臺數 救助
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v t e

체 (體, 獨逸語 : Korper , 프랑스語 : corps , 英語 : field )는 抽象代數學 에서 四則演算 이 자유로이 施行될 수 있고 算術 의 잘 알려진 規則들을 滿足하는 臺數 救助 이다. 모든 體는 可換環 이지만, 그 驛은 成立하지 않는다. 체를 硏究하는 抽象代數學 의 分野를 체論 (體論, 獨逸語 : Korpertheorie , 프랑스語 : theorie des corps , 英語 : field theory )이라고 한다.

正義 [ 編輯 ]

체 는 可換環 人 나눗셈환 이다. 具體的으로, 다음 條件들을 만족시키는 可換環 ${\displaystyle (K,+,-,\cdot ,0,1)}$을 體라고 한다.

• ${\displaystyle 0\neq 1}$이다. (여기서 ${\displaystyle 0\in K}$은 體의 덧셈의 恒等元, ${\displaystyle 1\in K}$은 體의 곱셈의 恒等元이다.)
• 0을 除外한 모든 元素가 街驛員 이다. 卽, 任意의 ${\displaystyle a\in K}$에 對하여, 萬若 ${\displaystyle a\neq 0}$라면 ${\displaystyle ab=ba=1}$人 ${\displaystyle b\in K}$가 存在한다.

任意의 體의 記號는 普通 英語 : field 필드 ^{[ * ]} 나 獨逸語 : Korper 쾨르퍼 ^{[ * ]} 의 머리글字를 따서 F 나 k 또는 K 等으로 쓴다.

체의 蠢動型 은 換 으로서의 蠢動型 과 같으며, 체 사이의 換 蠢動型 을 체의 擴大 라고 한다. 체의 擴大는 恒常 丹沙 函數 이다.

性質 [ 編輯 ]

환論的 性質 [ 編輯 ]

모든 體는 다음 條件들을 만족시킨다.

• 유클리드 程驛 이며, 따라서 週 아이디얼 程驛 利子 唯一 因數 分解 程驛 利子 데데킨트 程驛 利子 程驛 이다.

可換環 ${\displaystyle R}$에 對하여, 다음 條件들이 서로 童穉이다.

• ${\displaystyle R}$는 體이다.
• ${\displaystyle R}$는 正確히 두 個의 아이디얼 을 갖는다. (이는 勿論 英 아이디얼 ${\displaystyle (0)}$科 全體 아이디얼 ${\displaystyle (1)}$이다.)
• ${\displaystyle R}$의 영 아이디얼이 極大 아이디얼 이다.

따라서, 체 ${\displaystyle K}$의 스펙트럼 (=0次元 ${\displaystyle K}$- 아핀 空間 ) ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$는 한元素 空間 이다.

체 위의 모든 家君 들은 自由 家君 이며, 이러한 街君을 벡터 空間 이라고 한다.

範疇論的 性質 [ 編輯 ]

體와 체의 擴大 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Field} }$는 可換環 의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {CRing} }$의 充滿한 部分 範疇 이다. 이 範疇에서는 곱 이나 雙대곱 이 存在하지 않는다.

集合 의 範疇로 가는 忘却 함자 ${\displaystyle \operatorname {Field} \to \operatorname {Set} }$가 存在한다. 다른 臺數 救助 의 範疇와 달리, 忘却 銜字는 首班 함자 를 갖지 않는다. 卽, "自由體"라는 것은 存在하지 않는다. 이는 체의 모임이 臺數 救助 多樣體 를 이루지 않기 때문이다.

체의 範疇에서, 모든 史上 은 丹沙 史上 이다. 체의 範疇는 連結 範疇 가 아니며, 連結 成分들은 各 체의 票數 ${\displaystyle p=0,2,3,5,\dots }$에 對한, 票數 ${\displaystyle p}$의 체들의 範疇 ${\displaystyle \operatorname {Field} _{p}}$이다. ${\displaystyle \operatorname {Field} _{p}}$의 始作 對象 은 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ( ${\displaystyle p>0}$) 또는 有理數體 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ( ${\displaystyle p=0}$)이다. 끝 對象 은 存在하지 않는다.

模型 理論的 性質 [ 編輯 ]

體는 可換環의 釜戶首 ${\displaystyle \langle +,\cdot ,-,0,1\rangle }$의 臺數 救助 이다. 이 構造가 체를 이루려면, 可換環 의 公理에 追加로 다음 性質을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle \forall a\exists b\colon ab=ba=1}$

이는 存在 記號 ${\displaystyle \exists }$가 使用되었으므로 方程式型 公理가 아니다. 따라서, 體의 모임 은 臺數 救助 多樣體 를 이루지 않는다. 이에 따라, 體는 臺數 救助 多樣體의 一般的인 性質( 直接곱 의 存在, 自由 臺數의 存在)들을 共有하지 않는다.

勿論, 方程式型 公理에 局限하지 않는다면, 體는 1次 論理 로 公理化할 수 있다. 마찬가지로, 完全體 나 代數的으로 닫힌 체 等은 1次 論理로 公理化할 수 있고, " 체의 票數 가 ${\displaystyle p}$"라는 事實 亦是 1次 論理 로 公理化할 수 있다. 反面, 어떤 體가 柔한체 라는 事實은 1次 論理로 公理化할 수 없다. 卽, 有限體의 1次 論理 理論은 無限 模型을 갖는다. 주어진 票數의 代數的으로 닫힌 체 의 理論은 모든 非加算 크기 에서 唯一性( 英語 : categoricity )을 보인다. 卽, 주어진 票數 및 非加算 크기의 代數的으로 닫힌 體들은 모두 서로 同型 이다.

分類 [ 編輯 ]

모든 體 ${\displaystyle K}$는 체의 票數 ${\displaystyle \operatorname {char} K}$로 一次的으로 分類된다. 票數 ${\displaystyle p}$는 0이거나 少數 이다.

모든 體 ${\displaystyle K}$는 恒常 다음과 같은 체의 擴大 로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle K/K_{\text{tr}}/K_{0}}$

여기서

• ${\displaystyle K_{0}}$는 ( ${\displaystyle \operatorname {char} K>0}$인 境遇) 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ 또는 (표수 0인 境遇) 有理數體 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$와 同型이다.
• ${\displaystyle K_{\text{tr}}/K_{0}}$는 純粹 超越 擴大 이다. 卽, ${\displaystyle K_{\text{tr}}}$는 有理 函數體 ${\displaystyle K_{0}(\{x_{i}\}_{i\in I})}$와 同型이다. 이러한 超越 擴大는 期數 人 超越 次數 ${\displaystyle |I|}$로서 完全히 分類된다.
• ${\displaystyle K/K_{\text{tr}}}$는 代數的 擴大 이다. 卽, ${\displaystyle K}$는 代數的 肺胞 ${\displaystyle {\bar {K}}_{\text{tr}}}$의 部分體이다. 이러한 代數的 擴大는 一次的으로 次數 ${\displaystyle \dim _{K_{\text{tr}}}K}$로서 分類되나, 代數的 擴大의 一般的인 分類는 모든 臺數多樣體 의 ( 有理 函數體 의) 分類와 同治 이므로 一般的으로 不可能하다고 여겨진다.

특정한 種類의 體들은 完全히 分類가 可能하다. 例를 들어, 모든 柔한체 는 集合의 크기 에 依하여 完全히 分類되고, 모든 代數的으로 닫힌 체 는 票數와 超越 次數 에 依하여 完全히 分類된다.

예 [ 編輯 ]

체의 例로는 다음이 있다.

• 有理數 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$는 體이다.
• 失手 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$나 複素數 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 亦是 體이다.
• 代數的 數論 에서는 代數的 수체 들을 다룬다. 代數的 수체의 主要 例로는 二次 수체 와 원分體 가 있다.
• 代數幾何學 에서는 臺數多樣體 위의 有理 函數體 를 다룬다.
• p眞髓體 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$는 有理數體의 擴大 의 하나이다. 이는 非아르키메데스 체 의 例이다.
• 超實數體 ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$는 非標準 解析學 에서 쓰이는 體이다. 이는 非아르키메데스 체 의 例이다.
• 超現實수 의 모임 은 集合 을 이루지 않으므로, 嚴密히 말해서는 體가 아니다. 그러나 이를 無視하면, 이는 "체"를 이루는 固有 모임 이 된다. 아니면 그로텐디크 全體 따위를 使用하여 集合으로 만들 수 있다.
• 주어진 체 ${\displaystyle K}$에 對하여, 有理 函數體 ${\displaystyle K(x)}$ 및 形式的 로랑 級水體 ${\displaystyle K((x))}$ 및 퓌罪 級數 체 ${\displaystyle {\overline {K((x))}}}$ 亦是 체를 이룬다.
• 程驛 ${\displaystyle R}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle a/b\qquad (a,b\in R,\,b\neq 0)}$ 꼴의 碑들은 噴水體 라는 체를 이룬다.
• 모든 少數 ${\displaystyle p}$ 및 量의 精髓 ${\displaystyle k}$에 對하여, 크기가 ${\displaystyle p^{k}}$人 體는 唯一하게 存在하며, 이를 柔한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{k}}}$라고 쓴다. 이는 票數가 ${\displaystyle p}$人 體이다. ${\displaystyle p^{k}}$와 같은 꼴이 아닌 크기의 有限體는 存在하지 않는다.

다음은 체를 이루지 않는 환들이다.

• 四元數 의 集合 ${\displaystyle \mathbb {H} }$는 나눗셈환 이지만 可換環 이 아니므로 體가 아니다.
• 者名宦 ${\displaystyle 0}$은 모든 0이 아닌 元素가 街驛員 人 可換環 이지만 ${\displaystyle 0=1}$이므로 나눗셈환 이 아니며, 따라서 體가 아니다.

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 158 2板. Springer. doi : 10.1007/0-387-27678-5 . ISBN   978-0-387-27677-9 . ISSN   0072-5285 . Zbl   1172.12001 .  
• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract algebra》 (英語) 3板. Wiley. ISBN   978-0-471-43334-7 . MR   2286236 . Zbl   1037.00003 .   더 以上 支援되지 않는 變數를 使用함 ( 도움말 )
• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (英語) 211 3板. Springer. doi : 10.1007/978-1-4613-0041-0 . ISBN   978-1-4612-6551-1 . ISSN   0072-5285 . MR   1878556 . Zbl   0984.00001 .  

같이 보기 [ 編輯 ]

• 나눗셈환
• 代數的 수체
• 위上體
• 체의 擴大
• 代數的으로 닫힌 체
• 아르키메데스 性質
• 체의 票數

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Field” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Field” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Field axioms” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Field” . 《nLab》 (英語).  
• Milne, J. S. (2014年 3月 18日). “Fields and Galois theory” (PDF) (英語).  
• “Korper in der Algebra” (獨逸語). Mathematische Basteleien (Jurgen Koller).  
• “Ringe und Korper” (獨逸語). Mathepedia (Thomas Steinfeld). 2015年 7月 22日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2015年 7月 18日에 確認함 .  
• “Korper und Vektorraume” (獨逸語). Mathe Online (Martin Glatz).  
• “1910: Ernst Steinitz begrundet die axiomatische Korpertheorie” (獨逸語). Mathematik.de.  
• “Groupes, Anneaux, Corps” (프랑스語). L’ile des mathematiques.  
• “To what extent can fields be classified?” (英語). Math Overflow.  
• “What is the smallest variety of algebras containing all fields?” (英語). Math Overflow.  
• 李哲熙. “체論(field theory)” . 《數學노트》.