數學 分野에서의 微分 方程式 의 分野에서, 初期값 問題 (Initial Value Problem,IVP)는 微分 方程式 과 초기 狀態라는 주어진 한 點에서 알 수 없는 函數의 값이 주어진 問題이다. 物理學 이나 다른 科學, 모델링 시스템에서 자주 孃을 解決하는 初期 값 問題이다. 이러한 脈絡에서, 微分 方程式은 어떻게 變化하는지를 指定한 方程式이며, 初期 條件이 주어졌을 때, 啓가  時間에 따라 變化 하게 만든다.

正義 [ 編輯 ]

初期 값 問題 는 다음의 微分 方程式

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ 이고 함수 ${\displaystyle f}$가 ${\displaystyle f\colon \Omega \subset {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{n}\to {\mathbb {R} }^{n}}$에서 정의되어 있고, ${\displaystyle \Omega }$는 ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$의 열린 集合이다과 初期 狀態 라는  ${\displaystyle f}$의 한 點에서의 값이 있는 問題이다.

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega }$ 初期 값 問題의 솔루션은 다음을 滿足하는 미분방정식의 솔루션인 함수  ${\displaystyle y}$이다.

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$.

높은 次元에서, 微分 方程式은 ${\displaystyle y'_{i}(y)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dots )}$으로 대체되고, ${\displaystyle y(t)}$ 는 벡터 ${\displaystyle (y_{1}(t),\dots ,y_{n}(t))}$로 나타났다. 더 一般的으로, 모르는 函數  ${\displaystyle y}$는 바나흐 空間 이나 空間의 分布 와 같은 無限 次元의 空間에서 값을 가질 수 있다.

初期 값 問題는 獨立的인 函數와 같은 方法으로 誘導되게 處理함으로 인해 높은 次元으로 擴張될 수 있다,예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

솔루션의 存在與否와 唯一性 [ 編輯 ]

初期값 問題(IVP)에서, 솔루션 (害)의 存在와 固有性은 解析學 敵 證明을 통해 說明할 수 있다.

피카르-린델뢰프 整理 는 ?가 t0와 y0를 包含하는 區間 內에서 連續的이고 變數 y가 립시츠 條件 을 滿足 할 때,  t ₀ 를 包含하는 區間 內에서 唯一한 솔루션이 있음을 保障한다. 이 整理는 問題를 同等한 積分 方程式 으로 再 型姓銜으로 證明이 可能하다.이 積分은 한 函數에서 다른 函數로 매핑되는 演算으로 考慮될 수 있으며, 그 솔루션은 그 演算의  固定點 이 된다. 初期치 問題의 솔루션인 唯一한 固定點이 存在한다는것을 보이기 위하여 바나흐 固定點 整理 를 使用한다.

以前의 피카르-린델뢰프 整理의 證明은 積分 方程式의 솔루션이자 初期값 問題의 솔루션에 收斂하는 函數의 시퀀스를 生成한다. 이러한 構造는"피카르의 方法"또는"連續 近似 方法"이라고 불린다. 이 方法은 바나흐 固定點 整理의 특별한 境遇에 該當한다.

오카무라 히로시 는  必要 充分 條件 으로 初期치 問題의 솔루션은 唯一하다는것을 얻었다. 이 條件은 시스템에 對한  Lyapunov 函數 의 存在와 關係가 있다.

어떤 때는 函數 ?는  C ¹ 클래스 가 아니거나  립시츠 連續函數 일 때도 있다. 그래서 普通의 結果는 地域的으로 唯一한 솔루션이 存在하는 것을 保障하지 않는다. 하지만  페아노 存在 整理 는 ?가 連續이면 恒常 地域的으로 솔루션이 存在하는 것을 保障한다;문제는 唯一性을 保障할 수 있는 것은 없다는 것이다. 이 結果는 Coddington&Levinson(1955,整理 1.3)이나 Robinson(2001年,整理 2.6)에서 찾을 수도 있다. 더 一般的인 結果는  Caratheodory 存在 整理 이며, 이것은 不連續的인 函數 ?에서 存在性을 證明할 수 있다.

例示 [ 編輯 ]

簡單한 例로 ${\displaystyle y'=0.85y}$ 와  ${\displaystyle y(0)=19}$. 우리는 이 두 式을 滿足하는 式 ${\displaystyle y(t)}$를 찾으려고 한다.

${\displaystyle y'={dy \over dt}}$를 적고 始作하면, 다음과 같다.

${\displaystyle {dy \over dt}=0.85y}$

이제 式을 ${\displaystyle y}$가 왼쪽에 있고 ${\displaystyle t}$가 오른쪽에 있도록 整理하자.

${\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}$

이제 兩邊을 積分瑕疵(이것은 모르는 상수  ${\displaystyle B}$를 生成한다).

${\displaystyle \ln \left\vert y\right\vert =0.85t+B}$

${\displaystyle \ln }$을 除去하자

${\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}$

  ${\displaystyle C}$를 다음과 같이 定義된 새로운 常數로 두자; ${\displaystyle C=\pm e^{B}}$, 그러면 다음과 같이 變形된다.

${\displaystyle y=Ce^{0.85t}}$

이제 우리는 ${\displaystyle C}$의 값을 알 必要가 있다. 주어진 食人  ${\displaystyle y(0)=19}$를 使用하여 0을 ${\displaystyle t}$에, 19를  ${\displaystyle y}$에 代入해 보자.

${\displaystyle {\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}}$

${\displaystyle C=19}$

이것으로 最終的인 솔루션은  ${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$다.

두 番째 예제

아래의 式에서

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

다음의 솔루션을 알 수 있다.

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1}$

倭나하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

參照 [ 編輯 ]

• 境界값 問題
• 정의 統合
• 積分 曲線

參考 文獻 [ 編輯 ]