤에 該當함을 나타낸다. 이 斤은 $p$ 의 連續的인 거듭제곱들을 法으로 害를 反復的으로 " 올림 "하여 찾을 수 있다. 더 一般的으로 이는 方程式을 풀기 위한 뉴턴 方法 의 完備可換圜 (特히 $p$ 진 체 包含)에 對한 類似體의 一般的 이름으로 使用된다. $p$ 陳解釋學은 어떤 面에서 실解釋學 보다 더 簡單하기 때문에 多項式의 根을 保障하는 比較的 쉬운 判定法이 있다.

$f(x)$ 가 精髓 (또는 $p$ 陳精髓) 係數를 갖는 多項式 이고 $m,k$ 가 $m\leq k$ 인 陽의 精髓라고 하자. $r$ 이

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

그리고

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

과 같은 整數인 境遇

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

그리고

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

人精髓 $s$ 가 存在한다. 또한 $s$ 는 $p^{k+m}$ 를 法으로 唯一하며,

s=r+tp^{k}

여기서,

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1})

과 같이 明示的으로 計算할 수 있다.

局所-帶域原則 [ 編輯 ]

하세 原理라고도 알려진 헬무트 하세 의 局所-帶域原理는 中國人의 나머지 定理 를 使用하여 各各의 다른 少數로 거듭제곱 害를 結合하여 方程式에 對한 精髓 해를 찾을 수 있다는 생각이다. 이것은 有理數( 失手 와 p진수 ) 의 完備花 에서 方程式을 檢査하여 處理된다. 하세 原理는 特定類型의 方程式이 各少數 $p$ 에 對한 失手 와 $p$ 眞髓에 해가 있는 境遇에만 有利害를 갖는다고 말한다.

應用 [ 編輯 ]

p陣量子力學 [ 編輯 ]

$p$ 陳量子力學 은 基本物理學의 特性을 理解하기 위한 比較的最近의 接近方式이다. 標準的인 量子力學의 數學的形式化는 複素函數解析學을 基盤으로 이뤄져 있다. $p$ 陳解釋學을 量子力學 에 適用한 것이다. $p$ 진수는 1899年警獨逸數學者 쿠르트 헨젤 이, 그리고 初期에 初級形態로 獨逸數學者 에른스트 쿠머 (1810-1893)가 發見한 直觀的인 算術 시스템(그러나 幾何學的으로 反直觀的)이다. 이와 密接한 關聯이 있는 아델 과 이델은 1930年代에 끌로드 슈발레 와 앙드레 베유 에 依해 紹介되었다. 그들의 硏究는 이제 數學의 主要分野로 자리 잡았다. 이는 때때로 物理學에 適用되었지만 1987年 러시아 數學者 볼로備置가 出版하기 前까지는 物理學界에서 그 主題가 深刻하게 다루어지지 않았다. ^[2] 現在는 이 主題에 對한 數百個의 硏究論文이 있으며 ^[3]^[4] 國際 저널도 있다.

主題에 對한 두 가지 主要接近方式이 있다. ^[5]^[6] 첫 番째는 $p$ 陳 포텐셜 우물에 있는 粒子를 考慮하며 目標는 매끄러운 複素數 값 波動函數 해를 찾는 것이다. 이 해들은 日常生活과 어느 程度 친숙함을 갖는다. 두 番째는 $p$ 陳 포텐셜 우물의 粒子를 考慮하며 目標는 $p$ 陳 값 波動函數를 찾는 것이다. 이 境遇物理的解釋이 더 어렵다. 그러나 이는 數理物理學敵으로 種種 눈에 띄는 特性을 나타내므로 사람들은 繼續해서 硏究하고 있다. 狀況은 2005年에 한 科學者에 依해 다음과 같이 要約되었다: "나는 이 모든 結果가 그저 흥미로운 偶然에 지나지 않고 但只 장난감 模型으로만 意味 있다고는 생각 할 수 없다. 이에 對한 더 많은 作業이 必要하고 價値가 있다고 생각한다." ^[7]

같이 보기 [ 編輯 ]

p진수
P陣打이히뮐러 理論
局所 콤팩트 空間
실解釋學
複素解釋學
超複素數解析學
調和解析學

各州 [ 編輯 ]

↑ Koblitz, Neal (1984). 《P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions》 2板. New York: Springer-Verlag. 3쪽. ISBN 978-0-387-96017-3 . 2012年 8月 24日에 確認함 . Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ? ? on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $| | p$ for some prime $p$ or for $p = \infty$ . |引用文=에 지움 文字가 있음(위치 59) ( 도움말 )
↑ I.V.Volovich, Number theory as the ultimate theory , CERN preprint, CERN-TH.4791/87
↑ V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov P-adic Analysis and Mathematical Physics , (World Scientific, Singapore 1994)
↑ L. Brekke and P. G. O. Freund, P-adic numbers in physics , Phys. Rep. 233 , 1-66(1993)
↑ Dragovich, Branko (2007). “Adeles in Mathematical Physics” . arXiv : 0707.3876 .
↑ Djordjevi?, G. S.; Dragovich, B. (2000). “P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency”. 《Theoretical and Mathematical Physics》 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Bibcode : 2000TMP...124.1059D . doi : 10.1007/BF02551077 .
↑ Freund, Peter G. O. (2006). 〈P-Adic Strings and Their Applications〉. 《AIP Conference Proceedings》 826 . 65?73쪽. arXiv : hep-th/0510192 . doi : 10.1063/1.2193111 .

追加文獻 [ 編輯 ]

Koblitz, Neal (1980). 《p-adic analysis: a short course on recent work》. London Mathematical Society Lecture Note Series 46 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-28060-5 . Zbl 0439.12011 .
Cassels, J.W.S. (1986). 《Local Fields》. London Mathematical Society Student Texts 3 . Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5 . Zbl 0595.12006 .
Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). “Complexity of Deciding Solvability of Polynomial Equations over p-adic Integers” . 《Univ. Of Bonn CS Reports 85183》.
Karpinski, Marek ; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). “Zero testing of p-adic and modular polynomials”. 《Theoretical Computer Science》 233 (1?2): 309?317. doi : 10.1016/S0304-3975(99)00133-4 . ( preprint )
A course in p陣 analysis, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Ultrametric Calculus: An Introduction to p陣 Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
p陣 Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5

[1] Koblitz, Neal (1984). 《P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions》 2板. New York: Springer-Verlag. 3쪽. ISBN 978-0-387-96017-3 . 2012年 8月 24日에 確認함 . Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ? ? on $\mathbb {Q}$ is equivalent to $| | p$ for some prime $p$ or for $p = \infty$ . |引用文=에 지움 文字가 있음(위치 59) ( 도움말 )

[2] I.V.Volovich, Number theory as the ultimate theory , CERN preprint, CERN-TH.4791/87

[integral-3] V. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov P-adic Analysis and Mathematical Physics , (World Scientific, Singapore 1994)

[r-4] L. Brekke and P. G. O. Freund, P-adic numbers in physics , Phys. Rep. 233 , 1-66(1993)

[repeat-5] Dragovich, Branko (2007). “Adeles in Mathematical Physics” . arXiv : 0707.3876 .

[6] Djordjevi?, G. S.; Dragovich, B. (2000). “P-Adic and adelic harmonic oscillator with a time-dependent frequency”. 《Theoretical and Mathematical Physics》 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Bibcode : 2000TMP...124.1059D . doi : 10.1007/BF02551077 .

[freund-7] Freund, Peter G. O. (2006). 〈P-Adic Strings and Their Applications〉. 《AIP Conference Proceedings》 826 . 65?73쪽. arXiv : hep-th/0510192 . doi : 10.1063/1.2193111 .

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