微分幾何學 에서 千-베유 蠢動型 ([陳]-Weil準同型, 英語 : Chern?Weil homomorphism )은 里 軍 의 作用 에 對하여 不變인 리 臺數 變數 多項式 을 드람 코호몰로지 同値類 에 對應시키는 換 蠢動型 이다.

正義 [ 編輯 ]

다음이 주어졌다고 하자.

• 連結 콤팩트 里 軍 의 複素火因 複素數 里 軍 ${\displaystyle G}$

그렇다면, 다음을 定義할 수 있다.

• ${\displaystyle G}$의 複素數 리 臺數 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 위의 多項式環 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$ 위의 ${\displaystyle G}$의 딸林表現 作用 . 이에 따라 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$는 軍환 ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$의 왼쪽 家君 을 이룬다.

  ${\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} _{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})}$

• ${\displaystyle G}$의 作用 에 對한 不變量 部分 臺數 ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$.

  ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}}$

• ${\displaystyle G}$의 不變量 部分 臺數는 同次 多項式 部分 空間들의 合으로 다음과 같이 分解된다.

  ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$

  ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)}$

• 同次 多項式 ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$에 對하여, 다음 두 條件을 만족시키는 唯一한 ${\displaystyle k}$個의 變數를 갖는 函數 ${\displaystyle {\bar {p}}\colon {\mathfrak {g}}^{\oplus k}\to \mathbb {C} }$가 存在한다.

  ${\displaystyle {\bar {p}}(x,\dotsc ,x)=p(x)\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\bar {p}}(x_{1},\dotsc ,x_{k})={\bar {p}}(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (k)})\qquad \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (k),\;(x_{i})_{1\leq i\leq k}\in {\mathfrak {g}}^{\oplus k}}$

또한, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 多樣體 ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle G}$- 매끄러운 駐多發 ${\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}$

그렇다면, 千-베유 蠢動型 은 다음과 같은 ${\displaystyle \mathbb {C} }$- 結合 臺數 蠢動型 이다.

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

抽象的 定義 [ 編輯 ]

里 軍 ${\displaystyle G}$에 對하여, 分類 空間 ${\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}$를 생각하자. ( ${\displaystyle G}$의 基本群 은 相關이 없다.) 그렇다면, 리 臺數 코호몰로지 를 통해 다음이 成立함을 보일 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}$

( 複素數 計數이므로, 左邊은 ${\displaystyle G}$의 基本群 에 더 以上 依存하지 않는다.) 이 同型에서, 右邊의 等級( 同次 多項式 의 次數)은 左邊의 等級( 코호몰로지類 의 次數)의 折半이다.

이에 따라, ${\displaystyle G}$- 駐多發 ${\displaystyle P}$는 어떤 連續 函數

${\displaystyle f\colon M\to \mathrm {B} G}$

에 依하여

${\displaystyle P=f^{*}\mathrm {E} B}$

로서 주어진다. 또한, 이 ${\displaystyle f}$는 코호몰로지 圜 의 等急患 蠢動型

${\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}$

을 定義한다. 이를 精髓 計數 代身 複素數 係數로 取하면, ${\displaystyle f^{*}}$는 等急患 蠢動型

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

을 定義한다. 이를 千-베유 蠢動型 이라고 한다.

콤팩트 失手 里 軍 ${\displaystyle G}$은 그 複消化와 호모토피 童穉 이므로, 複素數 里 郡 代身 콤팩트 失手 里 軍 을 使用해도 좋다.

具體的 正義 [ 編輯 ]

千-베유 蠢動型은 具體的으로 다음과 같이 주어진다. 于先, ${\displaystyle P}$ 위의 任意의 駐接續 을 고르고, 그 曲率 이

${\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}$에 對하여 다음을 定義하자.

${\displaystyle p(F)\in \Omega ^{2k}(P;{\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle p(F)(v_{1},\dotsc ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2k)}(-)^{\sigma }{\bar {p}}\left(F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dotsc ,F(v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)})\right)}$

여기서 使用된 畿湖는 다음과 같다.

• ${\displaystyle s\in P}$는 駐多發 全體 空間의 點
• ${\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{2k}\in \mathrm {T} _{s}P}$는 駐다발의 한 椄空間 의 ${\displaystyle 2k}$ 個의 벡터들
• ${\displaystyle (-)^{\sigma }}$는 順列 의 釜戶首
• ${\displaystyle \operatorname {Sym} (2k)}$는 크기 ${\displaystyle (2k)!}$의 對稱軍

그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

• ${\displaystyle p}$의 ${\displaystyle G}$-不變性에 依하여, ${\displaystyle p(F)}$는 ${\displaystyle P}$ 위의 닫힌 微分 形式 이다. 卽, ${\displaystyle \mathrm {d} p(F)=0}$이다.
• ${\displaystyle p(\Omega )=\pi ^{*}\alpha _{F}}$가 되는 唯一한 微分 形式 ${\displaystyle \alpha _{F}\in \Omega ^{2k}(M;\mathbb {C} )}$가 存在하며, 이 또한 닫힌 微分 形式 이다.
• 또한, ${\displaystyle \alpha _{F}}$는 使用된 駐接續 에 依存하지만, 그 드람 코호몰로지 同値類 ${\displaystyle [\alpha _{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$는 駐接續 에 依存하지 않는다.

이에 따라, 千-베유 蠢動型 은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle p\mapsto [\alpha _{F}]}$

예 [ 編輯 ]

1次 千 特性類 [ 編輯 ]

${\displaystyle \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }}$ (또는 이에 對應하는 콤팩트 軍 ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$)을 생각하자. 그 分類 空間 은 無限 次元 複素數 射影 空間

${\displaystyle \mathrm {B} \operatorname {U} (1)\simeq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty }}$

이며, 그 有理數 計數 코호몰로지 는 설리번 臺數

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{1,x,x^{2},\dotsc \}}$

${\displaystyle \deg x=2}$

${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$

이다.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$는 아벨 軍 이므로, 모든 多項式이 不變量이다. 卽, 이 境遇

${\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )}$

이다.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$- 駐多發 은 聯關 벡터 다발 構成을 통하여 複素數 線다발 과 童穉이며, 이 境遇 千-베유 特性類는 1次 千 特性類

${\displaystyle p(x)\mapsto p(\operatorname {c} _{1}(F))}$

로서 주어진다.

千 特性類 [ 編輯 ]

보다 一般的으로, ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$- 매끄러운 駐多發 을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

${\displaystyle p(x)=\det \left(1-{\frac {x}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}$

그렇다면, 이에 對應하는 特性類 는 總 千 特性類

${\displaystyle \operatorname {c} (P)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}$

이다. 勿論, 이를 次數別로 分解하여

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}t^{k}p_{k}(x)=\det \left(1-{\frac {tx}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (t\in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle p_{k}\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}$

${\displaystyle k}$次 千 特性類

${\displaystyle \operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}$

를 定義할 수 있다.

이 境遇, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$- 駐多發 ${\displaystyle P}$ 代身, 이에 對한 (正義 表現에 對한) 聯關 다발

${\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}$

을 使用하여

${\displaystyle \operatorname {c} _{k}(E)=\operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}$

로 적을 수 있다.

歷史 [ 編輯 ]

1940年代 末에 千싱선 과 앙드레 베유 가 導入하였다. 이 內容은 千싱善意 1951年 프린스턴 高等硏究所 講義錄에서 最初로 出版되었으며, ^{[1] :64?65, §Ⅲ.6} 이 講義록의 序文에서 千싱船은 베유의 貢獻을 다음과 같이 認定하였다.

“	나는 또한 앙드레 베유氏와 자주 對話를 나눌 수 있었던 特權에 對하여 言及하고 싶습니다. 그의 未出版 原稿는 [千-베유 蠢動型을 다루는] 3張의 展開에 크게 影響을 끼쳤습니다. I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with Andre Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.	”
	— [1] :0, §Introduction

各州 [ 編輯 ]

• Bott, R. (1973), “On the Chern?Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11 : 289?303, doi : 10.1016/0001-8708(73)90012-1   .
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN   0-387-90422-0 , ISBN   3-540-90422-0 .
• Chern, S.-S. ; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48?69, JSTOR   1971013   .
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new版, Wiley-Interscience (2004에 出版됨)   .
• Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83 : 563?572, doi : 10.2307/2372896 , JSTOR   2372896   .
• Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201   .

外部 링크 [ 編輯 ]

• “Chern-Weil theory” . 《nLab》 (英語).  
• “Chern-Weil homomorphism” . 《nLab》 (英語).  
• “Splitting principle” . 《nLab》 (英語).  
• Han, Fei (2003年 11月 1日). “Chern?Weil theory and some results on classical genera” (PDF) (英語).