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分類 [ 編輯 ]

流體力學(Fluid_Mechanics)

要約 [ 編輯 ]

'流動函數 ( ${\displaystyle \Psi }$, Stream Function)' 는 流量函數라고도 하며, 두 點 사이에 흐르는 流量은 '두點에서의 流動函數 次( ${\displaystyle \Psi _{2}-\Psi _{1}}$)'로 定義된다.

다시 말하면, 流動函數는 函數 그 自體로서 意味를 지닌다기 보다, 流動 函數로부터 여러 槪念들을 定義할 수 있다는 點이 核心이다.

2次元 流動函數 [ 編輯 ]

非壓縮性 流體, 2次元 ${\displaystyle xy}$ 座標系 에서 質量 保存 法則 微分方程式

卽, 連續方程式을 定義하면 아래와 같다.

${\displaystyle {\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}=0}$

適切한 變數變換法을 使用하면, 두 個의 從屬變數( ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$) 代身 한 個의 從屬變數( ${\displaystyle \Psi }$)로 위의 連續方程式을 定義할 수 있게 된다.

${\displaystyle u={\partial \Psi \over \partial y}}$ , ${\displaystyle v=-{\partial \Psi \over \partial x}}$

위의 式을 첫番째 連續方程式에 代入하면 아래와 같게 된다.

${\displaystyle {\partial \over \partial x}({\partial \Psi \over \partial y})+{\partial \over \partial y}(-{\partial \Psi \over \partial x})={\partial ^{2}\Psi \over \partial x\partial y}-{\partial ^{2}\Psi \over \partial y\partial x}=0}$

${\displaystyle u}$ 代身 ${\displaystyle v}$에 음 符號를 附與하는 理由는, ${\displaystyle \Psi }$가 ${\displaystyle y}$方向으로 增加함에 따라 流動이 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르도록 하기 위함이며 流動函數의 符號를 反對로 指定하여도, 流體 유동에 있어서 連續 方程式은 恒常 成立한다.

위와 같은 證明을 통해 ${\displaystyle \Psi }$를 알면 流動하는 流體의 ${\displaystyle xy}$軸 速度 成分 ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle v}$를 求할 수 있으며, 이들 해 또한 連續 方程式을 滿足하게 된다.

有線 [ 編輯 ]

또한, 流動函數는 다음과 같은 有用한 物理的 重要性을 가진다.

먼저, 옆 그림에 나와있는 有線(Stream Line)을 따라 다음과 같은 有線의 方程式이 定義된다.

${\displaystyle {dy \over dx}={v \over u}\Rightarrow }$ ${\displaystyle -vdx+udy=0}$

위의 方程式에 ${\displaystyle \Psi }$에 對한 定義를 使用하면 아래와 같은 式을 얻는다.

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial x}dx+{\partial \Psi \over \partial y}dy=0}$

${\displaystyle x,y}$ 두 變數의 函數인 流動函數( ${\displaystyle \Psi }$)에 對하여 한 點( ${\displaystyle x,y}$)에서 微笑 距離만큼 떨어진 다른 點 ( ${\displaystyle x+dx,y+dy}$)까지 사이의 總 ${\displaystyle \Psi }$ 變化量( ${\displaystyle d\Psi }$)은 數學的 連鎖法則(chain rule)을 適用하여 다음과 같이 導出된다.

${\displaystyle d\Psi ={\partial \Psi \over \partial x}dx+{\partial \Psi \over \partial y}dy}$

위와 아래의 정의식을 比較하여 보면, 有線을 따라서 ${\displaystyle d\Psi =0}$ 이라는 것을 알 수 있다.

그러므로 有線을 따라서 流動函數( ${\displaystyle \Psi }$)는 一定하고, 式 ${\displaystyle d\Psi =0}$ 를 積分하면 ${\displaystyle \Psi }$自體는, ' 流動醬의 有線' 이라는 結論에 到達하게 된다.

流量 [ 編輯 ]

流動函數에 對해 物理的으로 또 다른 重要한 特性이 있다.

' 한 有線에서 다른 有線까지 流動函數 값의 差異는 두 有線 사이의 單位 幅當 體積流量과 같다( ${\displaystyle \Psi _{2}-\Psi _{1}}$) '는 것이 바로 그 特性이다.

이 敍述에 對한 說明은 옆의 그림과 함께 두 有線 ${\displaystyle \Psi _{1}}$과 ${\displaystyle \Psi _{2}}$, 그리고 紙面 속으로 單位 幅을 가지는 ${\displaystyle xy}$平面上의 2次元 流動을 考慮해보자. 定義에 依하면, 어떤 流動度 有線을 가로지를 수 없다. 따라서 두 有線사이의 空間을 차지하는 流體는 恒常 같은 두 有線 사이에 限定되어 흐른다. 이는 두 有線 사이의 任意의 斷面을 通過하는 質量流量은 어떤 瞬間에도 같다 는 것을 意味한다. 여기서 斷面은 有線1에서 始作해서 有線2에서 끝나기만 하면, 어떤 形象이어도 좋다. 옆 그림의 內容을 例를 들면, 斷面 A는 援護 模樣이지만, 斷面B는 물결 模樣을 가진다. ${\displaystyle xy}$平面에서의 正常狀態, 非壓縮性, 2次元 유동에 對하여 두 有線 사이의 體積流量 ${\displaystyle {\dot {V}}}$(單位 幅當)은 일정해야 한다. 그러므로 萬若 두 有線이 斷面 A에서 斷面 B까지의 區間으로 벌어진다면, 두 有線 사이 平均速度는 體積流量이 같게 維持되도록( ${\displaystyle {\dot {V}}_{B}-{\dot {V}}_{A}}$) 減少할 것이다.

參照文獻 [ 編輯 ]

Cengel, C. (2021). Differential analysis of fluid flow. McGrawHill, Fluid Mechanics. Hanti-Media

	이 글은 物理學에 關한 토막글 입니다. 여러분의 知識으로 알차게 文書를 完成해 갑시다.
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