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正多面體 (正多面體, 英語 : Platonic solid ) 또는 플라톤 의 多面體 는 볼록 多面體 中에서 모든 面이 合同 人 正多角形 으로 이루어져 있으며, 各 꼭짓點에서 만나는 面의 個數가 같은 圖形을 말한다. 無數히 많이 存在할 수 있는 正多角形과는 다르게 正多面體는 아래의 5種類만이 存在한다.

種類 [ 編輯 ]

便 의 길이를 a로 하여 正三角形 , 正四角形 , 正五角形 을 組合하여 만들어지는 正多面體의 種類는 다음과 같다.

이름	그림	面의 模樣	面의 個數	邊의 個數	꼭짓點의 個數	한 꼭짓點에서 만나는 面의 數	겉넓이	부피	對稱軍
正四面體		正三角形	4	6	4	3	${\displaystyle {\sqrt {3}}a^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 1.732a^{2}}$	${\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}$ ${\displaystyle \simeq 0.118a^{3}}$	T d
正六面體		正四角形	6	12	8	3	${\displaystyle 6a^{2}\,}$	${\displaystyle a^{3}\,}$	O h
正八面體		正三角形	8	12	6	4	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}a^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 3.464a^{2}}$	${\displaystyle {{\sqrt {2}} \over 3}a^{3}}$ ${\displaystyle \simeq 0.471a^{3}}$	O h
正十二面體		正五角形	12	30	20	3	${\displaystyle 3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 20.65a^{2}}$	${\displaystyle {15+7{\sqrt {5}} \over 4}a^{3}}$ ${\displaystyle \simeq 7.663a^{3}}$	I h
正二十面體		正三角形	20	30	12	5	${\displaystyle 5{\sqrt {3}}a^{2}}$ ${\displaystyle \simeq 8.660a^{2}}$	${\displaystyle {5 \over 12}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$ ${\displaystyle \simeq 2.182a^{3}}$	I h

오로지 다섯 個의 正多面體만 存在한다는 것은 다음과 같이 證明할 수 있다.

1. 多面體에서 最小限 세 個의 面이 있어야 하나의 꼭짓點이 만들어진다.
2. 이때 各 꼭지角의 合은 360보다 작아야 한다.
3. 多面體를 構成하는 面은 모두 合同이므로 各 꼭지角의 크기는 같다. 한便 이런 꼭지角이 最小限 세 個로 構成되므로 모든 꼭지角의 크기는 360°/3=120° 보다 작아야 한다.
4. 內閣의 크기가 120°보다 작은 正多角形 은 正三角形 · 正四角形 · 正五角形 뿐이다.
   • 正三角形: 內閣의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭짓點에 모일 수 있는 三角形麵의 個數는 3個 · 4個 · 5個이다. 이것은 各各 正四面體 · 正八面體 · 正二十面體 에 該當한다.
   • 正四角形: 內閣의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭짓點에 모일 수 있는 四角形面의 個數는 3個이다. 이것은 正六面體 에 該當한다.
   • 正五角形: 內閣의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭짓點에 모일 수 있는 五角形麵의 個數는 3個이다. 이것은 正十二面體 에 該當한다.

歷史 [ 編輯 ]

플라톤의 多面體는 古代부터 알려져 왔다. 플라톤 이 살던 時期보다 最少 1000年 全義 스코틀랜드의 後期 新石器時代 사람들에 依해 만들어진 돌로 彫刻된 공들에서 正多角形 形態를 찾아볼 수 있다. 플라톤의 多面體의 前兆인 주사위 의 由來는 文明의 發展 以前으로 거슬러 올라간다.

古代 그리스人 들은 플라톤의 多面體에 對해 廣範圍하게 硏究했다. 몇몇 資料들은 플라톤의 多面體 發見이 피타고라스 의 業績이라고 看做하기도 한다. 다른 資料들은 피타고라스가 오직 4面體, 6面體, 12面體에만 精通했고, 8面體와 20面體의 發見은 플라톤과 同時代의 사람인 테아이테토스 (Theaetetus)의 空이라고 暗示한다. 어쨌든, 테아이테토스는 5個의 正多面體에 對한 數學的인 描寫를 提供했고, 그 外의 다른 正多面體는 없다는 最初의 알려진 證明을 한 사람이라고 알려져 있다.

플라톤의 多面體들은 特히 그의 哲學에 重要한 役割을 한다. 플라톤은 이들 多面體들에 對해 티마이오스 (Timaeus c.260 B.C.)에 記述하면서 各各을 古典的인 4元素 에 對應시켰다( 흙 , 空氣 , 물 , 그리고 불 ).

흙은 6面體와, 空氣는 8面體와, 물은 20面體와, 불은 4面體와 對應시켰다. 이러한 對應은 매우 直觀的으로 正當化되는데, 例를 들면, 불이 내뿜은 熱氣가 매우 날카롭고 찌를 듯하기 때문에 4面體에 對應시켰고, 물은 작은 功으로 이루어진 것처럼 손으로 들어올리려 하면 흘러내리기 때문에 20面體로 表現했다. 反面에, 求刑처럼 보이지 않는 6面體는 흙을 나타냈다. 더욱이 흙의 단단함은 유클리드 空間을 모자이크式으로 메울 수 있는 唯一한 正多面體가 6面體이기 때문이라고 믿어졌다. 5番째 플라톤의 多面體인 鄭 12面體에 對해 플라톤은 模糊하게 "天國의 별자리들을 整列시킨다.."라고 言及하였고, 아리스토텔레스도 5番째 元素에 對해 "ether"라고 言及하면서 天國이 이 物質로 이루어졌다고 했지만, 이를 플라톤의 多面體와 連結시키는 데는 興味가 없었다.

유클리드 는 그의 冊 《 原論 (Elements)》에서 플라톤의 多面體에 對해 完璧한 數學的 技術을 해두었다. 原論의 마지막卷은 正多面體에 關한 整理들로 이루어져 있다. 마지막卷 整理 13-17은 正多面體들의 順序대로 構造를 說明한다. 各各의 正多面體들에 對해 外接圓의 半지름의 比를 求해 두었다. 18番 定理에서 그는 이 5個의 正多面體 以外의 正多面體는 存在하지 않는다고 主張한다. 그 마지막冊의 많은 情報가 아마도 테아이테토스 의 業績으로부터 온것으로 보인다.

16世紀에 獨逸의 天文學者 케플러 는 當時 알려져 있던 地球 밖 5個의 行星들과 플라톤의 多面體와의 關係를 찾기 위해 努力했다. 1596年 出刊된 그의 冊 《 Mysterium Cosmographicum 》에서 케플러는 5個의 正多面體가 內接圓과 外接으로 둘러쌓인 太陽系의 모델을 提示했다. 6個의 구들은 各各 行星들에 對應한다.(수성, 錦城, 地球, 火星, 木星, 土星) 多面體들은 가장 안쪽에서부터 正八面體 , 正二十面體 , 正十二面體 , 正四面體 , 正六面體 巡이다. 이런 式으로, 太陽系의 構造와 行星間의 距離關係는 플라톤의 多面體에 依해 記述되었다. 結局에, 케플러의 初期 아이디어는 破棄되었지만, 그의 硏究를 통해 行星의 軌道가 원이라기 보다 楕圓에 가까운것임이 밝혀졌고, 케플러의 法則을 發見함으로써, 物理와 天文學의 版圖를 바꾸었다. 거기다 케플러의 多面體度 發見하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 아르키메데스의 多面體
• 카脫랑의 多面體
• 델타多面體
• 존슨의 多面體
• 正多胞體