數學 에서 失手 (實數, 英語 : real number )는 主로 失職選 위의 點 또는 十進法 展開로 表現되는 수 體系이다. 例를 들어, -1, 0, 1 / 2 √ 2 , e , π 等은 모두 失手이다. 卽 座標軸을 꽉 채울 수 있는 數의 集合이라고도 할 수 있다.

失手에 對하여 四則 演算 ( 덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 · 나눗셈 )을 實行할 수 있다. 失手는 크기比較가 可能하며, 실直線에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 數보다 작다. 特히, 失手는 0보다 큰 羊水 · 0보다 작은 陰數 · 0으로 分類된다. 또한, 失手는 精髓 의 비 人 有理數 와 그렇지 않은 無理手 로도 分類되며, 精髓 計數 多項式의 近 人 代數的 數 와 그렇지 않은 超越數 로도 分類된다. 실直線은 複素 平面 의 一部로 볼 수 있으며, 이 境遇 失手는 虛數 와 함께 複素數 를 이룬다.

功利的으로, 失手는 完備 順序體 로 定義되고, 이는 同型 意味 아래 唯一하다. 構成的으로, 失手는 有理數 코시 水熱 의 同値類 · 데데킨트 切斷 · 十進法 展開의 同値類로서 構成된다. 實數의 完備性 은 空集合이 아닌 失手 有界 集合 이 恒常 上限과 下限 을 갖는다는 性質이다. 이는 有理數 와 區別되는 重要한 性質이다.

失手 集合은 非加算 集合 이다. 卽, 自然數 集合果 失手 集合은 둘다 無限 集合 이나, 그 사이에 一對一 對應 이 存在하지 않는다. 失手 集合의 크기 는 自然數 集合의 크기보다 크다. 連續體 假說 은 自然數 集合보다 크며 失手 集合보다 작은 크기를 갖는 失手 部分 集合 이 存在하지 않는다는 命題이다. 連續體 假說은 ZFC(卽, 選擇 公理 를 追加한 체르멜로-프렝켈 集合論 )에서 證明할 수도, 反證할 수도 없으며, 連續體 假說을 滿足하거나, 그 不正을 滿足하는 ZFC의 模型 이 모두 存在한다.

正義 [ 編輯 ]

失手 體系 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)}$는 失手의 公理系 를 통해 定義하거나, 具體的인 模型 을 構成하여 定義할 수 있다.

功利的 正義 [ 編輯 ]

失手는 다음과 같은 公理를 滿足하는 수 體系이다.

• 체 를 이룬다. 卽, 덧셈과 곱셈이라고 불리는 두 이항 演算 을 갖추며, 이들은 익숙한 規則대로 作用한다.
• 順序體 를 이룬다. 卽, 全順序 를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 互換된다.
• 完備적 이다. 卽, 空集合이 아닌 失手 部分 集合이 상계 를 갖는다면, 恒常 上限 을 갖는다.

마지막 完備性은 失手를 有理數와 區分짓는 性質이다. 이들 공리를 滿足하는 수 體系는 同型 意味 下에 唯一하다.

構成的 正義 [ 編輯 ]

失手는 다음과 같은 對象으로서 構成할 수 있다. 이렇게 構成한 失手는 失手 公理系의 模型 을 이룬다. 卽, 失手 公理系의 모든 公理들을 滿足한다.

• 有理數 코시 水熱 의 "距離가 0으로 收斂"하는 童穉 關係 에 對한 同値類 . 卽, 有理數의 標準 距離 空間 에 對한 完備花 이다.
• 有理數에 對한 데데킨트 切斷 .
• 十進法 展開의 同値類 . 例를 들어, 1과 0.999… 는 서로 童穉이다.

演算 [ 編輯 ]

四則 演算 [ 編輯 ]

失手 集合 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 定義되어 있으며, 이들 中 덧셈과 곱셈은 交換 法則 , 結合 法則 , 分配 法則 을 滿足한다. 卽, 任意의 失手들에 對하여, 다음 性質들이 成立한다.

• ${\displaystyle a+b=b+a}$
• ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$
• ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$
• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

失手 0과 1은 四則 演算에서 특별한 役割을 맡는다. 卽, 任意의 失手들에 對하여, 다음 性質들이 成立한다.

• ${\displaystyle 0+a=a}$
• ${\displaystyle 1\cdot a=a}$
• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$

失手 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$과 그 半修 ${\displaystyle -x}$를 더하면 0이다. 卽,

• ${\displaystyle x+(-x)=0}$

0이 아닌 失手 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$과 그 歷數 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$를 곱하면 1이다. 卽,

• ${\displaystyle x\cdot {\frac {1}{x}}=1}$

뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 歸結된다.

• ${\displaystyle a-b=a+(-b)}$
• ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}}$

거듭제곱과 거듭제곱根 [ 編輯 ]

羊水(=실直線에서 0의 右側의 失手=0보다 큰 數) 밑, 失手 指數의 거듭제곱을 定義할 수 있다. 失手에 對하여 거듭제곱을 定義할 수 있는 건 失手의 完備性이 있기 때문이다. 大略의 定義는 다음과 같다.

${\displaystyle a^{n}=\overbrace {aa\cdots a} ^{n}\qquad (a>0,\;n\in \mathbb {Z} ^{+})}$

${\displaystyle a^{0}=1}$

${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{\underbrace {aa\cdots a} _{n}}}\qquad (a>0,\;n\in \mathbb {Z} ^{+})}$

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=\sup\{x\in \mathbb {R} \colon x^{n}<a^{m}\}\qquad (a>0,\;m,n\in \mathbb {Z} ,\;n>0,\;\gcd\{m,n\}=1)}$

${\displaystyle a^{r}=\sup\{a^{q}\colon q\in \mathbb {Q} ,\;q<r\}\qquad (a>0,\;r\in \mathbb {R} )}$

陰數(=실直線에서 0의 左側의 失手=0보다 작은 數) 밑의 거듭제곱 亦是 定義할 수 있는데, 이는 有理數 指數에 한하며, 또한 이렇게 擴張된 거듭제곱은 위의 演算 法則을 비롯한 좋은 性質들을 만족시키지 못한다.

順序 [ 編輯 ]

失手들 사이에는 順序(卽, 크기 比較)가 存在한다. 두 失手 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$의 順序 ${\displaystyle a<b}$의 直觀은 失職選 위에서 ${\displaystyle a}$가 더 왼쪽에, ${\displaystyle b}$가 오른쪽에 있다는 것이다. ${\displaystyle a\leq b}$는 ${\displaystyle a<b}$이거나 ${\displaystyle a=b}$라는 뜻이다. 이에 따라, 實數의 順序는 다음 性質들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle a\nless a}$
• ${\displaystyle a<b\implies b\nless a}$
• ${\displaystyle a<b<c\implies a<c}$
• ${\displaystyle a<b}$이거나, ${\displaystyle a=b}$이거나, ${\displaystyle a>b}$.

또한, 實數의 順序는 失手의 演算과 互換된다. 卽, 任意의 失手들에 對하여, 다음 性質들이 成立한다.

• ${\displaystyle a<b\implies a+c<b+c}$
• ${\displaystyle a<b,\;c>0\implies ac<bc}$
• ${\displaystyle a<b,\;c<0\implies ac>bc}$
• ${\displaystyle 0<a<b,\;n>0\implies a^{n}<b^{n}}$
• ${\displaystyle 0<a<b,\;n<0\implies a^{n}>b^{n}}$

羊水 ( 英語 : positive number )는 0보다 큰 失手를 뜻하며, 陰數 ( 英語 : negative number )는 0보다 작은 失手를 뜻한다. 위의 性質들에 따라, 모든 失手는 陽數, 陰數와 0 가운데 하나에 屬한다. 또한, 羊水 곱하기 羊水는 恒常 陽數이며, 羊水 곱하기 陰數는 恒常 陰數이며, 陰數 곱하기 陰數는 恒常 陽數이다. 特히, 任意의 失手의 제곱은 恒常 陰數가 아닌 失手이다.( 제곱 해서 陰數 가 되는 수는 虛數 라고 불리고, 數直線 床에 標示할 수 없다.)

區間 [ 編輯 ]

區間 은 특별한 失手 部分 集合 으로서, 주어진 두 實數 사이의 失手를 元素로 갖거나, 주어진 한 失手를 始作點으로 하는 半直線에 놓인 失手를 元素로 갖는다. 例를 들어, 任意의 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$에 對하여, 다음과 같다.

• ${\displaystyle x\in (3,5)\iff 3<x<5}$
• ${\displaystyle x\in [-2,10]\iff -2\leq x\leq 10}$
• ${\displaystyle x\in (6,+\infty )\iff 6<x}$

退化 區間은 區間과 비슷한 集合으로서, 두 끝點의 順序가 正常的인 區間의 反對이다. 例를 들어, 다음과 같다.

• ${\displaystyle x\in [3,3]\iff 3\leq x\leq 3\iff x=3}$
• ${\displaystyle x\in (9,5)\iff 9<x<5\iff x\in \varnothing }$

上限 公理 [ 編輯 ]

數들의 集合(例를 들어, 有理數 集合이나 失手 集合)의 모든 數들보다 작지 않은 數를 그 集合의 상계 라고 한다. 이는 普通 存在하지 않거나, 存在한다면 여럿이 같이 存在한다. 數들의 集合에 상계들이 存在하며, 이들 가운데 가장 작은 하나가 存在한다면, 이를 上限 이라고 한다. 失手 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$은 다음 性質을 만족시킨다.

• 空集合이 아닌 失手 部分 集合 ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \mathbb {R} }$에 相計가 存在한다면, 上限 亦是 存在한다.

이를 傷한 公理이라고 한다. 上限 공리는 失手의 完備性에 對한 한 가지 表現이다.

데데킨트 完備性 [ 編輯 ]

實數의 完備性은 失手의 가장 重要한 性質의 하나이다. 데데킨트 切斷 ( 英語 : Dedekind cut )을 통해 敍述하는 것이 가장 簡單하다. 失手 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 두 部分 集合 ${\displaystyle D,E\subseteq \mathbb {R} }$의 雙 ${\displaystyle (D,E)}$이 다음 條件들을 만족시키면, ${\displaystyle (D,E)}$를 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 데데킨트 切斷 이라고 한다.

• ${\displaystyle D,E\neq \varnothing }$
• ${\displaystyle D\cup E=\mathbb {R} }$
• 任意의 ${\displaystyle d\in D}$ 및 ${\displaystyle e\in E}$에 對하여, ${\displaystyle d<e}$
• ${\displaystyle D}$는 最小 元素 를 가지지 않는다.

이제, 失手의 데데킨트 完備性 公理 를 다음과 같이 敍述할 수 있다.

• 失手 集合 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 데데킨트 切斷 ${\displaystyle (D,E)}$에 對하여, ${\displaystyle E}$는 恒常 最小 원소를 가진다.

데데킨트 完備性 공리는 上限 公理와 서로 童穉이다.

其他 性質 [ 編輯 ]

失手 集合은 아르키메데스 性質 을 滿足한다. 卽, 두 失手 ${\displaystyle x,y>0}$가 있다고 하자. 이 境遇 ${\displaystyle x}$가 아무리 작고 ${\displaystyle y}$가 아무리 크더라도, ${\displaystyle x}$를 充分히 많은 回數 ${\displaystyle n}$만큼 더하면, ${\displaystyle y}$를 超過한다. 卽,

${\displaystyle \underbrace {x+x+\cdots +x} _{n}>y}$

失手 集合 위의 順序는 稠密 順序 이다. 卽, 任意의 서로 다른 두 失手 ${\displaystyle x<y}$에 對하여, 恒常 그 사이에 또 다른 失手 ${\displaystyle x<z<y}$가 存在한다.

位相 [ 編輯 ]

失手 集合 위에는 標準的인 位相 空間 · 距離 空間 · 노름 空間 · 內的 空間 構造를 附與할 수 있다. 卽,

• 주어진 두 失手 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$의 內的은 곱 ${\displaystyle xy}$이다.
• 주어진 失手 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$의 노름은 絶對값 ${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$이다.
• 주어진 두 失手 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$의 距離는 ${\displaystyle |x-y|}$이다.
• 失手 集合 위의 標準的인 位相은 거리 位相 利子 順序 位相 이다.

失手 部分 集合 ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$에 對하여, 다음 條件들이 서로 同治 이다.

• 콤팩트 集合 이다. 卽, 모든 열린 덮개 가 柔한 部分 덮개를 갖는다.
• 點列 콤팩트 集合 이다. 卽, 그 속의 모든 數列은 收斂 部分 數列을 갖는다.
• 極限點 콤팩트 集合 이다. 卽, 모든 無限 部分 集合이 極限點 을 갖는다.
• 유계 닫힌集合 이다.

事實, 모든 유클리드 空間 에 對하여, 위 네 條件은 서로 童穉이며, 모든 距離 空間 에 對하여, 앞에 세 條件은 서로 童穉이다.

또한, ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$에 對하여, 다음 條件들이 서로 同治 이다.

• 連結 空間 이다.
• 經路 連結 空間 이다.
• 號 連結 空間 이다.
• 中間값 性質을 滿足한다. 卽, 任意의 ${\displaystyle a,b\in S}$에 對하여, ${\displaystyle (a,b)\subseteq S}$이다.
• (退化 또는 非退化) 區間 이다.

分類 [ 編輯 ]

失手는 有理數 와 無理手 로 分類된다. 失手 ${\displaystyle q\in \mathbb {R} }$에 對하여, 다음 條件들이 서로 童穉이다.

• ${\displaystyle x}$는 有理數이다. 卽, ${\displaystyle x={\frac {m}{n}}}$人 精髓 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ 및 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$이 存在한다.
• ${\displaystyle x}$는 有限 小數 이거나, 無限 循環 小數 이다. 卽, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle p,q,r\in \{0,1,\dots \}}$ 및 ${\displaystyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \{0,1,\dotsc ,9\}}$가 存在한다.

  ${\displaystyle x=a_{p}a_{p-1}\cdots a_{0}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}{\dot {c}}_{1}c_{2}\cdots {\dot {c}}_{r}}$

• ${\displaystyle x}$는 有限 連分數 이다. 卽, 다음을 만족시키는 ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ 및 ${\displaystyle n\in \{0,1,\dots \}}$가 存在한다.

  ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},\dotsc ,a_{n}]}$

例를 들어, 1/3 = 0.333...은 有理數이며, e = 2.7182... 와 π = 3.1415... 는 無理數이다.

性質 [ 編輯 ]

集合論的 性質 [ 編輯 ]

失手 集合의 크기 는 다음과 같다.

${\displaystyle |\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}}$

여기서 ${\displaystyle \aleph _{0}}$은 알레프 0 이다. 달리 말해, 失手는 自然數 部分 集合과 一對一 對應한다. 이 둘 사이의 一對一 對應은 여러 가지 만들 수 있다.

歷史 [ 編輯 ]

失手에 對한 嚴密한 正義는 게오르크 칸토어 에 依해 이루어졌다. 有理數로부터 失手를 理論的으로 擴張하여 그 性質을 규정짓게 된 것은 카를 바이어슈트라스 , 게오르크 칸토어 , 리하르트 데데킨트 와 같은 數學者들의 공이 至大하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 連分數
• 실解釋學

外部 링크 [ 編輯 ]

• “自然數 VS 失手” . 《 네이버캐스트 》.  
• “Real number” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (英語). Springer-Verlag. 2001. ISBN   978-1-55608-010-4 .  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Real number” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Real number” . 《nLab》 (英語).  
• “Real number” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “11. Real numbers” . 《PlanetMath》 (英語).  
• “Representation of real numbers” . 《PlanetMath》 (英語).