函數解析學 에서 르베그 空間 (Lebesgue空間, 英語 : Lebesgue space ) 또는 L ^p 空間 ( 英語 : L ^p -space )은 絶對값 의 ${\displaystyle p}$ 제곱이 르베그 積分 可能한 가측 函數 들의 同値類 들로 構成된 노름 空間 이다.

正義 [ 編輯 ]

側도 空間 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 音이 아닌 擴張된 失手 ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$가 ( 보렐 시그마 臺數 를 갖춘) 實數體 또는 複素數體 라고 하자. 그렇다면, 르베그 空間 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 位相 벡터 空間 이며, 그 定義는 ${\displaystyle p}$의 값에 따라 다음과 같다.

L ^p (0 < p ≤ ∞) [ 編輯 ]

${\displaystyle 0<p\leq \infty }$ 및 가측 函數 ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {K} }$에 對하여 다음 記號를 定義하자.

${\displaystyle \|\cdot \|_{p}\colon {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\int _{X}|f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu }}&p<\infty \\\inf \left\{C\in \mathbb {R} \colon \mu (\{x\in X\colon |f(x)|>C\})=0\right\}&p=\infty \end{cases}}}$

그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$를 다음과 같은 集合으로 定義하자.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \|f\|_{p}<\infty \}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(X;Y)}$는 두 側도 空間 ${\displaystyle X,Y}$ 사이의 가측 函數 의 集合이며, ${\displaystyle \mathbb {K} }$의 境遇 보렐 시그마 臺數 를 갖춘 것으로 여긴다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$에 對한 벡터 空間 을 이루며, 部分 空間

${\displaystyle (\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)=\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )|\|f\|_{p}=0\}\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}$

으로 몫空間을 取한 것을 르베그 空間 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$라고 한다. ^{[1] :43, §II.2 [2] :31, §1.43; 35, §1.47}

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {L}}^{p}(X;\mathbb {K} )}{(\|\cdot \|_{p})^{-1}(0)}}}$

이 위에는 " 열린 공 "들

${\displaystyle \left\{\operatorname {ball} (f,r)\colon r\in \mathbb {R} ^{+},\;f\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\right\}}$

${\displaystyle \operatorname {ball} (f,r)=\left\{g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\colon \|f-g\|_{p}<r\right\}}$

을 基底 로 하는 位相 乙 줄 수 있다. (勿論, ${\displaystyle p<1}$이라면 이는 距離 空間 이 아니므로 嚴密히 말해 열린 공 이라고 일컬어질 수 없다.)

萬若 ${\displaystyle p\geq 1}$이라면, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$ 위의 完備 노름 을 이루며, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 바나흐 空間 을 이룬다. 그러나 萬若 ${\displaystyle p<1}$이라면 이는 (記號와 달리) 一般的으로 노름 이 되지 못한다.

L ⁰ [ 編輯 ]

${\displaystyle p=0}$인 境遇, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )}$은 모든 가측 函數 ${\displaystyle X\to \mathbb {K} }$의 (同値類의) 空間이다. 卽, ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 벡터 空間 ${\displaystyle {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}$에

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{f\in {\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )\colon \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq 0\})=0\right\}}$

를 定義하였을 때

${\displaystyle \operatorname {L} ^{0}(X;\mathbb {K} )={\frac {{\mathcal {M}}(X;\mathbb {K} )}{\mathcal {N}}}}$

이다.

이 境遇, 側도 收斂 位相을 附與하여 均等 空間 利子 ( 均等 位相 을 附與한) 位相 벡터 空間 으로 만들 수 있다. 卽, 이 境遇 類似 거리 函數 의 族

${\displaystyle \{d_{S}\}_{S\in \Sigma ,\;\mu (S)<\infty }}$

${\displaystyle d_{S}(f,g)=\int _{S}\min\{|f-g|,1\}\mathrm {d} \mu }$

을 통해 均等 空間 構造를 附與한다.

ℓ ^p [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle X}$가 ( 셈側도 를 갖춘) 自然數 의 離散 空間 ${\displaystyle \mathbb {N} }$일 境遇,

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\mathrm {L} ^{p}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )=\ell ^{p}(\mathbb {K} )}$

로 쓴다. ( 셈側도 는 空集合 이 아닌 零集合 을 갖지 않으므로, 이 境遇 ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}}$와 ${\displaystyle \mathrm {L} ^{p}}$를 區分하지 않아도 된다.) 이 境遇, 函數 ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(\mathbb {N} ;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$값을 갖는 水熱 이 되고, 노름 ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$은 다음과 같다.

${\displaystyle \|f\|_{p}={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=0}^{\infty }|f_{i}|^{p}}}&0<p<\infty \\\sup _{i\in \mathbb {N} }|f_{i}|&p=\infty \end{cases}}}$

性質 [ 編輯 ]

민코프스키 不等式 [ 編輯 ]

萬若 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$일 境遇, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 민코프스키 不等式 에 따라 노름 을 이룬다.

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}$

萬若 ${\displaystyle 0<p<1}$일 境遇, ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$는 다음과 같은, 더 弱한 不等式을 만족시킨다. ^{[3] :816}

${\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq 2^{(1-p)/p}(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\qquad (f,g\in \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))}$

바나흐·힐베르트 空間일 條件 [ 編輯 ]

任意의 側도 空間 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 ${\displaystyle p\in [0,\infty ]}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$에 對하여, 다음이 成立한다.

• ( 리스-피셔 整理 英語 : Riesz?Fischer theorem ) 萬若 ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$라면 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 바나흐 空間 이다.
• 萬若 ${\displaystyle 1<p<\infty }$라면 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 反射 바나흐 空間 이다. (그러나 ${\displaystyle p=1}$ 또는 ${\displaystyle p=\infty }$인 境遇 이는 一般的으로 成立하지 않는다.)
• 萬若 ${\displaystyle p=2}$일 境遇 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 힐베르트 空間 이다. (그러나 ${\displaystyle X}$의 크기에 따라 이는 分解 可能 空間 이 아닐 수 있다.)
• 萬若 ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$이며 ${\displaystyle p=\infty }$일 境遇 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }(X;\mathbb {C} )}$는 可換 C* 臺數 이다. 萬若 ${\displaystyle X}$가 追加로 시그마 有限 側도 를 갖추었다면, 이는 可換 폰 노이만 臺數 를 이룬다.

連續 雙대 空間 [ 編輯 ]

任意의 側도 空間 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 및 ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ 및 ${\displaystyle 1<p<\infty }$에 對하여, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$의 連續 雙대 空間 은 다음과 같다.

${\displaystyle (\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} ))'=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\qquad (1/p+1/q=1)}$

具體的으로, 이 同型 思想은

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\times \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )\to \mathbb {K} }$

${\displaystyle ([f],[g])\mapsto \int _{X}f(x)g(x)\mathrm {d} \mu (x)}$

이다. 特히, ${\displaystyle p=2}$일 境遇 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{2}}$는 스스로의 連續 雙대 空間이 되며, 따라서 이 境遇 힐베르트 空間 을 이룬다.

그러나 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{\infty }}$의 連續 雙대 空間은 ( 選擇 公理 를 假定하면) 一般的으로 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{1}}$보다 훨씬 크다. 反面, 萬若 ${\displaystyle X}$가 시그마 有限 側도 를 갖추었다면, ${\displaystyle (\operatorname {L} ^{1})'=\operatorname {L} ^{\infty }}$이다.

包含 關係 [ 編輯 ]

任意의 두 擴張된 失手

${\displaystyle 0<p<q\leq \infty }$

가 주어졌다고 하자. 또한, 側도 空間 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ 위에 다음과 같은 두 條件을 생각하자.

㈎ ${\displaystyle \sup\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq \infty \}<\infty }$

㈏ ${\displaystyle \inf\{\mu (S)\colon S\in \Sigma ,\;\mu (S)\neq 0\}>0}$

그렇다면, 다음과 같은 同治 가 成立한다. ^[4]

㈎ ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

㈏ ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )\supseteq \operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

㈎와 ㈏가 同時에 成立 ${\displaystyle \iff \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\operatorname {L} ^{q}(X;\mathbb {K} )}$

代表的인 側도 空間 에서 위 두 條件이 成立하는지 與否는 다음과 같다.

側도 空間	㈎	㈏
유클리드 空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 위의 르베그 側도 ( ${\displaystyle n>0}$)	?	?
有限 集合 위의 셈側도	?	?
無限 集合 위의 셈側도	?	?
유클리드 空間 속의, 羊의 有限 測度의 르베그 가측 集合	?	?

예 [ 編輯 ]

有限 集合 [ 編輯 ]

${\displaystyle X}$가 有限 集合 이며, 그 위에 셈側도 를 附與하자. 그렇다면, 이 境遇 任意의 ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$에 對하여

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} ^{X}}$

이다. 卽, 이 境遇 르베그 空間은 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ 위의 有限 次元 벡터 空間 이며, 그 次元은 ${\displaystyle X}$의 크기 이다.

${\displaystyle p}$의 값에 따라, ${\displaystyle \mathbb {K} ^{X}}$ 위에 定義되는 노름 은 서로 다르며, 다음과 같다.

${\displaystyle \|f\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{x\in X}|f(x)|^{p}}}\qquad (0<p<\infty )}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\max _{x\in X}|f(x)|}$

萬若 ${\displaystyle p=2}$일 境遇 이는 힐베르트 空間 을 이루며, ${\displaystyle |X|\geq 2}$利子 ${\displaystyle 1\leq p\neq 2}$일 境遇 이는 힐베르트 空間이 아닌 바나흐 空間 이다.

水熱 空間 [ 編輯 ]

${\displaystyle X=\mathbb {N} }$일 境遇, ${\displaystyle p}$의 範圍에 따라서, 水熱 르베그 空間 ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )}$ 空間의 性質은 다음과 같다.

${\displaystyle p}$의 範圍	${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {K} )}$의 性質
${\displaystyle 0\leq p<1}$	${\displaystyle \mathbb {K} }$- 位相 벡터 空間 ( ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 局所 볼록 空間 이 아님)
${\displaystyle 1\leq p<2}$	${\displaystyle \mathbb {K} }$- 바나흐 空間
${\displaystyle p=2}$	分解 可能 ${\displaystyle \mathbb {K} }$- 힐베르트 空間
${\displaystyle 2<p\leq \infty }$	${\displaystyle \mathbb {K} }$- 바나흐 空間

디랙 側도 [ 編輯 ]

集合 ${\displaystyle X}$ 속의 元素 ${\displaystyle x_{0}\in X}$가 주어졌으며,

${\displaystyle \mu (S)={\begin{cases}1&S\ni x_{0}\\0&S\not \ni x_{0}\end{cases}}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle 0\leq p\leq \infty }$에 對하여, ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}$는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )=\mathbb {K} }$

${\displaystyle \|f\|_{p}=|f(x_{0})|\qquad (0<p\leq \infty )}$

歷史 [ 編輯 ]

"르베그 空間"이라는 用語는 앙리 르베그 의 이름을 딴 것이다. 그러나 르베그는 르베그 積分 의 導入을 除外하고는 르베그 空間의 槪念과 크게 關係가 없다.

${\displaystyle \ell ^{2}}$ 空間은 이미 19世紀 푸리에 變換 의 理論에서 登場하였다 ( 파르세발 整理 ). ^{[5] :V.83, Note historique} 以後 다비트 힐베르트 가 이 水熱 空間에 對하여 硏究하였으며, 이는 " 힐베르트 空間 "으로 불리게 되었다. ^{[5] :V.84, Note historique} 힐베르트의 理論을 ${\displaystyle p\neq 2}$로 一般化하여, 리스 프리提示 가 르베그 空間을 1910年에 導入하였다. ^{[6] :§3, 457?459 [5] :V.86, Note historique} 이 論文에서 리스는 오늘날 使用되는 記號 ${\displaystyle \operatorname {L} ^{p}}$를 導入하였고, 또한 르베그 空間의 雙大聲 ${\displaystyle {\operatorname {L} ^{p}}'=\operatorname {L} ^{q}}$ ( ${\displaystyle 1/p+1/q=1}$)을 證明하였다.

같이 보기 [ 編輯 ]

• 소볼레프 空間

各州 [ 編輯 ]

外部 링크 [ 編輯 ]

• Weisstein, Eric Wolfgang. “L^p-space” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• Weisstein, Eric Wolfgang. “L^2-space” . 《 Wolfram MathWorld 》 (英語). Wolfram Research.  
• “Lebesgue space” . 《nLab》 (英語).  
• Tao, Terrence (2009年 1月 9日). “L^p spaces” . 《What’s New》 (英語).