推計學 (推計學, 스토케스틱, stochastic →確率)은 흔히 推測 統計學 으로도 불리며, 母集團에서 任意로 抽出한 標本에 따라 母集團의 狀態를 推測하는 學問이다. 主로 數學分野에서 다뤄지고 있으나, 實生活에서의 適用 範圍가 넓어 自然科學 , 工學 外에도 經濟學, 社會學 等에서도 많이 適用되는 學問이다.

어원 [ 編輯 ]

英文表記 Stochastic의 語源은 그리스어 stochastik? techn? (στοχαστικ? τ?χνη)에서 由來된 것이며 이는 "技術的 推測"이라는 意味를 담고 있다. 18世紀 스위스 數學者 베르누이(Bernoulli)에 依하여 定義되었다. ^[1] 數學의 한 分野로서 흔히 統計學에서 主로 硏究되고 있어 統計學에 包含시키는 境遇가 많으나, 實際 意味上으로 推計學은 統計學 과 確率論 의 上位槪念이다. ^[2]

由來 [ 編輯 ]

演奏나 作曲에서 偶然性을 內包시키고자 한다면 數學的인 確率計算을 통하여 그 可能性을 作曲者가 豫想할 수 있고, 萬一 願치 않는 結果가 나올 때 또다른 結果까지도 豫想할 수 있도록 만드는 것이 바로 確率音樂이다. 크세나키스의 '스토케스틱(Stochastic)' 音樂에서 由來하는데, 이는 確率的으로 各各의 音들을 豫測하는 것이 아니라 全體로써 調整되도록 한 것이다.

크세나키스는 한 音의 歷史는 時間에 따라 주어진 振動數의 그래프에 依하여 나타나며, 그 時間軸에 따라 音의 피치와 强度를 確率的으로 변화시킬 수 있도록 考案한 것이다. ^[1]

크세나키스의 推計學 理論 및 作品 [ 編輯 ]

1. 確率의 法則

確率論은 그의 作品에서 가장 主要하게 確率의 法則과 計算法으로 쓰이고 있다. 1954年 그는 孤立된 ‘點’에 따라 소리를 다루는 同 時代의 趨勢를 批判하였고, 그에 따라' 구름‘과 ’銀河水‘라고 불리는 ’集團‘에 關心을 갖게 된다. 4) 決코 作品 製作에 있어 偶然의 餘地를 許諾하지 않았던크세나키스는 소리 集團의 取扱을 描寫하며, ’推計音樂(Stochastic Music)'이란 用語를 紹介한다.

1) 멕스웰-볼츠만 法則

“다음 스텝으로는 Pithoprakta이다. 나는 이 프로젝트를 통해서 매스를 좀 더 徹底하게 다루려 고 했다.”8) 數學的 法則을 使用하여 나타낸 크세나키스의 作品 Pithoprakta9)에서는 세 가지 主要 特性들이 있었다. 첫째, 한 空間 內에서 分子의 움직임에 對해, 바이올린의 音域 內에서 그 音의 움직임에 對한 類似를 끌어내었다. 그 다음으로는 그러한 分子들의 움직임을 나타내는 各各의 線들은 速度를 나타내는 것으로 絃樂器의 글리산도로 表現 하였으며, 마지막으로는 이러한 連續的인 陰과 非連續的인 音의 結合으로 展開시켰다.

2) 最小限의 規制

Achoripisis는 最小限의 規制를 使用하여 주어진 單位 時間 內에서 事件이 일어날 可能性을 匏蛾宋의 公式을 適用해 값을 나타내었다. 그 안에서의 모든 便 數와 音響 現象들을 圖面 床에 미리 構想한 行列을 利用하였으며, 이렇게 定해진 音響 現象의 最小의 規定에 依하여 作品이 調節되었다.

3) 가우스 分布

가우스 分布를 適用하여 進行한 作品은 ST/10, Atrees 가 있으며 이 두 作品에서 나타난 主要한 特性들은 두 가지로 나타난다. 첫째, 連續的인 時間의 區間 에 對해 가우스 分布의 公式을 통해 求한 各 樂器 音色密度의 分布를 나타내어, 音響 密度의 全體的인 크기는 恒常 일정하며 各 樂器의 音色 間에 서로 나누었다. 그다음으로 컴퓨터가 事前에 計算된 Sequence 속에서 번갈아 가며 모든 Sound을 規定하는 電子頭腦에 命令하는 것에 依한 확 率法則의 複合體를 이루고 있다.

4) 馬코프 連鎖

Analogigues作品은 馬코프 連鎖를 適用시킨 作品으로써 音響의 細部 要素와 全體的인 形態와의 關係를 나타내었고, 소리 集團으로 나타난 個別的 소리들의 性 質과 세 가지 類型의 글리산도의 特性을 描寫하였다. 이러한 音響 複合體의 發生, 持續, 衰退에서 수많은 單純한 音響 나타난다. 發生의 順序가 定해지지 않은 無秩序한 음 들의 集合을 다룸에 있어서 集合論과 함께 確率 計算法을 結合시킨다. 이러한 結合된 音響들은 擴張된 行列이나 規範的인 表現의 相應 關係에도 對應 可能하며 이러한 相應關係는 不確定日 수 있고, 變化 確率이 주어진 行列의 行態日 수도 있다. 이러한 行列은 不連續으로 變形하는 하나의 彫刻으로 區分 지어진 連續的인 展開가 가장 一般的이다.

2. 게임(Game)理論

게임理論은 Duel, Strategie 作品 속에서 나타나고 있으며, 條件的인 進行을 통하여, 極히 純粹한 機會의 狀況으로써 作品을 進行한다. 이는 演奏者들의 偶然的인 狀況을 直面하면서, 實時間으로 作戰 展開시켜 最上의 利益을 만들어내는 特徵을 가지고 있다.13) 이러한 進行에 必要事項들銀自由로운 獨斷的 選擇, 制限된 게임, 授與된 點數, 熱과 行의 割當, 게임의 始作 決定, 戰術 읽기, 接戰 履行 時間, 競爭의 結果, 行列의 選擇들이 있다.

3. 軍(群)론

그의 作品 中 Nornos alpha는 群論을 나타내고 있다. 이 作品에서는 音程, 世紀, 길이의 세 가지 特徵의 一時的인가설그룹에 따른, 그리고 時間的 構造를 가진 音響事件 實體에 關해 속盜賊 構造를 가진 보다 單純한 時間에대한작품이다. 時間的 構造와 속盜賊 構造 사이의 相關關係에 對한 硏究를 基盤 하여 그 對稱 構造와 同一構造人 6面體 그룹을 形成하는 要素에 依해 주어진 立方體의 對稱的變形이 Normos alpha의 時間的 組織으로 使用된다. 六面體의 各其 回轉軸과 回轉 方向을 달리하는 六面體 그룹의 값을 行列化시키고, 그 表現된 有限한 그룹들을 結合的 構造化 시킨다.

4. 集合論과 부울 代數學 (Boolean algebra)

集合論과 부울 代數學을 適用하여 進行된 作品은Herma, Eonta이며, 이에 對한 發端은 數學的인 意味로서의 集合을 音의 組合시키는 모델로 使用하고자 始作되었다. 이 作品에서는 피아노 鍵盤 尙의 모든 可能性을 나타내는전체집합과 여기에 屬하는 두 個의 部分 集合들의 演算으로 構成하고 推計學 法則을 따르는 集合 內에서, 事件 發生의 機會와 音程 構成要素 사이에 相關關係가 存在한다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 統計的 推論 (statistical inference)
• 技術 統計學 (descriptive statistics)

各州 [ 編輯 ]

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