古典 電磁氣學

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v t e

電氣 雙極子 모멘트 (電氣雙極子moment, electric dipole moment )는 物理學 에서 殿下 로 이루어진 界 의 極盛 을 재는 尺度의 하나이다. 電氣 雙極子 모멘트를 가진 契를 電氣 雙極子 (電氣雙極子, electric dipole )라고 부른다.

正義 [ 編輯 ]

${\displaystyle +q}$의 陽電荷와 ${\displaystyle -q}$의 陰電荷로 이루어진 契의 境遇 電氣 雙極子 모멘트 ${\displaystyle p}$는 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle \mathbf {p} =q\,\mathbf {r} }$

여기서 ${\displaystyle r}$은 陰電荷로부터 陽電荷를 가리키는 變位 벡터이다.

一般的으로, ${\displaystyle N}$個의 點電荷 ${\displaystyle q_{i}}$로 이루어진 契의 境遇 電氣 雙極子 모멘트 ${\displaystyle p}$는 다음과 같이 定義한다.

${\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{N}q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}$

여기서 r _i 는 어느 基準點으로부터 各 點電荷를 가리키는 變位 벡터이다. 여기서 p 의 값은 契가 電氣的으로 中性일 때, 卽, 系의 電荷量이 0일 때, 아무 基準點으로부터나 計算해도 값이 變하지 않는다. N = 2日 境遇, 위의 境遇와 같은 값을 얻는다.

連續的으로 電荷가 分布할 때는 다음과 같이 電氣 雙極子 모멘트 p 를 定義한다.

${\displaystyle \mathbf {p} =\int _{V}\mathbf {r} \,dq=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\mathbf {r} dV}$

여기서

• r _i  : 어느 基準點으로부터의 變位 벡터
• V : 電荷가 分布하는 全體 空間
• ρ( r ) : 電荷의 分布를 나타내는 殿下 密度 函數
• dq : 殿下 要素
• dV : 부피 要素

이다.

電氣 雙極子 모멘트의 基準點 [ 編輯 ]

알짜 電荷가 0人 界 의 境遇 電氣 雙極子 모멘트는 基準點에 關係하지 않지만, 알짜 電荷가 0이 아닌 境遇에는 電氣 雙極子 모멘트는 基準點에 따라 달라진다. 이런 境遇에는 通常的으로 質量 中心 을 基準點으로 삼는다.

例를 들어, 한 雙의 電荷量 이 서로 反對인 두個의 殿下 또는 電氣的으로 中性인 導體 가 均一한 電氣場 속에 있다 하자. 이런 界 의 境遇 알짜 電荷가 0이므로 쉽게 雙極子 모멘트를 救해 電氣場을 求하거나, 라플라스 方程式 을 풀어 쉽게 契를 理解할 수 있다. 하지만 陽性子 나 電子 따위의 電氣 雙極子 모멘트 를 計算할 境遇에는 質量 中心 을 基準으로 잡아야 한다.

電氣 雙極子의 運動 [ 編輯 ]

주어진 基準點에 對하여 電氣 雙極子 모멘트 ${\displaystyle \mathbf {p} }$를 가진 雙極子는 均一한 電氣場 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ 안에서 電氣場에 依하여 돌림힘을 받는다. 電氣 雙極子 모멘트와 같은 基準點에서의 돌림힘 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$는 다음과 같다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$.

誘導
陽電荷 ${\displaystyle q}$와 陰電荷 ${\displaystyle -q}$로 이루어진 길이 ${\displaystyle d}$의 雙極子가 均一한 電氣場 ${\displaystyle \mathbf {E} }$에 놓여 있다고 하자. 雙極子 모멘트와 電氣場 사이의 角度 를 ${\displaystyle \theta }$라고 하면, 雙極子의 各 電荷가 받는 힘

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} }$

에 依해 雙極子는 돌림힘

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )=dF\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=dqE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}}$

를 받아 回轉한다. 그런데 電氣 雙極子 모멘트는 ${\displaystyle \mathbf {p} =q\mathbf {d} }$로 正義하므로

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=pE\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\tau }}}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$

가 된다.

이 돌림힘은 다음과 같은 位置 에너지 로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }$.

卽 雙極子가 電氣場과 같은 房港을 가리키는 境遇 電氣的 位置 에너지 가 最小이고, 反面 雙極子가 電氣場의 反對 方向을 가리키면 電氣的 位置 에너지가 最大다. 이에 따라, 다른 外部 힘이 없다면 雙極子는 電氣場의 같은 方向으로 整列한다.

電氣 雙極子 모멘트 ${\displaystyle \mathbf {p} }$를 가진 雙極子가 電氣場 ${\displaystyle \mathbf {E} }$안에서 받는 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} }$.

誘導
陽電荷 ${\displaystyle q}$와 陰電荷 ${\displaystyle -q}$로 이루어진 길이 ${\displaystyle d}$의 雙極子가 電氣場 ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} )}$에 놓여 있다고 하자. ${\displaystyle +q}$의 電荷가 ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {r} }$에 놓여있고, ${\displaystyle -q}$의 電荷가 ${\displaystyle +x}$에 놓여있을 때 全體 契가 받는 힘은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-q\mathbf {E} (\mathbf {x} )}$

이를 整理하고, ${\displaystyle \mathbf {r} \to 0}$이라고 하면

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {E} (\mathbf {x} )\right)=q(\mathbf {E} '(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {r} )}$

가 된다. 그런데 多變數 函數 ${\displaystyle \mathbf {E} }$에 對한 微分이

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\partial \mathbf {E} (x,y,z)}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{x}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial x}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial y}}&{\frac {\partial \mathbf {E} _{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

임을 利用하여 整理하면 다음과 같은 꼴이 나옴을 알 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot \nabla )\mathbf {E} }$

또한 任意의 地點에 對한 돌림힘은 다음과 같이 나타내어진다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} +\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$ .

電氣 雙極子의 電氣場과 磁氣場 [ 編輯 ]

時間에 따라 일정한 電氣 雙極子 모멘트 ${\displaystyle \mathbf {p} }$를 가진 雙極子의 前衛 ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}$.

여기서 ${\displaystyle \mathbf {r} }$은 雙極子의 位置에서 電位를 測定하려는 位置를 가리키는 變位 벡터이고, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$는 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 方向의 單位 벡터 이다. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$는 眞空의 誘電率 이다. 따라서 電氣 雙極子의 電氣場 ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi ={\frac {3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} }{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}}$.

時間에 따라 그 모멘트가 바뀌는 電氣 雙極子 ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$의 境遇는 뒤처진 퍼텐셜 을 考慮하여야 하므로 더 複雜하다. 前衛 는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)={\frac {(\mathbf {p} (t_{\text{ret}})+{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})r/c)\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}}$.

여기서 ${\displaystyle t_{\text{ret}}=t-r/c}$는 뒤처진 時間이다. 萬若 ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)}$이고, ${\displaystyle r\gg c/\omega }$인 境遇(遠距離腸)는 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\sin(\omega t_{\text{ret}})\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{4\pi \epsilon _{0}cr}}}$.

時間에 따라 그 모멘트가 바뀌는 電氣 雙極子 ${\displaystyle \mathbf {p} (t)}$는 磁氣場 을 發生시킨다. 이는 雙極子를 한 雙의 點電荷로 看做하여 한 點電荷에서 다른 點電荷로 電流 가 흐르는 것으로 解釋할 수 있다. 卽, 雙極子의 크기가 ${\displaystyle d}$이고 雙極子 모멘트가 ${\displaystyle \mathbf {p} (t)=q(t)d}$이라면 그 電流는 다음과 같다.

${\displaystyle I={\dot {q}}=p/d}$.

따라서 時間에 따라 바뀌는 電氣 雙極子의 벡터 퍼텐셜 은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}{\dot {\mathbf {p} }}(t_{\text{ret}})}{4\pi r}}}$.

電氣 雙極子 複寫 [ 編輯 ]

電氣 雙極子 複寫 (電氣雙極子輻射, electric dipole radiation )란 時間에 따라 크기가 바뀌는 電氣 雙極子가 放出하는 複寫 電磁氣波 다.

雙極子 ${\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} _{0}\cos(\omega t)}$를 생각해 보자. 그 뒤처진 퍼텐셜 은 다음과 같다.

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {p} _{0}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}\sin(\omega (t-r/c))}{4\pi \epsilon _{0}cr}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {p} _{0}\omega }{4\pi \epsilon _{0}r}}\sin(\omega (t-r/c))}$.

따라서 그 遠距離 ( ${\displaystyle O(1/r)}$) 電磁氣場 은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}c^{3}r}}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {p} )\cos(\omega (t-r/c))/r}$

${\displaystyle \mathbf {E} =c\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}}$.

그 포인팅 벡터 는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}}{32\pi ^{2}cr^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$.

이를 모든 立體角 에 對하여 積分하면 電氣 雙極子 放射의 一律 ${\displaystyle P}$를 얻는다.

${\displaystyle P=\oint _{4\pi }S\,d\Omega ={\frac {\mu _{0}\omega ^{4}p_{0}^{2}}{12\pi c}}}$.

이는 雙極子에 對한 라모 公式 과 같다.

參考 文獻 [ 編輯 ]

• Griffiths, David J. (1999). 《Introduction to Electrodynamics》 (英語). Addison-Wesley. ISBN   978-0138053260 .  
• Jackson, J. D. (1962, 1975, 1998). 《Classical Electrodynamics》 (英語). New York: John Wiley & Sons. ISBN   978-0-471-30932-1 . OCLC   535998 . 2013年 8月 21日에 原本 文書 에서 保存된 文書 . 2012年 10月 11日에 確認함 .   다음 날짜 값 確認 必要: |date= ( 도움말 )

같이 보기 [ 編輯 ]

• 結合 雙極子 모멘트
• 磁氣 모멘트
• 多重劇 展開